31/08/19

Asteroide in rotta di collisione **

Come poter agire per evitare una catastrofe senza speranza per le specie viventi terrestri? Basta unire gli sforzi!

Un asteroide di circa 20 km è in rotta di collisione con la Terra. Sfortunatamente, la sua velocità non è elevata e, tenendo conto del contributo che la gravità del pianeta impartisce alla traiettoria del piccolo corpo planetario, la catastrofe sembra imminente.  Il suo parametro d’impatto d non lascia speranze.

N.B.: Il parametro d’impatto è la distanza (misurata perpendicolarmente) tra la direzione del moto dell’asteroide a grande distanza  (tale da non risentire della gravità terrestre) e il pianeta.

Tuttavia, i governi terrestri uniscono velocemente le proprie forze  per cercare di aumentare la velocità v dell’asteroide. Per far ciò devono calcolare la velocità minima vC che permetterebbe all’asteroide di sfiorare soltanto la Terra e poi proseguire nella sua corsa sfrenata (anche a costo di sradicare qualche albero troppo alto…). La Fig. 1 mostra la situazione, in cui la curva rossa è la traiettoria prevista senza aver corretto la velocità originaria v.

Figura 1
Figura 1

L’impresa riesce perfettamente attraverso una serie di manovre di “spinta”, ottenute utilizzando tutti i missili terrestri (viva la fantasia!).

Calcoliamo, perciò la velocità minima vC dell’asteroide, necessaria per scongiurare “al pelo” l’impatto catastrofico. Il diametro dell’asteroide può essere tranquillamente trascurato…

Consideriamo inesistente l'atmosfera terrestre

Disegniamo la Fig. 1, con la traiettoria dell’asteroide che sfiora letteralmente la Terra.

Figura 1
Figura 1

Quando l’asteroide si trova molto lontano con velocità (corretta) vC, il suo momento angolare rispetto alla Terra è:

IL = m vd

L’unica forza che agisce sull’asteroide è la forza di gravità della Terra, ma essa passa per il suo centro, per cui non aggiunge alcun momento. Ne segue che durante tutto il tragitto il momento angolare dell’asteroide deve rimanere costante (conservazione del momento angolare). In  particolare, nel momento di tangenza, vale:

IT = m R V

Abbiamo la prima relazione:

m vC d = m R V

ossia:

V = vC d/R     …. (1)

Durante il viaggio, però si deve conservare anche l’energia totale. Quando l’asteroide è lontano l’energia è solo cinetica, ossia abbiamo:

EL = ½ m vC2

Quando l’asteroide arriva al punto di tangenza la sua energia è sia cinetica che potenziale, dovuta alla gravità terrestre. Abbiamo allora:

ET = ½ mV2 – GMm/R

La conservazione ci impone che:

½ m vC2 = ½ mV2 – GMm/R

Ossia:

V2 = vC2 + 2GM/R     …. (2)

Uguagliando (1) e (2) si ottiene subito il valore necessario di vC:

vC2 d2/R2 = vC2 + 2GM/R

vC2(d2/R2 -1) = 2GM/R

vC2 = 2GM/(R(d2/R2 -1)) = 2GM/(R(d2 – R2)/R2) = 2GMR/(d2 – R2)

vC = (2GMR/(d2 – R2))1/2

Un semplice problemino che potrebbe anche attivare molte altre variazioni sul tema...

6 commenti

  1. Michele Celenza

    Quindi per velocità maggiori di  v 

    si ha la velocità di fuga ovvero quella velocità minima per effetto della quale una particella in orbita a distanza da un pianeta "sfugge" al suo campo gravitazionale?

  2. Caro Michele,

    per v > vc l'asteroide passa e va (passaggio ravvicinato), ma cambia drasticamente l'orbita.

    Visto che sembri l'unico ancora presente, dimmi qualcosa sull'acqua e il vino...  :wink:

  3. michele celenza

    Si sono presente a tratti poiché indaffarato per l'organizzazione della prossima vendemmia: revisione attrezzature, torchi, pigiatrici, ecc.

    Non ho ancora affrontato il quesito da te proposto ma cercherò di prenderlo in esame; purtroppo per quanto riguarda l'inserimento di disegni/grafici/figure nei commenti del blog ho provato a usare IMIGUR ma non mi carica i file.

    Buona serata Vincenzo

  4. Elia (name)

    È molto interessante rispolverare questa giovane ultra cinquantenne "fionda gravitazionale" di cui ahime non si parla piu e che sarebbe davvero non solo interessante ma anche importantissimo considerare...

    Grazie Vincenzo, mi hai regalato la possibilità di rivivere i sogni d'infanzia dei moti nello spazio, dalla navicella al satellite ad altri oggetti!

  5. stai tranquillo Michele e fai del buon ... vino!

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