Feb 23

Soluzione del quiz di Pippo, Pappo e delle 101 palline ***

QUI il testo del quiz

Pippo e Pappo fanno mettere da parte la pallina che hanno scelto. Le rimanenti 100 palline vengono divise a casaccio tra i due piatti: 50 a sinistra e 50 a destra. La bilancia (per la differenza unitaria tra una falsa e una vera) segnerà sempre un numero intero. Se questo numero è PARI la pallina messa da parte è VERA; se il numero è dispari la pallina è falsa.

Per facilitare la dimostrazione indichiamo le palline con numeri consecutivi da 1 a 100 e mettiamo le prima 50 nel piatto sinistro (d 1 a 50) e le seconde 50 nel piatto destro (da 51 a 100). Sia pi il peso della singola pallina e pV il peso della pallina vera.

Possiamo scrivere il peso del piatto sinistro meno il peso del piatto destro (PS – PD)

PS – PD = (p1 + p2 + …. + p50) – (p51 + p52 + …. + p100)           …. (1)

Se v è il peso della pallina VERA, vale la ovvia relazione:

0 = (- v – v - ….. – v) - (- v – v - …. – v)                       …. (2)

Sommiamo la (1) con la (2) e si ha:

PS – PD = (p1 – v) + (p2 – v) + …+ (p50 – v) – (p51 – v) – (p52 – v) - …. – (p100 – v)

In questa relazione capita sicuramente che:

Se una pallina è VERA                                   …. (3)

(pi –v) = 0

Se una pallina è FALSA e più pesante          …. (4)

(pi – v ) = +1

Se una pallina e FALSA e più leggera           ….. (5)

(pi – v) = - 1

Consideriamo separatamente i due possibili casi: (A) hanno scelto una pallina vera; (B) hanno scelto un pallina falsa.

Assumiamo anche che valga la (4), ossia la pallina falsa sia più pesante di quella vera.

Caso (A)

La situazione implica che vi siano 50 palline vere e 50 palline false. Indichiamo con x il numero di palline false che vengono messe nel piatto sinistro; nel piatto destro ve ne saranno 50 – x.

Essendo nel caso (4), ogni differenza di peso tra pi (falsa) e v (vera) ha un valore positivo e uguale esattamente a + 1. A ogni x corrisponde il valore + 1, per cui  nel piatto sinistro abbiamo un valore totale uguale a x e nel piatto destro un valore uguale a 50 – x. La differenza tra due palline vere è , ovviamente, uguale a zero. Il che comporta:

PS – PD = x – (50 – x) = 2x – 50               …. (6)

Questa relazione ci dice subito che 2x è un numero pari e tale deve essere anche PS – PD (numero pari meno numero pari uguale numero pari).

Caso (B)

La situazione implica che vi siano solo 49 palline false (una l’hanno scelta i nostri due amici). Continuiamo ad ammettere che le palline false siano più pesanti di quelle vere.

Immaginiamo, nuovamente, di mettere x palline false su piatto sinistro. Questa volta ne abbiamo 49 – x false nel piatto destro.

La relazione (6) diventa:

PS – PD = x – (49 – x) = 2x – 49

2x è un numero pari, ma 49 è un numero dispari. La loro differenza deve essere un numero dispari.

Riassumiamo il risultato, avendo ammesso che la pallina falsa sia più pesante di quella vera:

Se la differenza di peso data dalla bilancia è un numero PARI, Pippo e Pappo hanno scelto una moneta VERA; se la differenza è DISPARI i nostri amici hanno scelto e messo da parte una moneta FALSA.

Ripetiamo tutto il calcolo assumendo questa volta che la pallina falsa sia più leggera di quella vera, caso (5).

Caso (A)

Questa volta le differenze (pi – v) = - 1 per tutte le palline false. La (6) diventa:

PS – PD = - x - (- 50 + x) = - 2x + 50

Poco importa il segno, ma otteniamo nuovamente che la bilancia misura un valore PARI.

Caso (B)

Le palline false sono solo 49, ma vale sempre (pi – v) = - 1. La (6) diventa:

PS – PD = - x – (- 49 + x) = - 2x + 49

Ancora una volta, indipendentemente dal segno, otteniamo un numero DISPARI.

Si può concludere che, anche nel caso delle palline false più leggere, se la bilancia misura un numero pari è stata messa da parte una pallina vera, mentre se è stata messa da parte una pallina falsa, la bilancia misura un numero dispari.

In poche parole, indipendentemente dal peso della pallina FALSA, l’importante è il numero misurato dalla bilancia: SE E’ PARI, I NOSTRI AMICI POSSONO DIRE CON SICUREZZA CHE LA MONETA SCELTA E’ VERA; SE E’ DISPARI SONO SICURI CHE SIA FALSA.

Pippo e Pappo sono liberi, con grande felicità di Mau/Pau!

Alla prossima avventura pappiana!!!!

3 commenti

  1. leandro

    Beh un calcolo più veloce è questo:

    Siano
    Ld    il nr delle palline leggere nel piatto destro
    Hd   quello delle pesanti nel piatto destro
    Ls     il nr delle palline leggere nel piatto sinistro
    Hs    quello delle pesanti nel piatto sinistro
    sia p  il peso delle palline leggere (e quindi p+1 il peso di quelle pesanti);
    avremo sul piatto destro un peso pari a   Hd * (p+1) + Ld * p
    avremo sul piatto sinistro un peso pari a Hs * (p+1) + Ls * p

    La differenza dei pesi è
    (Hd+Ld) * p - (Hs+Ls) * p + Hd -Hs

    ma i termini in parentesi valgono 50 palline quindi si elidono a vicenda.
    Poiché Hd = Hb -Hs (ove Hb è il nr di palline pesanti in bilancia) si ottiene

    Hb - 2 Hs

    che sarà un numero pari o dispari se e solo se Hb è pari o dispari.

    I casi che si presentano sono.
    Hb = 49 DISPARI : la pallina estratta è la 50a di un gruppo pesante di 50 cioè FALSA
    Hb = 51 DISPARI: la pallina estratta è la 50a di un gruppo leggero di 50 cioè FALSA
    Hb = 50 PARI: per esclusione la pallina estratta è VERA.

  2. sicuramente si può trovare più facilmente il risultato... io ho solo usato uno dei metodi più banali e semplici... non certo l'unico :wink:

  3. Gianfranco28/08/16

    Con le caratteristiche aritmetiche dei numeri pari.

    Considerando da prima 5 palline invece di 101.

    La minor quantità, con numero pari, 2 per ciascun piatto della bilancia.

    Indicando con V = vero con F = falso

    VV/VF F differenza  2-1 = 1 dispari

    VV/FF V differenza  2-0 = 2 e VF/VF V 1-1 = 0 sempre pari

    Con 5 palline, 2 e 2 nella bilancia, una V da parte, la differenza risulta sempre pari.

    Aggiungendo palline in numero pari 2,4,6….50….150 la differenza di pesata, con V, risulta sempre pari, e scegliendo F, sempre dispari.

    …..VVV/FFF….. V 50-0 = 50     49-1 = 48 ecc.

    Pari meno pari = sempre pari, dispari meno dispari = pari.

    ……VVVVF/VVFFF…..   F   49-2 = 47      48-3 = 45 ecc.

    Dispari meno pari = sempre dispari, pari meno dispari = dispari.

    Ossia spostando una o più V la differenza varia di 2 o multiplo di 2.

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