31/05/18

π non è un numero razionale.

Siamo giunti alla fine del percorso cominciato con tre miniquiz,  polinomi e derivateuno strano polinomioUna funzione particolare e proseguito poi con un ulteriore articolo che trovate  qui. Nei commenti dei quiz trovate le soluzioni anche a tre risultati fondamentali per la risoluzione di questo teorema:

 π non è un numero razionale.

Prerequisiti

Scrivo qui di seguito tutto quello che serve per la dimostrazione:

Dato il polinomio di Niven:

f(x)=\frac{x^{n}(a-bx)^{n}}{n!}   dove n è maggiore di zero e a,b sono numeri interi, abbiamo visto che è possibile costruire con tale polinomio e le sue derivate, una nuova funzione F(x), che ha due importanti proprietà:

i)F(0)=F(\frac{a}{b})\in\mathbb{Z} (sono cioè uguali  allo stesso numero intero)

ii)F^{''}(x)+F(x)=f(x). La definizione di tale funzione e la dimostrazione di tali proprietà le trovate qui: Una funzione particolare. Nell'ultimo articolo su tale polinomio, qui, abbiamo poi dimostrato altri due fatti fondamentali:

iii) 0<f(x)=\frac{x^{n}(a-bx)^{n}}{n!}\frac{a^{2n }}{b^{n}}\cdot \frac{1}{n!} se  0<x<a/b

iv) il termine:

\frac{a^{2n }}{b^{n}}\cdot \frac{1}{n!} è infinitesimo per n tendente a infinito.

 Dimostrazione.

Procediamo per assurdo; supponiamo che \pi =\frac{a}{b}

F(0)=F(\pi )\in\mathbb{Z}  per i)

moltiplichiamo adesso la ii) per sinx:

\sin x\cdot (F^{''}(x)+F(x))=f(x)\cdot \sin x

notiamo poi che

\frac{d}{dx}(F'(x)\sin x-F(x)\cos x)=(F^{''}(x)+F(x))\cdot \sin x 1)

infatti :

\frac{d}{dx}(F'(x)\sin x-F(x)\cos x)=F''(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx=(F^{''}(x)+F(x))\cdot \sin x

consideriamo adesso nell'intervallo aperto (0,a/b) ovvero (0,\pi) l'integrale definito:

\int_{0}^{\pi }f(x)\sin x dx=\int_{0}^{\pi}(F^{''}(x)+F(x))\cdot \sin x=[F'(x)\sin x-F(x)\cos x]_{0}^{\pi}

essendo F'(x)\sin x-F(x)\cos x la primitiva di (F^{''}(x)+F(x))\cdot \sin x per 1)

calcoliamo allora tale integrale definito:

[F'(x)\sin x-F(x)\cos x]_{0}^{\pi}=F'(\pi)\sin \pi-F(\pi)\cos \pi-F'(0)\sin 0 + F(0) \cos\ 0=F(\pi)+F(0)

quindi l'integrale:\int_{0}^{\pi }f(x)\sin x dx=F(0)+F(\pi) che per i) è un numero intero.

Consideriamo adesso una maggiorazione per l'integrale; sappiamo che

0<f(x)=\frac{x^{n}(a-bx)^{n}}{n!}< \frac{a^{2n }}{b^{n}}\cdot \frac{1}{n!}=\frac{(\pi a)^{n}}{n!} se  0<x<\pi; e che sinx<1

\int_{0}^{\pi }f(x)\sin x dx<\int_{0}^{\pi }f(x) dx<\int_{0}^{\pi }\frac{(\pi a)^{n}}{n!}dx=\int_{0}^{\pi }\frac{(\pi a)^{n}}{n!}dx=\pi\cdot \frac{(\pi a)^{n}}{n!}

ma essendo \frac{(\pi a)^{n}}{n!} infinitesimo possiamo trovare un n abbastanza grande affinchè  \pi\cdot \frac{(\pi a)^{n}}{n!}<1

ma allora, in definitiva avremmo \int_{0}^{\pi }f(x)\sin x dx<1 in opposizione al fatto, dimostrato sopra, che \int_{0}^{\pi }f(x)\sin x dx=F(0)+F(\pi) sia invece un numero intero.

Ad un certo punto dovevano intervenire le funzioni trigonometriche perchè in qualche modo si dovevano usare
le proprietà di  π.

Che  π fosse un numero irrazionale, era già stato intuito migliaia  di anni fa. Ma la  prima  vera dimostrazione risale  al 1770, ed è dovuta a Johann Heinrich Lambert (1728-1777). Successivamente furono date altre dimostrazioni. Quella che
abbiamo visto sembra attualmente la più semplice ed è stata data nel 1946 da Ivan Niven (1915-1999). Alla fine chiunque abbia la conoscenza minima di derivate e integrali, e riesca a seguire i giochetti fatti nei mini-quiz, può comprendere la dimostrazione.  La trascendenza di  π non è così semplice da dimostrare; richiede conoscenza avanzate su polinomi, ed altro. Ma magari potremmo provarci..

 

QUI la storia del pi greco

3 commenti

  1. Volevo solo ricordare che la storia del pi greco sta già andando avanti nel Circolo da parecchie puntate. Prima o poi saremmo anche arrivati a Lambert e alla prova dell'irrazionalità di questo numero . Ribadisco  che la dimostrazione usata da Lambert è piuttosto complicata (anche se in qualche modo si rifà ad Euclide... i grandi greci non tradiscono mai...). e che quella utilizzata in questo articolo è una versione diversa e semplificata (si fa per dire...). Alla fine della storia del pi greco (articoli accessibili a tutti) potremmo mettere questo articolo come appendice tecnica.

    per chi fosse interessato a leggersi (in francese) la dimostrazione completa di Lambert suggerisco l'articolo originale:

    http://www.kuttaka.org/~JHL/L1768b.pdf

    buona fortuna!!!!! :roll: 8-O  :-P

  2. Umberto

    Appunto perchè nel sito si è parlato tanto di p-greco volevo proporre questa semplice dimostrazione. Non volevo invadere il campo, ma questa era solo una appendice dei mini-quiz; poi non capisco perchè proporre una dimostrazione alternativa che nessuno (non del mestiere) potrà mai affrontare. Non mi sembra giusto.

  3. caro Umberto,

    ho solo voluto ricordare con un link gli articoli già apparsi sul pi greco, dato che non l'avevi fatto tu... nient'altro. E' sempre meglio abbondare con i link, come giustamente hai fatto tu con gli articoli precedenti su Niven...

    Nessuna invasione di campo, ma solo un invito alla collaborazione fattiva. Non per niente, pensavo di inserire la tua parte come appendice tecnica in un discorso molto più ampio e leggibile da tutti (derivate, integrali e cose simili sono sempre ostici per molti...).

    E chi parla di dimostrazione alternativa? Parlo di quella originale, di Lambert... Da un punto di vista storico, leggere direttamente ciò che ha scritto Lambert è sicuramente cosa di grande interesse, anche senza essere costretti a capire ogni passaggio. Così come leggere le opere di Giordano Bruno in un linguaggio spesso non facile... Ho approfittato di un articolo sull'irrazionalità del pi greco per far sapere che in rete si può trovare la prima dimostrazione a riguardo.

    Anzi, ne approfitto per invitarti a mettere insieme i miniquiz, le risposte e le discussioni, in modo da preparare un articolo continuo sulla dimostrazione di Niven, scelto in quanto quello considerato più facile (sempre per i più preparati...). Sarà lui a concludere come appendice la storia del pi greco... magari insieme alla trascendenza.

     

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