18/12/14

Il “vero” raggio di Schwarzschild ****

Questo breve articolo è solo un’appendice alla trattazione dei buchi neri, dedicata ai più esperti. In particolare, vuole solo “dimostrare” qualitativamente che la determinazione dell’orizzonte degli eventi attraverso la velocità di fuga è solo un sistema semplice e alternativo, ma concettualmente non corretto. Schwarzschild è arrivato alla soluzione in modo ben più complicato, risolvendo un caso particolare della relatività generale.

Non possiamo certo scendere nei dettagli, dato che avremmo bisogno di esprimere tutte le equazioni derivate da Einstein nella formulazione della relatività generale. Tuttavia, possiamo almeno intuire il procedimento che ha portato Schwarzschild  alla sua soluzione.

La base di partenza è, ovviamente, la curvatura dello spazio-tempo causato dalla presenza di una massa. La relatività generale non era ancora stata completata e già il “nostro” aveva cercato di descrivere lo spazio-tempo attorno a una massa sferica “statica” (senza rotazione) e senza carica elettrica. Una soluzione particolare, ma che già poteva descrivere alcuni punti fondamentali della nuova visione della gravità, non più intesa come “forza”, ma come “curvatura” dello spazio-tempo.

Per poter fare ciò è necessario scrivere una “metrica” che rappresenti la geometria di uno spazio-tempo curvo. Ovviamente, è una metrica in quattro dimensioni. Nelle condizioni particolari scelte si semplifica di molto rispetto a quella generale introdotta da Einstein. Essa usa due coordinate angolari, una radiale e, ovviamente, il tempo. Uno dei tanti modi per definire un punto in uno spazio. L’equazione semplificata che definisce la traiettoria  diventa:

ds2 = A(r)dt2 − B(r)dr2 − r2(dθ2 + sin2 θdφ2)

dove

A(r) = c2(1 − 2GM/c2r )

e

B(r) =  1/(1 − 2GM/c2r )

In parole povere, è un po’ come aver scritto una “distanza” usando particolari coordinate e sotto particolari condizioni (quelle di spazio-tempo curvo).

Si ponga, inoltre:

μ = GM/c2

e si ottiene

A(r) = c2(1 – 2μ/r)

B(r) =  1/(1 - 2μ/r)

La metrica può essere sintetizzata da una matrice che porta al determinante:

|  c2(1 – 2μ/r)            0                   0            0          |

|        0               - 1/(1 - 2μ/r)         0            0         |

|        0                          0                  r2            0          |

|        0                          0                  0       r2 sin2 θ   |

Si ha una divergenza (ossia una singolarità) per

r = 0

e  per

1 - 2μ/r = 0

Ossia, per:

r - 2μ = 0

e, infine:

r = 2μ = 2GM/c2

La prima singolarità non può essere evitata (centro del buco nero), la seconda, invece, non è altro che il raggio dell’orizzonte degli eventi che può essere evitata attraverso un’acconcia trasformazione di coordinate.

L’orizzonte degli eventi determinato da Schwarzschild descrive una superficie teorica che divide lo spazio-tempo in due regioni apparentemente non connesse causalmente. In realtà, però, una traiettoria, descritta nel sistema di riferimento del punto che precipita verso il buco nero, può tranquillamente attraversarlo. Esso appare come vera singolarità o -ancora meglio- come discontinuità, solo per un osservatore esterno. Questo concetto lo descriveremo meglio in seguito.

Risulta, perciò, abbastanza ovvio che l’uguaglianza tra luogo dei punti in cui la velocità di fuga è uguale alla velocità della luce e singolarità nella metrica di Schwarzschild  non è cosa immediatamente comprensibile…

Ovviamente, bisogna accettare quasi tutto come “atto di fede”, dato che per una completa dimostrazione si dovrebbe “digerire” la completa trattazione della relatività generale (e non solo).

In questo blog non può certo essere fatto e quindi i “più bravi” si accontentino, a meno di non dedicarsi anima e corpo alla teoria di Einstein da un punto di vista puramente matematico. Questo, però, non chiedetemelo!

22 commenti

  1. beppe

    Credevo di avere capito abbastanza sulla meccanica dei Buchi Neri, invece mi accorgo di avere una pletora di domande senza una risposta soddisfacente.
    Una navicella (immaginiamo un neutrone) può "entrare" nell'orizzonte degli eventi senza problemi.
    Dall'esterno la sua immagine dovrebbe essere "congelata" sulla superficie dell'orizzonte, mentre dalla navicella si può osservare l'interno del BN con le limitazioni del cono di luce, ma anche i fotoni che arrivano dall'esterno dell'orizzonte però non riesco a immaginarmi la deformazione che essi subiscono! :cry:

  2. caro Beppe,
    non sei l'unico a non sapere esattamente cosa succede oltre quella ... porta! :mrgreen: In ogni modo, non aspettiamoci cose veramente mostruose, anche perché è un cammino ben segnalato dallo spazio che è diventato il tempo e che può solo finire al centro. Le cose si complicano veramente per oggetti macroscopici a causa delle forze di marea...

  3. beppe

    Viva gli "spaghetti" :mrgreen:

  4. con un bel vino rosso ... sangue!!! :twisted: :twisted:

  5. foscoul

    Carissimo Enzo vediamo un po' se ho compreso a grandi linee .
    La gravità comprime gli strati più esterni verso quelli più interni ed il raggio iniziale si avvicina al valore di raggio critico, determinato dal volume occupato dalla stella prima del collasso.
    La stella diviene più compatta e lo spazio-tempo circostante aumenta la propria curvatura.
    I fotoni che prima erano emessi in ogni direzione, sono costretti a seguire l’aumentata curvatura.
    Quando il raggio di contrazione è vicino al raggio di Schwarzschild, la curvatura è talmente marcata che la maggior parte dei fotoni emessi dalla superficie della stella ricadono su di essa e soltanto pochi di essi riescono ancora a fuggire verso l’esterno. Quando il raggio della stella scende al di sotto del valore critico nessun fotone è in grado di lasciare la zona di spazio-tempo che oramai è completamente chiusa su se stessa perché la velocità di fuga è divenuta maggiore della velocità della luce.
    E' a questo punto che si forma il buco nero.
    Poi tra i fotoni emessi ne esistono alcuni, critici, che non possono ricadere verso la superficie ma rimangono intrappolati e viaggiare in direzione "tangenziale" alla superficie curva dello spazio-tempo.
    Questi fotoni limite costituiscono il cosiddetto orizzonte degli eventi che dovrebbe avere esattamente il raggio di Schwarzschild.
    Questo mi pare di aver capito dice la teoria. :roll:
    L’unica certezza è che nuclei stellari in contrazione, seguenti ad un’esplosione di supernova, non possono mantenersi in equilibrio se hanno massa superiore a circa 3 masse solari.
    Poi incuriosito dal discorso di "evaporazione" dei buchi neri a parte che non ho trovato da nessuna parte prove dell'esistenza di buchi neri di piccole dimensioni anche se la teoria non ne nega la possibilità esiste una spiegazione alla possibile "evaporazione" teorica cioè nei pressi dell'orizzonte degli eventi fluttuazioni di energia provochino la formazione di coppie particella-antiparticella virtuali accade a volte che una delle due particelle venga creata all’interno dell’orizzonte degli eventi e l’altra fuori, a questo punto quella che precipita nel buco nero diviene un’antiparticella reale e si annichilisce all’interno del buco nero stesso mentre l’altra diviene una particella reale e sfugge al buco nero sembrando emessa dallo stesso e si ha un apparente fenomeno di emissione.
    Aumentando la massa la aumenta e quindi anche l’irraggiamento.
    Il tutto è un processo che si autoalimenta e che porta il buco nero ad "evaporare" in un tempo caratteristico che è inferiore alla vita dell’universo solo per buchi neri di piccola massa.
    Ho letto che si ipotizza in base a calcoli matematici che nell’ultimo secondo della vita un buco nero splenderebbe come una piccola stella emettendo l’ultimo guizzo di luce sotto forma di raggi gamma chissà quì tutto sembra possibile 8-O

  6. Caro Foscoul,
    vi sono cose giuste e altre meno corrette. Le toccheremo tutte durante la trattazione dei buchi neri... Tuttavia, ti do qualche "antipasto"...

    Mentre la stella collassa, i fotoni continuano a uscire dato che la loro velocità è sempre maggiore di quella di fuga nel punto in cui loro vengono emessi. Il problema è riuscire a vederli...

    Esiste una distanza in cui i fotoni iniziano a orbitare attorno al buco nero, ed è prima dell'orizzonte degli eventi... ne parleremo diffusamente.

    Dopo il collasso vi sono due tipi di equilibrio: quello delle nane bianche e quello che delle stelle di neutroni. Dopo c'è solo il punto singolare del buco nero, dove però non sappiamo ancora che forma assuma la materia.

    Non ci sono prove osservative di evaporazione: è solo teoria, al momento. Anche di quella dirò qualcosa alla fine di tutti gli articoli...

    Insomma, ho appena cominciato... :)

  7. Alvermag

    Senza volermi addentrare nel formalismo matematico, caro Enzo, mi piacerebbe avere più chiaro il significato dei termini che compaiono nell’equazione di Schwarzschild.
    Appurato che r, θ, ϕ rappresentano le coordinate sferiche del generico punto a distanza r dal centro della massa sferica non rotante, direi che:
    - (2GM/r)dt^2 somiglia, a tutta prima, all’espressione del potenziale gravitazionale alla distanza r dal centro della massa; poi però vedo che compare il dt^2 che rende il termine più nebuloso.
    - (2GM/r)*(dr^2 /c^2) idem, come sopra.
    I due termini di cui sopra si vanno ad aggiungere a quelli che compaiono normalmente nel calcolo della separazione tra punti-evento nella relatività ristretta:
    ds^2 = c^2*t^2 – dx^2 - dy^2 – dx^2
    dove ho riportato le coordinate cartesiane in luogo di quelle sferiche.

    Insomma, mi pare si tratti di calcolare la separazione spazio-temporale tra due punti-evento posti sulla superficie sferica a distanza r dal centro della singolarità; i due punti-evento dovrebbero essere separati da uno spazio dr e da un tempo dt.

    Il calcolo della separazione nella RR non tiene però conto della massa ed ecco che vengono introdotti i due termini sopra riportati, nei quali in effetti compare la massa attraente M e la costante di gravitazione G. Ma cosa rappresentano fisicamente? Mi sembra rappresentino la stessa grandezza una volta considerata variabile nello spazio e l’altra nel tempo. E’ così?

    Grazie.

  8. Alvermag

    Ooops, ultimamente sono troppo distratto, dev'essere l'atmosfera del Natale.

    Allora, i due punti-evento non si trovano sulla stessa sfera, ma su due sfere di raggio rispettivamente r e r+dr.

    La formula della separazione nella RR:
    ds^2 = c^2*dt^2 – dx^2 – dy^2 – dz^2.

    Abbiate pazienza, sarà l'età; forse ha ragione Enzo, non ho 57 anni ma 58 .....

  9. Alvermag

    Stasera non c’è nulla d’interessante in TV e non mi va di leggere, quindi mi sono disposto a riflettere sulla questione che ti ho sottoposto: la riflessione (meglio se notturna o, almeno, serotina) porta consiglio.
    Immaginiamo di considerare l’oggetto fermo sulla superficie di raggio r: il tempo continuerà a scorrere, mentre lo spazio compreso tra l’istante iniziale e quello finale sarà nullo (per forza, non si muove!).
    Bene. La domanda è: COME scorre il tempo? Come nel caso della RR? NO, perché in quel caso non è prevista la presenza di masse. D’altra parte qual è l’effetto della massa? Di rallentare il tempo! Benone; vediamo cosa succede alla formula di Schwarzschild.

    Devo eliminare tutti i termini in cui compare la variazione spaziale dr, quindi:
    - (2GM/r)*(dr^2 /c^2) = 0
    nonchè:
    – dx^2 = 0 , – dy^2 = 0, – dx^2 =0. (utilizzo le coordinate cartesiane).

    Cosa rimane?
    Ds^2 = - (2GM/r)dt^2 + c^2*dt^2.

    Se ora provo ad uguagliare i due termini al secondo membro dell’equazione, ottengo:
    - (2GM/r)dt^2 + c^2*dt^2 , ovvero:

    r = 2GM/c^2 che rappresenta una delle soluzioni (l’altra è r=0). Cosa vuol dire? Che l’influenza gravitazionale ha rallentato lo scorrere del tempo fino ad arrestarlo, contrapponendosi esattamente allo scorrere del tempo che sarebbe avvenuto in assenza di massa (caso della RR).
    Abbiamo inoltre ds^2 = 0 che rappresenta la condizione del fotone per il quale effettivamente il tempo non scorre, muovendosi alla velocità c. Insomma il misterioso termine - (2GM/r)dt^2 rappresenta il rallentamento temporale prodotto dalla massa. Quando il rallentamento bilancia l’altro termine siamo sull’orizzonte degli eventi.

    Beh, ho fatto una telenovela ma sono piuttosto soddisfatto.
    Adesso però, Enzo, non mi smontare tutto!

  10. caro Alvy,
    hai detto molte cose giuste. Mancano le equazioni di Einstein di partenza, da cui proviene il caso particolare. Insomma tutta la parte tensoriale... Ma a questo punto, ti consiglierei veramente di leggerti un testo di relatività generale... Io non potrò mai trattarla in modo quantitativo, ma solo concettualmente e a volo radente... Tu mi sembri già molto più in là... :-P

  11. Alvermag

    Caro Enzo, ti ringrazio dei complimenti (immeritati), ho solo cercato di trarre qualche informazione qualitativa dall'equazione che hai scritto, in modo peraltro abbastanza banalotto.
    Arrivo a dire che quanto da me scritto avresti potuto inserirlo nell'articolo (ovviamente descrivendo le cose in modo molto più corretto); sono sicuro che molti siano in grado di seguire il ragionamento che mi sembra (trattato in questo modo) assolutamente fruibile.

    A a parte questo, osservando la formula di Schwarzschld mi sono spuntate un paio d'ideuzze su ulteriori approfondimenti interpretativi che ti girerò in mattinata per verificare se sono corretti.
    Diamine Enzo, c'è grande soddisfazione nel capire almeno il senso di un'espressione matematica: penso che, a volte, si possa analizzare un formalismo matematico capendone il significato dall'"esterno", senza cioè dover per forza tirare in ballo diavolerie matematiche.

    A più tardi e ... grazie.

  12. Hai forse ragione Alvy... potevo anche spingermi più avanti, ma il vero scopo era quello di mostrare come il raggio dell'orizzonte degli eventi relativistico proveniva da concetti ben diversi. Andare più a fondo in questi concetti voleva dire mettere nuova carne al fuoco... E sono già in crisi perché continuo a parlare di curvatura e non ho mai spiegato cos'è veramente... Ma, cercando di sintetizzare, ho visto che ci vorrebbero molte puntate... Insomma, qualsiasi argomento si tratti ne nasce subito uno che non si dovrebbe accantonare ma che aprirebbe un nuovo programma di ricerca e di spiegazioni. Devo decidermi a tagliare decisamente, altrimenti i buchi neri mi obbligano a spiegare tutta la fisica relativistica e non... AIUTO!!!!!!!!!!!! :cry:

  13. Alvermag

    Beh, che problema c'è, di tempo ne abbiamo ..... :mrgreen: :mrgreen:
    E poi, se chiudi il tutto troppo rapidamente, in futuro che farai? Rischieresti seriamente di annoiarti .... :lol: :lol:

  14. ti odio, maledetto mostro!!!!!!!!!!!!! :evil: :evil: :evil:

  15. Alvermag

    Il mostro è ovviamente il buco nero .... non vorrei che i nostri amici del blog equivocassero.

  16. Alvermag

    Caro Enzo, non mi fucilare ... informaticamente. Ho solo cercato di entrare un pochino nell'equazione di Schwarzschild. Il primo caso è quello che ho già precedentemente inserito nei commenti, con qualche piccola aggiunta (attenzione alla nota: è corretta?).

    Mi puoi dire se l'indirizzo generale è valido?

    Equazione di Schwarzschild (buco nero sferico non rotante). Interpretazione dell’equazione in diversi casi.

    1° CASO:

    Immaginiamo di considerare l’oggetto FERMO SULLA SUPERFICIE DELLA SFERA di raggio r: il tempo continuerà a scorrere, mentre lo spazio compreso tra l’istante iniziale e quello finale della traiettoria sarà nullo (per forza, non si muove!).
    Bene. La domanda è: COME scorre il tempo? Come nel caso della RR? NO, perché in quel caso non è prevista la presenza di masse. D’altra parte qual è l’effetto della massa? Di rallentare il tempo! Benone; vediamo cosa succede alla formula di Schwarzschild.

    Devo eliminare tutti i termini in cui compare la variazione spaziale dr (oggetto fermo), quindi:
    - (2GM/r)*(dr^2 /c^2) = 0 ; dr^2 = 0.
    Inoltre è anche:
    – r^2*dθ^2 = 0 ; - r^2*sin^2(θ)*dϕ ^2 = 0. (se la traiettoria è espressa in coordinate sferiche).
    Ovvero:
    – dx^2 = 0 , – dy^2 = 0, – dx^2 =0. (se la traiettoria è espressa in coordinate cartesiane).

    Cosa rimane?

    ds^2 = - (2GM/r)dt^2 + c^2*dt^2.
    Se ora provo ad uguagliare i due termini al secondo membro dell’equazione, che equivale a porre ds=0 (linea di universo del fotone), ottengo:

    - (2GM/r)dt^2 + c^2*dt^2 , ovvero:

    r = 2GM/c^2 che rappresenta la soluzione cercata. Cosa vuol dire? Che l’influenza gravitazionale ha rallentato lo scorrere del tempo fino ad arrestarlo, contrapponendosi esattamente allo scorrere del tempo che sarebbe avvenuto in assenza di massa (caso della RR).
    Come detto, ds = 0, che rappresenta la condizione del fotone per il quale effettivamente il tempo non scorre, muovendosi alla velocità c. Il termine - (2GM/r)dt^2 rappresenta quindi il rallentamento temporale prodotto dalla massa. Nella RR il termine non compare e, per un oggetto fermo (non è quindi il caso dei fotoni che sono piuttosto esagitati), vale: ds^2=c^2*dt^2, cioè la separazione è di tipo temporale.

    Nota: così come il termine -(2GM/r)dt^2 rappresenta la dilatazione temporale prodotta dal campo gravitazionale di M, per analogia immagino che il termine (2GM/r)*dr^2/c^2 rappresenti la contrazione spaziale prodotta dallo stesso campo.

    2° CASO:

    Immaginiamo di considerare l’oggetto IN MOVIMENTO LUNGO LA SUPERFICIE DELLA SFERA di raggio r. In questo caso si dovrà porre:

    dr = 0 non ci si avvicina né ci si allontana dal centro di massa, la distanza essendo sempre pari a r.
    dθ ≠ 0 ; dϕ ≠ 0 ci si muove sulla superficie della sfera.

    Cosa rimane?

    ds^2 = - (2GM/r)dt^2 + c^2*dt^2 – r^2*dθ^2 – r^2*sin^2(θ)*dϕ^2.

    Ponendo ds = 0, si ottiene:
    c^2*dt^2 = (2GM/r)dt^2 + r^2*dθ^2 + r^2*sin^2(θ)*dϕ^2.

    In questo caso l’uguaglianza tra i due membri si ottiene per un valore di massa M inferiore al caso precedente, a parità di distanza r , in quanto il moto (accelerato) del punto contribuisce a rallentare il tempo, sommando il suo effetto a quello della massa M.
    D’altra parte accelerare significa far scorrere il tempo più lentamente.

    Ponendo nella formula risolutiva: dθ/dt = θ/t = ω = cost, immaginando cioè l’oggetto in moto circolare uniforme - con velocità angolare ω - sulla superficie di raggio r, si ottiene:

    ω^2*r^3 – c^2*r + 2*G*M = 0

    Se si pone ω = 0 (punto fermo), si riottiene la soluzione del caso 1: r = 2*G*M/c^2

    3° CASO:

    Immaginiamo di considerare l’oggetto IN MOVIMENTO RADIALE IN DIREZIONE DI r. In questo caso si dovrà porre:

    dr ≠ 0 ci si avvicina o ci si allontana dal centro di massa.

    dθ = 0 ; dϕ = 0 ci si muove solo radialmente, non sulla superficie della sfera.

    Cosa rimane?

    ds^2 = - (2GM/r)dt^2 + (2GM/r)dr^2 /c^2 + c^2*dt^2 - dr^2 e, ponendo ds = 0:

    (2GM/r)dt^2 – c^2*dt^2 = (2GM/r)dr^2 /c^2 - dr^2.

    Raccogliendo I termini uguali ecc. ecc. ecc., finalmente:

    c^2 = dr^2 / dt^2, cioè: c = dr / dt.

    Vale a dire, se l’oggetto fugge radialmente alla velocità c (fotone), si ottiene la linea d’universo del fotone stesso! Ovvio.

    CURIOSITA’:

    Mi è venuta l’idea di ottenere lo spostamento doppler relativistico gravitazionale nell’ultimo caso, ma temo ci sia qualche passaggio non proprio immediato. Io sono arrivato fino a:

    ds^2/dr^2 = - 1 + 2*G*M/(r*c^2) avendo posto la separazione uguale ai termini in cui compare dr. Ma poi?

  17. caro Alvy,
    il significato intrinseco è un po' diverso (la curvatura non è costante), tuttavia è ovvio che maneggiando così ritrovi sempre le condizioni che si hanno sull'orizzonte degli eventi con tutte le implicazioni del caso. Comunque è un ottimo esercizio... Bisognerebbe in realtà introdurre i tensori e via dicendo... Comunque, se ti diverti e se riesci a visualizzare certi concetti è un lavoro encomiabile! Il redshift si ottiene praticamente come per l'espansione dell'universo. Un raggio di luce che parte vicino all'orizzonte ci raggiungerà sempre più tardi a causa del suo cono di luce piegato. Vi è perciò uno stiramento della lunghezza d'onda come nell'espansione dell'universo...

  18. Comunque, Alvy, non pretendere troppo da equazioni che sono solo una parte dell'intero sistema. Dai... che prima o poi faremo anche la relatività generale. però... per adesso stiamo un po' tranquilli se no comincio con le curvature intrinseche ed estrinseche... Devo pensare a tutti... :wink:

  19. Alvermag

    Grazie Enzo :-D

  20. foscoul

    Purtroppo Enzo ormai hai gettato il sasso nello stagno... 8-O
    Hai smosso le acque e per rende comprensibili i vari concetti bisogna che riusciamo a masticare con "relativa" scioltezza la relatività generale :twisted:
    Eh già ora ti tocca :-D :wink:

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