Ago 26

Relatività galileiana. 3: da spazio a spazio-tempo *

Per una trattazione completa dell’argomento, si consiglia di leggere il relativo approfondimento

Spesso le cose banali vengono trascurate. Capitano così frequentemente nella realtà di tutti i giorni che la mente non ritiene opportuno dedicarle del tempo. Questo fatto fa apparire quasi ridicola la conclusione fondamentale di Galileo Galilei riguardo all’invarianza delle leggi fisiche in sistemi inerziali, ossia in quelli che differiscono solo per la loro velocità costante.

Simplicio che lancia la pallina con la carrozza sia ferma che in movimento non può accorgersi in alcun modo (se non guardasse fuori dal finestrino e se non ci fossero scossoni) del movimento effettuato a velocità costante: l’evento si verifica esattamente nello stesso modo.

Anche Salviati, che sta sempre fermo al di fuori della carrozza, pur descrivendo in modo diverso ciò che capita all’interno, arriva allo stesso identico risultato di Simplicio. Tutto ciò può essere scritto attraverso delle semplicissime trasformazioni di coordinate che sono nientemeno che le trasformazioni di Galileo che definiscono la sua relatività. Un concetto rivoluzionario se non altro perché espresso attraverso formule matematiche ineccepibili, anche se già intuito fin dall’antichità. La conseguenza più importante porta al concetto di somma di velocità, proprio il nocciolo della relatività di Einstein. Le trasformazioni di Galileo devono essere confrontate con quelle di Lorentz. Hanno entrambe lo stesso enorme valore fisico, non dimentichiamolo mai!

Inoltre, i grafici che sto per fare e che descrivono in modo elementare ciò che succede con carrozza ferma e con carrozza in movimento, ci portano direttamente nello spazio-tempo, ambiente naturale non solo per la relatività speciale ma anche per la MQ e per la QED.

Invito anche i più preparati a non “snobbare” quanto sto per fare, dato che è l’unica chiave per aprire la porta della fisica moderna. Galileo se lo merita!

Il teatro spaziale del nostro esperimento è la Fig. 1, ossia la carrozza, che assumiamo essere lunga 24 metri. La pallina si trova esattamente al centro e, quindi, dista 12 metri da entrambe le pareti A e B.

Figura 1
Figura 1

La Fig. 2 è, invece, un diagramma spazio-temporale. Esso ha in ordinata il tempo e in ascissa lo spazio. Come unità di tempo abbiamo scelto il secondo e come unità di spazio il metro. La pallina viene lanciata verso la parete A con una velocità uguale a 3 m/sec. Ciò vuol dire che ogni secondo la pallina si sposta di tre metri verso la parete A. Ho inserito il segno meno alla velocità, dato che essa va in verso opposto a quello positivo dello spazio (questa è una convenzione e niente più). Nel primo secondo la pallina si avvicina di tre metri alla parete A, nel secondo secondo di altri tre metri, nel terzo di altri tre e, infine, allo scadere del quarto, tocca la parete. Quanto tempo ha impiegato per arrivare a destinazione? Presto detto: 4 secondi. Ovviamente, lo potevamo già immaginare, dato che la distanza è di 12 metri e la pallina si muove di tre metri al secondo: 3 metri/secondo x 4 secondi = 12 metri. Vi prego… non ridete!

Figura 2
Figura 2

La Fig. 3 è identica alla Fig. 2, solo che questa volta Simplicio lancia la pallina dalla parte opposta, verso la parete B con una velocità uguale e contraria (lo spostamento va nel verso positivo dello spazio). Non c’è bisogno di spiegare il risultato. Come è più che ovvio la pallina toccherà B dopo 4 secondi e avrà percorso nuovamente 12 metri. D’altra parte, il modulo della velocità è costante.

Figura 3
Figura 3

Cosa vede Salviati? La stessa identica cosa di Simplicio, dato che la carrozza è ferma come è fermo lui al di fuori di essa. Non vi è nessuna velocità relativa tra di loro. Il sistema di riferimento è lo stesso per entrambi.

Mettiamo in moto la carrozza, ad esempio con una velocità (positiva) vC di un metro al secondo. In poche parole, ogni secondo si sposta di un metro. Se guardiamo le cose dall’interno di essa, ossia attraverso gli occhi di Simplicio, non devo assolutamente fare nessuna nuova figura. Tutto ciò che è all’interno della carrozza (Simplicio, pareti e pallina nella sua mano, si muovono alla stessa velocità vC di 1 m/sec). Simplicio non nota nessun movimento. Se non ci fosse la gravità, anche la pallina lasciata libera da Simplicio resterebbe immobile, perché anche lei deve mantenere la velocità che aveva quando era tenuta da Simplicio, proprio per il principio d’inerzia. Simplicio, perciò, non può rendersi conto del movimento che accomuna tutto ciò che sta dentro alla carrozza. Può benissimo trascurarlo e considerare ciò che capita solo rispetto al sistema di riferimento della carrozza.

Se lancia la pallina con velocità v la vede muovere verso le pareti A e B con la velocità di 3 m/sec. Per lui non è cambiato assolutamente niente. Ciò che è cambiato è solo e soltanto il sistema di riferimento utilizzato da Simplicio, ma lui non può saperlo, dato che ne fa parte. Infatti, il nuovo sistema di riferimento si muove rispetto a quello precedente di 1 m/sec, in modo costante, per cui è un sistema inerziale. Ripetiamo: non è possibile accorgersi di aver cambiato sistema inerziale, se si ci muove con lui.

Molto più interessante è ciò che vede Salviati. Lui, stando fermo nel sistema di riferimento solidale con il terreno, vede muoversi la carrozza e tutto ciò che contiene con velocità uguale a 1 m/sec. Disegniamo i diagrammi spazio-temporali osservati da Salviati. Che movimento esegue la pallina lanciata da Simplicio verso la parete A con velocità – v? (Fig. 4).

Essa è costretta a muoversi in due modi: di un metro al secondo verso destra e di tre metri al secondo verso sinistra, ossia verso la parete A. All’istante 0 la distanza tra pallina e parete A è di 12 metri. Che percorso compie nel primo secondo? Si sposta di un metro verso destra e di due verso sinistra, ossia, dato che 3 - 1 = 2, si sposta di due metri verso sinistra. Questa velocità è quella che vede Salviati ed è disegnata in rosso. Nel frattempo, però, Salviati vede anche la parete A spostarsi di un metro verso destra a causa della velocità della carrozza vC. La distanza tra la posizione della pallina all’istante 1 e la parete A è esattamente UGUALE a quella che aveva misurato con la carrozza ferma, ossia 9 metri (12 - 2 - 1). Il procedimento non cambia all’istante 2: ai 9 metri vanno nuovamente tolti 3 metri. Dopo 4 secondi vede che la pallina tocca la parete A. In poche parole, la pallina, anche con la carrozza in movimento, ha impiegato quattro secondi per raggiungere la parete A e la distanza tra pallina e parete è diminuita costantemente di tre metri al secondo. La legge del moto è identica a quella descritta da Simplicio, che si sente fermo all’interno della carrozza, ed è identica a quella descritta con la carrozza realmente ferma.

Figura 4
Figura 4

La situazione non cambia se Simplicio lancia la pallina verso la parete B, come descritto nella Fig. 5. Questa volta la velocità della pallina si somma alla velocità della carrozza. Ne risulta una velocità di 4 metri al secondo, ossia dopo un secondo la pallina si è avvicinata alla parete B di 4 metri. Tuttavia, dopo un secondo, anche la parete B si è spostata di un metro verso destra per effetto di vC. Non ci meravigliamo di certo se all’istante 1 la distanza tra pallina e parete è nuovamente di 9 metri (12 – 4 + 1) e che dopo quattro secondi la pallina tocca la parete. Anche in questo caso il tempo impiegato è stato di 4 secondi e la distanza è diminuita di tre metri al secondo.

Figura 5
Figura 5

Che cosa abbiamo fatto per ottenere questo banale e ovvio risultato? Abbiamo solo e soltanto sommato (o sottratto) delle velocità passando da un sistema di riferimento a un altro. Nulla è cambiato nella legge del moto. Non ci resta che ottenere questo risultato molto empirico attraverso qualche semplice formuletta che descriva la trasformazione di coordinate necessaria allo scopo.

Essa è la trasformazione galileiana che è stata valida fino alle leggi di Maxwell e che ha spinto Lorentz ha introdurre una nuova trasformazione. La trasformazione di Galileo, però, rimane sempre valida se le velocità in gioco sono nettamente inferiori a quella della luce. Sono, perciò, più che sufficienti a mandare la sonda Rosetta fino alla cometa o i robottini su Marte.

Bene, abbiamo scherzato, ma dalla prossima puntata faremo sul serio…

 

QUI tutti gli articoli sulla Relatività Galileiana

7 commenti

  1. Mario Fiori

    Sarà anche ovvio ed hai scherzato Enzo, è vero si capisce bene, però resta affiscinante analizzare certe , cosiddette, "banalità" che vengono automatiche vedendole, ma che nascondono tante leggi della natura.

  2. bravo Mario, hai capito perfettamente lo scopo... :wink:
    A volte, si preferisce andare all'estero, quando vicino a casa ci sono meraviglie altrettanto affascinanti... :-o

  3. Paolo

    Caro Enzo partendo da ciò che hai detto in questo articolo ho provato a complicare un pochino le cose per vedere cosa succede.

    Ora il vagone è in salita (ho anche inserito due pali fissi sul binario per mostrare meglio il movimento).
    http://www.astrobin.com/full/105411/K/

    La palla, però, ha una direzione esattamente parallela al pavimento del vagone, per cui il comportamento è lo stesso, dato che rispetto alla direzione di movimento del vagone, la direzione della palla è esattamente identica o contrapposta a quella di moto (per cui si possono sommare o sottrarre aritmeticamente le velocità).
    http://www.astrobin.com/full/105411/G/

    Ho quindi provato a vedere cosa succede con la palla spinta verso il cestino.
    Ho usato due diverse direzioni, una è perpendicolare al binario (come la forza di gravità) e l'altra al pavimento del vagone (palla gialla).
    http://www.astrobin.com/full/105411/L/

    A vagone fermo, la palla rossa si avvicina al bordo A del vagone e centra il cestino, quella gialla (che parte dallo stesso punto di quella rossa), non varia la sua distanza dai bordi.
    Nel grafico, ho anche voluto rappresentare (a destra) come varia la distanza tra pallina e pavimento del vagone (asse Y) in funzione del tempo.
    http://www.astrobin.com/full/105411/H/

    Con la carrozza in movimento le cose cambiano e la traiettoria della pallina varia, in funzione di come si combina il moto verso il pavimento con il movimento del vagone.
    Infatti la pallina rossa finisce nel cestino e quella gialla no.
    Non so se è corretto (??), ma io ho provato a rappresentare le velocità ottenute sull'asse X e su quello Y come vettori il cui risultato determina la direzione di moto della pallina vista da un osservatore fermo sul binario.
    http://www.astrobin.com/full/105411/I/

    Aumentando la velocità del treno, muta ovviamente il vettore risultante, ma come detto più volte questa non modifica in alcun modo la velocità della pallina all'interno del vagone.
    http://www.astrobin.com/full/105411/J/

    Paolo

  4. Paolo

    Caro Enzo ho provato ad applicare quanto contenuto in questo articolo modificando un pochino la situazione (complicandola un po').
    Ora il Vagone è in salita (ho anche inserito due pali fissi sul binario, al fine di mostrare meglio il movimento):
    http://www.astrobin.com/full/105411/K/

    Dato che la pallina viene lanciata con una direzione di moto parallela al pavimento del vagone, la situazione è simile a quella mostrata con vagone in piano, poiché la direzione di moto della pallina si può sommare o sottrarre aritmeticamente alla velocità del vagone.
    http://www.astrobin.com/full/105411/G/

    Cosa accade, però, se la direzione impressa alla pallina è diversa da quella dell'esempio precedente?
    Ho così aggiunto un movimento della pallina perpendicolare al terreno (come la forza di gravità), oppure perpendicolare al pavimento del vagone (pallina gialla)
    http://www.astrobin.com/full/105411/L/

    A carrozza ferma, la pallina gialla mantiene sempre la stessa distanza dai bordi, mentre quella rossa, si avvicina al bordo A, centrando così il cestino.
    Ho anche mostrato cosa succede sull'asse Y (parallelo al bordo del vagone).
    http://www.astrobin.com/full/105411/H/

    A carrozza in movimento la direzione di movimento delle due palline, muta in funzione di come si combina il moto del vagone con quello della pallina.
    Non so se è corretto, ma tale combinazione a me sembra uguale a quella di due vettori, ognuno dei quali rappresenta la velocità della pallina nelle due direzioni (parallela al pavimento e parallela o meno ai bordi).
    http://www.astrobin.com/full/105411/I/

    Aumentando la velocità del treno cambia la direzione di moto, vista dal binario, della pallina (sia rossa, sia gialla), ossia il vettore risultante dalla combinazione dei due vettori di velocità, ma ovviamente non cambia la velocità della pallina all'interno del vagone (questa rimane uguale indipendentemente dalla velocità del vagone).
    http://www.astrobin.com/full/105411/J/

    E' corretto tale uso di vettori ?

    Paolo

  5. caro Paolo,
    mi sono trovato un tuo messaggio tra quelli in sospeso(?). Non capisco come mai... non mi era mai successo. Provo a metterlo in evidenza... se ci riesco...

  6. caro Paolo,
    direi che dopo l'articolo successivo (capito 1), le cose dovrebbero risolversi da sole. Il movimento della carrozza conta poco. L'importante è che la velocità sia costante nel verso del moto. Chi è all'interno non può distinguere se la carrozza è in salita (meglio dire se segue una certa direzione, dato che parlare di salita implica un'accelerazione...). E quindi tutto capita come prima. Il movimento della pallina soggetta a forze deve restare identico sia per Simplicio che per Salviati (anche lui però deve essere inclinato come la direzione del moto). E' come se considerassi la carrozza orizzontale e poi agisse una forza sulla pallina. Che sia solo la gravità, oppure dell'altro, poco importa se i sistemi sono inerziali. Il moto deve essere descritto nello stesso modo...

  7. Paolo

    Caro Enzo, sul messaggio penso si tratti di qualche meccanismo automatico del sito.
    A me diceva che il messaggio era in attesa di essere approvato dal moderatore.
    Penso che il problema sia dovuto al fatto che il messaggio (il secondo era un secondo tentativo di inserire il messaggio precedente) conteneva troppi link a gif animate e immagini ( i grafici), dato che tali link potenzialmente potrebbero contenere virus, il sistema ha bloccato il messaggio, in attesa di istruzioni...
    Per quanto riguarda le rappresentazioni, la difficoltà che trovavo erano quelle di rappresentare spostamenti spaziali della pallina non paralleli al movimento del vagone (usando solo l'asse x, parallelo al pavimento del vagone) , cosa chiarita nell'articolo successivo (che ora leggerò con calma).

    In realtà nella mia testa, ragionavo per similitudine, traslando le coordinate.

    Un comportamento mentale, dettato per esempio dalla coordinata di ascensione retta, che si muove apparentemente in continuazione nel cielo (movimento perfettamente descrivibile nel tempo, dato che è dovuto al movimento uniforme di rotazione della terra sul suo asse).

    Usando un sistema altazimutale tale traslazione avviene sui due assi (azimut e altezza).

    Probabilmente tale modalità per passare da un sistema ad un altro (coordinate di un oggetto, e coordinate apparenti dell'oggetto nel tempo), necessita da parte mai di ulteriori approfondimenti .

    Ora, però, mi leggo l'articolo successivo che mi sembra affrontare anche queste questioni .

    Paolo

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