19/05/20

Equazioni della spirale logaritmica ***

Data l'equazione polare della spirale logaritmica, non è difficile passare alla corrispondente rappresentazione parametrica. Meno immediato è il cammino inverso: da parametrica a polare. Ma percorrendo questo sentiero si può meglio comprendere il significato geometrico dei parametri che stabiliscono la forma della curva.

Nei testi si trova normalmente l'equazione polare   della  spirale logaritmica,  proprio a causa della sua nascita attraverso la funzione logaritmo.

Infatti, scrivere la sua forma più comune:

r = a e

significa anche scrivere:

ln(r/a) = ln(e) = kθ

θ = (1/k) ln(r/a)

in cui si vede bene il rapporto logaritmico che vi è tra l'angolo θ e il raggio, ovviamente variabile).

Da queste equazioni si ricavano immediatamente le equazioni parametriche:

x = r cos θ

y = r sen θ

con r funzione dell'angolo θ .

Praticamente introvabile è invece il percorso inverso, ossia partire da equazioni parametriche qualsiasi  e ottenere l'equazione polare.  Stuzzicato dal povero Pippo alle prese con migliaia di automobiline, trovate di seguito un mio tentativo andato a buon fine...

Trasformazione da coordinate parametriche della spirale logaritmica a coordinate polari

 

Equazione in coordinate cartesiane della Spirale Logaritmica

x(\theta) =r(\theta )cos(\theta )

y(\theta) =r(\theta )sen(\theta )

Considero un punto P  , intersezione della retta r  (raggio OP )   e  della curva della  spirale logaritmica.

In quel punto P traccio la retta t ,  tangente alla spirale.

Indico con  \theta  l'angolo tra   r    e l'asse orizzontale e con  \beta   l'angolo  fra   r   e la tangente t .

Il coefficiente angolare della retta   vale   tan (\theta +\beta )  e lo posso esprimere come rapporto tra le derivate parziali della spirale nel  punto P 

tan(\beta+\theta) =\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{d\theta } * \frac{d\theta }{dx}      esplicitando le due derivate di x e y  rispetto all'angolo  \theta   otteniamo

tan(\beta+\theta ) =\frac{r' sen\theta\ + rcos\theta }{r'cos\theta -rsen\theta } =

=\frac{r'sen\theta {cos\theta }/{cos\theta } + rcos\theta }{r'cos\theta -rsen\theta cos\theta /cos\theta }         =\frac{r'tan\theta{cos\theta } + rcos\theta }{r'cos\theta -rtan\theta cos\theta }    =\frac{rcos\theta (r'tan\theta/r +1)}{r'cos\theta( 1-rtan\theta/r') }  =

=\frac{rcos\theta (tan\theta +r/r')}{r cos\theta( 1-rtan\theta/r') }      =\frac{tan\theta +r/r'}{1-tan\theta r/r'}tan(\theta +\beta )     da cui ricavo:

tan(\theta )+\frac{r}{r'}=tan(\theta +\beta )-tan(\theta +\beta)tan\theta \frac{r}{r'}

tan\theta -tan(\theta +\beta ) =-\frac{r}{r'}(tan(\theta +\beta )tan\theta + 1)

\frac{tan(\theta +\beta)-tan\theta}{1+tan(\theta +\beta )tan\theta }=\frac{r}{r'}

Ricordando le formule che legano il seno e il coseno della somma di due angoli con i seni e i coseni dei due angoli (e ricordando che la tangente è uguale al seno diviso per il coseno), ci accorgiamo che il termine a sinistra non è altro che lo sviluppo della tangente della differenza tra i due angoli  (\theta +\beta)   e  \theta ossia precisamente  tan\beta.

tan\beta = \frac{r}{r'}

Il complemento a 90° di \beta   è proprio l'angolo compreso tra t e t', ossia l'angolo \alpha  quindi

tan\alpha =\frac{r'}{r}       e chiamando    k=tan\alpha       riscrivo:  \frac{r'}{r }=k       da cui      r'-kr=0

(1/r)dr/dθ = k

separando le variabili

(1/r) dr = k dθ

e integrando

ln r = kθ + c

r = ekθ + c = ec e  = a e               (ovviamente per θ = 0, r0 = a )

che è proprio l'equazione polare della spirale logaritmica        \dpi{150} \large r=a*e^{k\theta }{\color{Red} }

Abbiamo così individuato nel parametro  k,  che compare all'esponente, il significato di tangente dell'angolo di distacco / accrescimento 

3 commenti

  1. Paolo Di Giorgio

    Buongiorno,

    grazie dell'articolo: confermo che la procedura appare effettivamente introvabile in rete.

    Segnalo che è stata dimenticata una tan(θ)

    dovrebbe essere

    tan θ - tan (θ+β) = - r/r' (tan (θ+β)  tanθ +1)

    Ricordando le formule che legano il seno e il coseno della somma di due angoli con i seni e i coseni dei due angoli (e ricordando...

    Paolo Di Giorgio

     

  2. grazie Paolo!

    L'autore interverrà quanto prima...

  3. Maurizio Bernardi

    Grazie Paolo per la tua segnalazione. E' un piacere trovare lettori così attenti.

    Le tangenti  (trigonometriche, ma non solo) sono molto insidiose...  

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