Categorie: Fisica classica
Tags: cinematica cinematica rotazionale lancette orologio quiz
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:13
(CIN) (Q) Che ora è ? **
Probabilmente faremo ancora qualche esercizio di cinematica lineare, ma, visto che abbiamo da poco dovuto spostare le lancette dell'orologio per il cambiamento di ora, proponiamo un semplice problema di cinematica rotazionale.
Questa volta i due asterischi dovrebbero essere giustificati... basta non perdere la concentrazione.
(1) E' esattamente mezzanotte. Allo scoccare dell'una vi chiedo:
1a_ Quante volte le lancette dell'orologio hanno formato esattamente un angolo di 90° ?
1b_ A quali(e) ore(a) esattamente ?
(2) Sono esattamente le 3 di notte. Allo scoccare delle 4 vi chiedo:
2a_ Quante volte le lancette dell'orologio hanno formato esattamente un angolo di 90° ?
1b_ A quali(e) ore(a) esattamente ?
N.B1.: Nel caso (2) la configurazione iniziale (le 3 esatte) è esclusa.
N.B.2: Potete anche svolgere il problema nel ... pomeriggio!
QUI la soluzione
13 commenti
Quesito 1
sia la lancetta dei minuti che quella delle ore partono dalle 24 nella posizione allineata e con il passare del tempo formano un angolo rispetto a questa posizione iniziale che è dato:
per quella dei minuti
θm = θ0 + ωmt ove ωm= 2π/60 rad/min
per quella delle ore
θh = θ0 + ωh t ove ωh = 2π/3600 rad/min
essendo θ0=0 ( angolo 0 al tempo t=0 )
per formare tra loro un angolo retto deve essere
θm - θh = π/2 rad
sostituendo i valori dei due angoli funzione del tempo abbiamo
π/2 = ωmt - ωh t = t ( ωm - ωh) ; π/2 = t ( 2π/60 - 2π/3600) ; π/2 =t ((60 - 1)/1800)) π = π(59/ 180) t
da cui si ricava il tempo t per formare un angolo retto tra le due lancette
t = π/2 (1800/59)/2/π = 1800/1180 = 15, 25 min ovvero 15 min e 15 sec
se aggiungiamo un angolo piatto all'angolo retto formato le due lancette formano ancora un ang0lo retto tra loro
avremo pertanto
π/2 + π = π(59/ 180) t t = 3/2 π (180/59)/π = 45, 76 min ovvero 45 min 45 sec
essendo il secondo tempo minore di un ora ( l'una di notte) possiamo dire che le due lancette formano un angolo retto tra loro ai tempi
t = 15 min e 15 sec e t = 45 min 45 sec
Però mi frulla questo dubbio...
Parliamo solo del primo quesito: è mezzanotte e le due lancette sono sovrapposte: tra loro formano un angolo di zero gradi.
La lancetta delle ore alla 1 ha ruotato di 30 gradi. Quella dei minuti di 360. Quindi l'angolo tra le due lancette in un'ora è variato di 330 gradi.
Alla velocità di 330 gradi all'ora, per sfasarsi di 90° sarà necessario un tempo di 90/330 = 0,(27) ore, che corrispondono a 16,(36) minuti, ossia 16 minuti 21,(81) secondi.
Ma dove sbaglio ?
Caro Michele, ossservando le tue premesse sulle velocità di rotazione delle lancette vedo che scrivi :
per quella delle ore
θh = θ0 + ωh t ove ωh = 2π/3600 rad/min
però la lancetta delle ore compie una rotazione 2π ogni 12 ore, ossia 720 minuti ...
Condivido lo stesso "frullo" di Maurizio...
Se considero le velocità angolari delle due lancette, in gradi spazzati al minuto:
velocità angolare lancette dei minuti (gradi al minuto): 360°/60
velocità angolare lancette delle ore (gradi al minuto): 360°/(12×60) = 360°/720
Imponendo la condizione che:
l'angolo maggiore percorso dalla lancetta dei minuti meno l'angolo percorso dalla lancette delle ore
moltiplicato per il tempo t, formi un angolo retto ogni k-esimo di giro, posso scrivere:
(360°/60 – 360°/720)×t = 90° + k×180°
(11°/2)×t = 90° + k×180°
t = 2×( (90° + k×180°)/11° (1)
Per k=0, partendo dalla posizione sovrapposta delle 2 lancette (angolo 0°),
t = 2×90°/11° = 2×(8 + 2/11) = (16 + 4/11) minuti ≈ 16 minuti e 22 secondi
quindi alle 12:16:22 si forma il primo angolo retto;
quando k indica il completamento di mezzo giro della lancetta dei minuti (rispetto alla posizione precedente), la (1) diventa:
t = 32 + 8/11 ≈ 32 minuti e 44 secondi
che sommato all’orario precedente segna le 12:49:06
e cosi via
Provo a risolvere il 2° quesito
alle ore 3 la lancetta delle ore è posizionata sulle ore tre e forma con quella dei minuti che risulta posizionata a ore 12 un angolo π/4 rad rispetto a ore 12 che viene presa come angolo di riferimento al tempo t=0
avremo
θmin = θ0 +ωmin t ( θ0 = 0 )
θh = θ0 +ωh t ( θ0 = π/4)
θh = + π/4 +ωh t
sostituendo i valori numerici delle velocità angolari e imponendo θmin - θh = π/2
θmin - θh = π/2 = π/30 t - π/4 - π/1800 t
π/2 + π/4 = π t ( 1/ 30 - 1/1800)
3/4 = t 59/1800 t = 1800 x 3 / 59 x 4 = 22,88 min a cui bisogna aggiungere 15 min poichè anche alle ore 3 e 0 min l'angolo tra le due lancette è retto
quindi avremo un tempo dopo le ore 3 di 15 + 22,88 = 37,88 min ovvero le lancette formano un angolo retto dopo le 3 alle 3 h, 37 min , 52,8 sec
se aggiungiamo un angolo piatto il tempo corrispondente supera le ore 4 pertanto dopo le ore 3 si ha il solo tempo soprascritto nel quale le lancette formano un angolo retto
Si hai ragione Maurizio ho calcolato erroneamente la velocità angolare della lancetta delle ore che è 2π/ 12 x 60 = 2π/720 rad / min
Grazie
Ciao
Però, se ogni 16 minuti e 21,(81) secondi l'angolo tra le lancette varia di 90 gradi, alle ore 15 16 minuti e 21,(81) secondi saranno sovrapposte e dopo altri 16 minuti e 21,(81) secondi saranno in quadratura.
Quindi dobbiamo aspettare che siano le 15 e 32(72) minuti, ossia le 15 32 minuti e 43,(63) secondi.
In sintesi, visto il ragionamento di prima, dato che le lancette partono dalle 12 precise (o meglio dalle 00 visto che si intende come mezzanotte), in una configurazione di iniziale sovrapposizione,
e poiché per ogni 180/11 minuti la configurazione si alterna tra angoli retti, piatti e nulli,
si può esprimere con una legge generale:
Ora = 00 + k×(180/11)/60 = 00 + k × 3/11
calcolata su scala sessagesimale.
Per k dispari avremo tutte le configurazioni ad angolo retto;
nel caso proposto dal quiz:
k = 1 Ora = 00 + 1 × 3/11 = 00:16:21,82
k = 3 Ora = 00 + 3 × 3/11 = 00:49:05,45
k = 5 Ora = 00 + 5 × 3/11 = 01:21:49,09
k = 7 Ora = 00 + 7 × 3/11 = 01:54:32,73
k = 9 Ora = 00 + 9 × 3/11 = 02:27:16,36
k =11 Ora = 00 + 11 × 3/11 = 03:00:00
k =13 Ora = 00 + 13 × 3/11 = 03:32:43,64
k =15 Ora = 00 + 15 × 3/11 = 04:05:27,27
Quindi da mezzanotte alle 3 (incluse) del mattino, la configurazione angolo retto si ripete 6 volte;
dalle 3 (escluse) alle 4 del mattino, la stessa configurazione si ripete 1 volta.
P.s.
Per k pari o zero, le configurazioni sono o angolo piatto (versi opposti delle lancette) o angolo nullo (lancette nello stesso verso), es:
k = 0 Ora = 00 + 0 × 3/11 = 00:00:00 (configurazione angolo nullo)
k = 2 Ora = 00 + 2 × 3/11 = 00:32:43,64 (configurazione angolo piatto)
k = 4 Ora = 00 + 4 × 3/11 = 01:05:27,27 (configurazione angolo nullo)
Bene, bene... vi vedo accaniti...
Insomma, alle 12 quante volte le lancette si sono trovate a 90° tra di loro ?
Se scrivendo "alle 12 " intendi le 12 a.m, .... Due volte
la prima alle 12h 16m 21,(81)s e la seconda alle 12h 49m 5,(45)s
Se scrivendo "alle 12" intendi" le 12 p.m. ossia la mezzanotte .... Due volte
la prima alle 0h 16m 21,(81)s e la seconda alle 0h 49m 5,(45)s come già detto da Michele
In ambedue i casi la lancetta dei minuti forma un angolo di 90° con quella delle ore la prima volta che si dispongono a 90° "tra loro". Con il passare del tempo i gradi aumentano e la seconda volta che le lancette sono "a 90° tra loro" l'angolo che la lancetta dei minuti forma con quella delle ore è di 270°.
Se si intende "alle 12" da mezzanotte a mezzogiorno (o viceversa) cioè un giro completo,
la prima configurazione ad angolo retto (k=1) è alle 00:16:21,82
l'ultima (k=43) è alle 11:43:38,18
con k=1, 3, 5, 7, 9, 11, ... , 43
ovvero nell'arco di 12 ore detta configurazione appare (43 + 1)/2 = 22 volte
Caro Mau,
nel quiz si parla di mezzanotte, ossia ore 0 am. Dopo dodici ore sono le 12 am...
Ottimo Andy ! Si perde una quadratura dalle 3 alle 4 e dalle 9 alle 10.
Infatti si ha quadratura alle 3 esatte e la lancetta dei minuti non riuscirà a cogliere alle spalle quella delle ore entro le 3 e ci riuscirà solo dolo che sono scoccate le 4. Idem per le 9.
Parlando di moto circolare uniforme, l'approccio migliore è quello di scrivere le due leggi orarie e fare le differenze tra loro che devono essere 90° oppure 270°.
OK, avevo capito che facessi riferimento ancora al primo quesito, invece intendevi chiedere "quante volte si ha la quadratura tra mezzanotte e mezzogiorno".