Dic 10

Un triangolo in difficoltà *

Facciamo divertire anche i meno esperti... Un povero triangolo rettangolo è sicuramente molto intelligente, ma ha appena iniziato lo studio della geometria e della matematica. Gli si fa una domanda che sembra irrisolvibile per la sua limitata preparazione. Riuscite ad aiutarlo?

Il nostro triangolo rettangolo sa soltanto che è rettangolo, che il suo lato più lungo è uguale a 3 e che la differenza tra gli altri due lati è uguale ad 1. Gli si chiede di determinare in meno di un minuto (o giù di lì) la sua area.

igno

Il triangolo è in grande difficoltà dato che conosce soltanto le quattro operazioni (somma, differenza, prodotto e divisione) per quanto riguarda l'aritmetica, mentre conosce solo il quadrato, il suo perimetro e la sua area, per quanto riguarda la geometria.  Non sa assolutamente come si può determinare l'area di un triangolo e di un rettangolo e, ovviamente, non conosce il teorema di Pitagora e altri teoremi simili. Il cerchiò è ancora un mistero e , oltretutto, non saprebbe nemmeno usare un compasso. Insomma, è proprio alle prime armi, ma è molto intelligente.

Insomma, cercate di aiutarlo: è veramente simpatico e se lo merita!

La soluzione la trovate QUI

 

9 commenti

  1. Carlo Pastore

    Eleviamo al quadrato (b - c) = 1 e otteniamo:

    (1).         b2 + c2 - 2bc = 1 

    Per il teorema di Pitagora è b2 + c2 = a2

    Sostituendo nella (1) otteniamo:

    a2 - 2bc = 1, o anche

    (2).         2bc = a2 - 1.

    Poiché b - c = 1 avremo anche b = c + 1 che sostituendo nella (2), questa diventa:

    (3).         2(c + 1)c = a2 + 1

    Eseguendo le moltiplicazioni in parentesi e sostituendo ad a il valore 3 (dato del problema), si ottiene la seguente equazione di secondo grado:

    (4).         c2 + c - 4 = 0

    che ha due soluzioni:

    c1= (-√17 - 1)/2, negativa che non ha alcun valore pratico nel nostro problema perché un segmento non può mai avere lunghezza negativa.

    c2 = (√17 - 1)/2, che d'ora in poi sarà la nostra c.

    Dalla (b - c) = 1 otteniamo 

    b = c + 1, ovvero (√17 - 1)/2 + 1. Quindi sarà:

    b = (√17 + 1)/2

    Come è noto l'area del nostro triangolo rettangolo è:

    A = bc/2 dove sostituendo i valori di b e c trovati avremo:

    A = ((√17 - 1)/2)(√17 + 1)/2))/2 = (17 - 1)/8 (per il prodotto notevole "somma di due monomi per la loro differenza"). Quindi completando i calcoli, la soluzione trovata è:

    A = 2

     

     

     

     

     

  2. caro Carlo,

    eh no... Nell'articolo c'è scritto chiaro che il triangolo non conosce Pitagora e nemmeno l'area del triangolo. Tanto meno le equazioni di secondo grado...

    Deve farne a meno... :roll:

     

  3. michelecelenza

    sapendo solo calcolare l'area del quadrato, il suo perimetro e le quattro operazioni aritmetiche sarebbe stato molto più facile se il triangolo rettangolo fosse stato isoscele in quel caso avrebbe certamente dedotto che l'area del triangolo  è  la metà di quella del quadrato che ha il lato uguale alla misura del cateto

  4. Daniele Costantini

    Credo che l'area sia pari a 2, come già detto nel primo commento. Avendo a disposizione solamente le quattro operazioni aritmetiche ed alcune proprietà del quadrato, si può arrivare al suddetto risultato nel seguente modo:

     

    • Dato il triangolo di partenza, se ne disegnano altri tre di dimensioni uguali a quello originale e li si dispongono in modo tale da ottenere un quadrato di lato pari all'ipotenusa a, avente valore pari a 3;
    • Al centro di questo quadrato se ne viene a delineare un altro, più piccolo, di cui sono noti i lati, pari alla differenza tra il cateto maggiore b ed il cateto minore c, pari a 1;
    • Si passa al calcolo delle aree dei due quadrati. Il quadrato più grande, avente il lato dal valore pari a 3, avrà un'area pari a 9; il quadrato più piccolo, con lato uguale a 1, avrà un'area anch'essa pari a 1;
    • Sottraendo l'area più piccola a quella più grande (9 - 1 = 8) si otterrà la somma delle aree dei quattro triangoli. Dividendo tale area per quattro (8 / 4 = 2) si otterrà l'area di un singolo triangolo, che è poi quello di partenza. 

     
    Spero che il procedimento sia quello giusto.   :mrgreen: 

  5. Daniele Costantini

    La sottrazione delle due aree deve dare 8, purtroppo il numero è stato sostituito da una  faccina

  6. Bravo Daniele! Ottima risposta :-P

  7. Daniele Costantini

    Grazie Prof. Zappalà!  :mrgreen:

    Ho iniziato da pochi giorni a leggere e studiare il suo corso di matematica e ammetto che, dopo aver letto la lezione n. 5, tale quesito sia capitato proprio al momento giusto.  :mrgreen:

  8. grazie a te Daniele! e -ricordati- che qui ci diamo tutti del TU. Continua a seguirci, mi raccomando :-P

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