Gen 23

Soluzione della "scalata" alla Luna di Giacomino **

Descriviamo a cosa va incontro il nostro Giacomino. Su consiglio dell'inesauribile Maurizio abbiamo anche valutato l'ipotesi di una scala costruita e fissata sulla Luna. Ovviamente, abbiamo avuto bisogno dell'aiuto dei Papallicoli... In questo modo, abbiamo perfettamente simulato le due piante di fagiolo del racconto originario...

Prima di rispondere al quiz di Giacomino, separiamo bene la rotazione di qualcosa intorno alla Terra dal moto di rotazione della Terra . Il primo caso è descritto dalla legge di Newton che ci dice a che velocità deve andare un corpo di massa trascurabile per orbitare attorno alla Terra (che può anche non ruotare per niente attorno al proprio asse). Questa velocità, come sappiamo bene, decresce  allontanandosi dal pianeta (terza legge di Keplero). Al livello della superficie terrestre (immaginando che tutta la massa sia concentrata nel centro della Terra) un satellite dovrebbe avere una velocità orbitale di 7.8 km/s (vedi QUI) . Non confondiamo questa velocità con quella di un punto della Terra che ruota solidamente con lei attorno all’asse di rotazione (secondo caso). La gravità ha un interesse molto relativo e non fa altro che tenerci ben ancorati al suolo: la velocità di rotazione dipende solo dalla rotazione della Terra attorno al suo asse. Questo valore è decisamente più basso e vale 0.46 km/s all’equatore e ci dice soltanto a che velocità viaggia qualsiasi punto dell’equatore terrestre per fare un giro completo in 24 ore. Vedi anche QUI.

cannone-di-newton
Rappresentazione virtuale del cannone di Newton

Passiamo al nostra avventura e alla nostra scala. Essa è fissata solidamente alla superficie terrestre e la immaginiamo perfettamente solidale con essa (ecco perché abbiamo bisogno di una grande tecnologia). Fortunatamente nel nostro Circolo ci sono grandi tecnologi e siamo in buone mani. Costruiamo, perciò, questa scala che non subisce flessioni dovute ai venti atmosferici o ad altri inconvenienti. Sul primo gradino la velocità di Giacomino, che è quella della scala, è pari a 0.46 km/s (1670 km/h). Non stupiamoci, dato che stiamo girando tutti a questa velocità che scende andando verso i poli, diminuendo la traiettoria circolare da compiere in 24 ore. Restiamo all’equatore e cominciamo a salire.

Immaginiamo di arrivare a un centinaio di metri… Cosa succede se Giacomino lascia la  presa? Niente di piacevole: la  velocità acquistata salendo di 100 metri è praticamente uguale a quella che aveva sul primo gradino. Non può certo pensare di immettersi in orbita e la sua caduta verso la Terra è senza speranza. Ricordiamoci il cannone di Newton: se sparava a bassa velocità, il suo proiettile ricadeva al suolo. Per entrare in orbita dove raggiungere la velocità orbitale! Tuttavia, Giacomino, con i suoi 0.46 km/s è ben lontano dai 7.8 km/s necessari ad orbitare (senza contare tutti gli ostacoli che troverebbe a quell’altezza).

A furia di salire, però, Giacomino acquista sempre più velocità. Come mai? E’ ovvio… la sua distanza dal centro della Terra aumenta (e anche dalla superficie) e nello stesso tempo (24 ore) deve percorrere una traiettoria sempre più lunga. La circonferenza relativa allo scalino della scala in cui è arrivato è ormai più lunga di 40 000 km. Se deve impiegare sempre 24 ore per percorrerla, la sua velocità tangenziale deve aumentare. Diciamolo in modo più “tecnico”: la scala ruota con la stessa velocità angolare ω della Terra, mentre la velocità tangenziale è pari a ω d, dove d è la distanza dallo scalino al centro della Terra. Cosa succede, ad esempio, a 8 km di altezza, più meno all’altezza dell’Everest? Beh… poco o niente: La circonferenza cresce di ben poco e anche la velocità: Giacomino cadrebbe più o meno come una mela di Newton verso il campo base sotto la parete dell’Everest.

E’ meglio che Giacomino si dia da fare e non si fermi troppo spesso. Ecco che finalmente vede apparire la Stazione Spaziale Internazionale. Che bello non sentirsi soli… Tuttavia, facciamo un po’ di conti approssimativi. A che velocità sta viaggiando la stazione spaziale per restare in orbita? Poco di più di un satellite “rasoterra” (400 km d’altezza sono poca cosa rispetto ai 6380 km del raggio terrestre…), ossia circa 7.6 km/s. E Giacomino? Poco di più di prima: 0.49 km/s. La stazione spaziale gli passerebbe vicina a una velocità pazzesca, più di 7 km/s. Non la vedrebbe nemmeno o quasi. Prendere la stazione al volo come faceva Fantozzi con l’autobus è un’impresa folle. Meglio desistere e continuare a salire.

Portiamoci a una distanza veramente notevole… Ad esempio 36 000 km dalla superficie terrestre. E’ una zona in cui vi sono un mucchio di satelliti che girano e Giacomino fa presto a calcolare la sua velocità: 3.1 km/s circa… Ma quei satelliti sembrano non muoversi attorno a lui. Beh… la loro velocità orbitale è proprio di circa 3 km/s. Sono i famosi satelliti geostazionari, quelli che girano in modo da avere sempre lo stesso punto della Terra sotto di loro. In altre parole, sono i satelliti che orbitano in modo solidale con la Terra, proprio come sta facendo  Giacomino.

Fantastico! Giacomino può anche staccarsi dalla scala e rimanere vicino a lei e magari tirare fuori dal suo zaino quella piccola sfera piena di strumenti che gli avevano consegnato a Terra e lasciarla libera. Non avrebbe fatto altro che immettere un satellite artificiale geostazionario senza utilizzare nessun missile! Un bello spuntino e poi via verso l’alto.

Voglio ricordare che l’idea di un ascensore spaziale è già stata proposta, malgrado le difficoltà tecnologiche e non solo. Potete leggere qualcosa QUI (da cui abbiamo tratto il video che segue, nel quale il pallino verde è un satellite geostazionario e il segmento giallo è l'ascensore spaziale)

Qualcosa è decisamente cambiato e deve stare comunque attento. Se prima dei 36 000 km, lasciando la presa, sarebbe caduto inesorabilmente verso la Terra, adesso scapperebbe per la tangente, essendo più veloce di un satellite orbitante attorno alla Terra. Succederebbe il contrario della stazione spaziale. Adesso sarebbe lui che potrebbe raggiungere un satellite artificiale, ma se tentasse di saltarci sopra, sarebbe inesorabilmente allontanato da lui.

No, è molto meglio tenersi ben saldo alla scala! Finalmente, ecco la Luna… Sì, ma sta viaggiando a una velocità pazzesca! In realtà, è lui che viaggia più veloce: lui percorre l’orbita lunare, di raggio 380 000 km, in sole 24 ore. La Luna ci mette circa un mese… In altre parole Giacomino percorre 2π·380 000 km in 24 ore, ossia 2.4 milioni di chilometri in 24 ore, pari a una velocità di ben 27.6 km/s. La Luna, invece viaggia soltanto a una velocità di 1.2 km/sec. Anche se Giacomino riuscisse a “toccarla” avrebbe una velocità rispetto a lei ben superiore alla velocità di fuga dalla Luna che è solo di 2.3 km/s. No, sarebbe un impresa disperata.

E se, invece, in qualche modo (magari predisposto dai Papallicoli) ci fosse già una scala costruita sulla Luna che punta direttamente verso la Terra (praticamente l’altro fagiolo che ha visto Giacomino)? La Luna ruota intorno al suo asse nello stesso tempo in cui ruota attorno alla Terra.

Facciamo tre casi:

Se la Terra non ruotasse, l'estremità della scala descriverebbe in 28 giorni la superficie terrestre. Una velocità di soli 59 km/h . Basterebbe una utilitaria per accoglierlo o per fargli raggiungere la scala.

Se la Terra ruotasse in sincronia con la Luna (come nel sistema Plutone-Caronte). In quel caso la scala punterebbe sempre verso lo stesso punto della Terra (una rivoluzione lunare sarebbe uguale a una rotazione terrestre). Giacomino potrebbe scendere senza problemi e potrebbe salire recandosi nel punto preciso dove la scala lo aspetta, apparentemente ferma.

Se la terra ruotasse come fa in realtà, La scala andrebbe sempre alla sua velocità estremamente bassa (lei fa quello che fa la Luna), ma, adesso, sarebbe la Terra a girare molto più velocemente. Come già sappiamo, un punto equatoriale viaggia  a 0.46 km/s, ossia a 1670 km/h. Per afferrare la scala, comunque, basterebbe prendere un aereo molto veloce. Presa la scala non ci sarebbero più problemi a raggiungere la Luna. O magari fare il viceversa.

Nel caso della scala che parte dalla Luna ed è solidale con lei, cadremmo, però, in un sistema di due corpi rotanti solidalmente (poco importa la rotazione della Terra). La scala lo manterrebbe in tale sistema e quindi subirebbe la particolarità del punto lagrangiano L1, dove resterebbe fermo rispetto al sistema rotante (avrebbe la giusta velocità angolare).

lagra

In generale, però, quando Giacomino si stacca sia in salita che in discesa, o viceversa, cadremmo in un sistema dei tre corpi con tutti i problemi del caso, tenendo conto che Giacomino sarebbe un “corpo” soggetto a due masse e con una certa velocità intrinseca. In realtà, nel caso della scala solidale con la rotazione terrestre, se si staccasse poco prima o poco dopo l’orbita geostazionaria si potrebbe inserire in orbite ellittiche. Ma il nostro è stato solo un gioco molto semplice e più che sufficiente per lo scopo ironico-didattico.

geos

 

 

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