Mag 19

Equazioni della spirale logaritmica ***

Data l'equazione polare della spirale logaritmica, non è difficile passare alla corrispondente rappresentazione parametrica. Meno immediato è il cammino inverso: da parametrica a polare. Ma percorrendo questo sentiero si può meglio comprendere il significato geometrico dei parametri che stabiliscono la forma della curva.

Nei testi si trova normalmente l'equazione polare   della  spirale logaritmica,  proprio a causa della sua nascita attraverso la funzione logaritmo.

Infatti, scrivere la sua forma più comune:

r = a e

significa anche scrivere:

ln(r/a) = ln(e) = kθ

θ = (1/k) ln(r/a)

in cui si vede bene il rapporto logaritmico che vi è tra l'angolo θ e il raggio, ovviamente variabile).

Da queste equazioni si ricavano immediatamente le equazioni parametriche:

x = r cos θ

y = r sen θ

con r funzione dell'angolo θ .

Praticamente introvabile è invece il percorso inverso, ossia partire da equazioni parametriche qualsiasi  e ottenere l'equazione polare.  Stuzzicato dal povero Pippo alle prese con migliaia di automobiline, trovate di seguito un mio tentativo andato a buon fine...

Trasformazione da coordinate parametriche della spirale logaritmica a coordinate polari

 

Equazione in coordinate cartesiane della Spirale Logaritmica

x(\theta) =r(\theta )cos(\theta )

y(\theta) =r(\theta )sen(\theta )

Considero un punto P  , intersezione della retta r  (raggio OP )   e  della curva della  spirale logaritmica.

In quel punto P traccio la retta t ,  tangente alla spirale.

Indico con  \theta  l'angolo tra   r    e l'asse orizzontale e con  \beta   l'angolo  fra   r   e la tangente t .

Il coefficiente angolare della retta   vale   tan (\theta +\beta )  e lo posso esprimere come rapporto tra le derivate parziali della spirale nel  punto P 

tan(\beta+\theta) =\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{d\theta } * \frac{d\theta }{dx}      esplicitando le due derivate di x e y  rispetto all'angolo  \theta   otteniamo

tan(\beta+\theta ) =\frac{r' sen\theta\ + rcos\theta }{r'cos\theta -rsen\theta } =

=\frac{r'sen\theta {cos\theta }/{cos\theta } + rcos\theta }{r'cos\theta -rsen\theta cos\theta /cos\theta }         =\frac{r'tan\theta{cos\theta } + rcos\theta }{r'cos\theta -rtan\theta cos\theta }    =\frac{rcos\theta (r'tan\theta/r +1)}{r'cos\theta( 1-rtan\theta/r') }  =

=\frac{rcos\theta (tan\theta +r/r')}{r cos\theta( 1-rtan\theta/r') }      =\frac{tan\theta +r/r'}{1-tan\theta r/r'}tan(\theta +\beta )     da cui ricavo:

tan(\theta )+\frac{r}{r'}=tan(\theta +\beta )-tan(\theta +\beta)tan\theta \frac{r}{r'}

tan\theta -tan(\theta +\beta ) =-\frac{r}{r'}(tan(\theta +\beta ) + 1)

\frac{tan(\theta +\beta)-tan\theta}{1+tan(\theta +\beta )tan(\theta )}=\frac{r}{r'}

Ricordando le formule che legano il seno e il coseno della somma di due angoli con i seni e i coseni dei due angoli (e ricordando che la tangente è uguale al seno diviso per il coseno), ci accorgiamo che il termine a sinistra non è altro che lo sviluppo della tangente della differenza tra i due angoli  (\theta +\beta)   e  \beta ossia precisamente  tan\beta.

tan\beta = \frac{r}{r'}

Il complemento a 90° di \beta   è proprio l'angolo compreso tra t e t', ossia l'angolo \alpha  quindi

tan\alpha =\frac{r'}{r}       e chiamando    k=tan\alpha       riscrivo:  \frac{r'}{r }=k       da cui      r'-kr=0

(1/r)dr/dθ = k

separando le variabili

(1/r) dr = k dθ

e integrando

ln r = kθ + c

r = ekθ + c = ec e  = a e               (ovviamente per θ = 0, r0 = a )

che è proprio l'equazione polare della spirale logaritmica        \dpi{150} \large r=a*e^{k\theta }{\color{Red} }

Abbiamo così individuato nel parametro  k,  che compare all'esponente, il significato di tangente dell'angolo di distacco / accrescimento 

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