Questo articolo è inserito in Matematica e Geometria

 

Approfondiamo il problema relativo alla strana somma dei numeri interi positivi... (QUI la prima parte)

Possiamo abbastanza facilmente ottenere un risultato altrettanto negativo, ma diverso da quello precedente:

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + ... =

= 1 + (2 + 3 + 4) + (5 + 6 + 7) + (8 + 9 + 10) + ... =

= 1 + 9 + 18 + 27 + ... =

= 1 + 9 (1 + 2 + 3 + ...)  =

= 1 + 9 S

S = 1 + 9S

8S = - 1

S = - 1/8

Oppure:

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + ... =

= 1 + 2 + (3 + 4 + 5 + 6 + 7) + (8 + 9 + 10 + 11 + 12) + ( 13 + 14 + 15 + 16 + 17) +... =

= 1 + 2 + 25 + 50 + 75 + ... =

= 3 + 25(1 + 2 + 3 + 4 + ...) =

= 3 + 25 S

S = 3 + 25 S

24S =- 3

S= - 3/24

S = - 1/8

Carino, vero?

Come già detto si può trovare di tutto e di più... Tuttavia, qualsiasi tentativo si faccia si commette un errore in quanto si manipolano, con una matematica "finita", delle serie che sono divergenti.

Tuttavia -ma la faccenda diventerebbe veramente complicata- il risultato - 1/12 diverrebbe VERO e AMMISSIBILE se si introducesse un differente tipo di somma (una specie di supersomma) definita proprio da Ramanujan. In poche parole, la vera grandezza del genio indiano è stata quella di riuscire a trattare una somma con termini infiniti con un metodo estremamente più generale di definizione di somma. Questo fatto ci porta verso la funzione zeta di Riemann e tanto altro ancora.

La cosa migliore è scrivere in questo modo:

Dove, è stato inserito un segno di uguale del tutto particolare, che ricorda proprio la somma di Ramanujan.

Basta, forse, per comprendere la situazione, studiare una funzione molto particolare:

y = x(x-1)/2

La riconoscete? E' la formula usata da Eulero per determinare facilmente il valore della somma di n numeri interi, dove al posto di n abbiamo inserito la variabile x.

Otteniamo, ovviamente una parabola. Ma -attenzione!- l'area rossa è uguale proprio a -1/12 e  l'ordinata del minimo proprio uguale - 1/8. Una pura combinazione? No, assolutamente no. Purtroppo dobbiamo fermarci qui, dato  che la VERA formula di Ramanujan ci farebbe entrare in un campo di matematica veramente superiore!  Accontentiamoci...