7/02/15

La relatività speciale disegnata da Minkowski. 7: da Galileo a Lorentz (preparazione) **

Il tempo non cambia, cambia la sua apparenza

La relatività della simultaneità ci ha già convinto di parecchie cose. Innanzitutto che la misura del tempo non è un qualcosa di assoluto come ipotizzato da Newton, ma qualcosa che dipende dal sistema di riferimento. Attenzione, però, a non commettere un errore che spesso si intrufola  nella mente e fa poi fatica a essere eliminato (un po’ come quando si considera l’Universo come un palloncino e ci si dimentica che lo spazio è solo la sua superficie).

Quanto detto finora, e sarà ripetuto in seguito, non vuole assolutamente significare che il tempo scorre in modo diverso per chi sta fermo (anche se essere “fermo” non ha senso fisico) e per chi si muove. Chi fa parte di un certo sistema e ha sincronizzato i suoi orologi vede scorrere il tempo in modo del tutto uguale a chi si trova in un altro sistema di riferimento con orologi altrettanto sincronizzati. Non è assolutamente vero che chi viaggia più velocemente ha un orologio che rallenta per chissà quale magia introdotta dalla velocità.

Il tempo che cambia, ossia il moto delle lancette, appare (ed è) diverso, quando viene osservato da un sistema di riferimento diverso. Se l’osservatore O è fermo rispetto ad O’, è l’osservatore O che vede l’orologio di O’ andare più piano, ma non certo O’. Anzi, per lui, è vero il viceversa: è l’orologio di O che va più piano dato che per O’ è O che si muove. La relatività della simultaneità, su cui abbiamo passato parecchio tempo, vuol dire proprio questo, così come la perfetta simmetria tra O e O’.

In altre parole ancora, se O’ viaggia nello spazio, vede trascorrere tranquillamente il suo tempo. Tuttavia, egli può essere osservato da centinaia di alieni O che si muovono in modo diverso tra loro. Ognuno di questi alieni giudica l’orologio di O’ in modo diverso. Ognuno lo vede muoversi in modo diverso. Questa relatività della misura non dipende però da O’, ma solo e soltanto dalla velocità relativa dei vari O. Analogamente, O’ vede orologi che camminano in modo diverso dal suo, a mano a mano che incontra gli alieni O, sparsi per la galassia.

Tuttavia, non dimentichiamo nemmeno che questa diversa apparenza, simmetrica nella relatività speciale, causa una differenza concreta nella relatività generale: chi va più veloce invecchia realmente di meno!  Il riferimento al paradosso dei gemelli NON è affatto casuale! Tutto ciò dipende dal fatto che nella relatività ristretta NON si accelerano i sistemi di riferimento, mentre in quella generale sì e, di conseguenza, s'incurva lo spaziotempo e molte cose possono realmente cambiare in modo non simmetrico. Ma torniamo a noi...

Anche se ancora non l’abbiamo trattata direttamente, la non simultaneità tra sistemi di riferimento, in moto relativo, comporta automaticamente anche una percezione diversa delle lunghezze (misurate con le aste rigide in ogni sistema di riferimento). Anche loro sono quelle che sono in ogni sistema di riferimento, ma variano se osservate da altri sistemi. Misurare un lunghezza, infatti, significa localizzare simultaneamente i suoi due estremi. Tuttavia, sappiamo che la simultaneità è relativa e tale deve essere quindi anche la misura di una lunghezza.

Il succo di tutto ci porta a dire che le equazioni di Galileo devono essere sostituite da nuove equazioni che siano in accordo con l’esperienza e che valgano anche per velocità relative comunque elevate.

Questa trasformazione di coordinate esisteva già al tempo della descrizione della relatività speciale ed era stata formulata da Lorentz prendendo atto delle leggi di Maxwell, dove quella di Galileo era incapace di descrivere i risultati sperimentali. Lorentz, però, aveva eseguito un brillante artificio matematico che ben poco aveva a che fare, direttamente, con i postulati di Einstein.

Non pensiamo, quindi, che Lorentz abbia formulato la teoria della relatività ristretta prima di Einstein. In qualche modo, lui aveva già fornito la risposta matematica a un bisogno pratico di un concetto del tutto nuovo introdotto da Einstein.

Proprio per evidenziare questa netta differenza concettuale, cerchiamo di costruire le nuove equazioni (quelle di Lorentz), utilizzando soltanto i postulati della teoria della relatività ristretta. In altre parole, vogliamo dimostrare che partendo dai due postulati si possono tranquillamente ricavare le equazioni di trasformazione.

Il postulato nascosto

In realtà, è fondamentale introdurre un terzo postulato che, però, è già compreso in quello della costanza della velocità della luce: il postulato di omogeneità, ossia l’ipotesi che lo spazio e il tempo siano omogenei. Ciò vuol dire, in pratica, che i risultati relativi a intervalli di lunghezza e/o di tempo di un certo evento non dipendono da dove e quando le misure sono state eseguite in un certo sistema di riferimento.

Se lo spaziotempo è omogeneo ne segue che la velocità della luce nel vuoto deve essere uguale ovunque. O, se preferite, se la velocità della luce nel vuoto è uguale ovunque, vuol dire che lo spaziotempo è omogeneo.

Questa ulteriore precisazione è fondamentale per calcolare i coefficienti della trasformazione di Lorentz. Anzi, può perfino aiutarci a escludere certi calcoli formali e usare solo semplici deduzioni e conclusioni, impostate essenzialmente sul ragionamento e sulla logica.

Omogeneità = semplicità

Facciamo due esempi che ci serviranno tra poco. Innanzitutto, possiamo essere sicuri che le equazioni di trasformazione da una coordinata x a una x’ devono essere lineari! Ammettiamo, infatti, per assurdo, che la relazione tra x e x’ sia di secondo grado, del tipo:

x’ = ax2   

dove a è, ovviamente, una costante.

Se così fosse, troveremmo che la distanza tra due punti del sistema “accentato” dipenderebbe dal luogo in cui si effettua la misura nel sistema non accentato. Infatti, avremmo:

x2’ – x1’ = a(x22 – x12)

Se un asta rigida di lunghezza unitaria nel sistema di x ha come coordinate dei suoi estremi x1 = 1 e x2 = 2, segue che la stessa asta nel sistema di x’ ha differenza di coordinate (ossia lunghezza):

x2’ – x1’ = a(4 - 1) = 3a

Tuttavia, se rifacciamo la misura, quando le coordinate, nel sistema di x, sono x1 = 4 e x2 = 5 (la lunghezza rimane, ovviamente, invariata), otteniamo che:

x2’ – x1’ = a(25 – 16) = 9a

Troveremmo che la lunghezza dell’asta rigida, osservata dal sistema di x’, dipende dalla posizione occupata nello spazio. La sua lunghezza deve sicuramente dipendere dal sistema di riferimento, ma non può certo variare da luogo a luogo dello spazio. Questo risultato va contro l’ipotesi di omogeneità! Ne segue che la trasformazione può essere solo e soltanto lineare.

Infatti, se:

x’ = ax

si avrebbe:

x2’ – x1’ = a(x2 – x1)

Sia inserendo x1 = 1 e x2 = 2 , sia  x1 = 4 e x2 = 5, otteniamo sempre:

x2’ – x1’ = a(2 - 1) = a(5 - 4) = a

L’ipotesi di omogeneità è verificata!

Analoga conclusione si ottiene per la coordinata temporale.

Inoltre, se consideriamo la direzione del moto relativo lungo l’asse x, che coincide con x’, risulta abbastanza ovvio che gli assi y e z non possono essere influenzati dal movimento. Se così fosse vorrebbe dire che lo spazio non è  omogeneo. Forse questo punto è meno immediato, ma lo riprenderemo in seguito.

Siamo adesso pronti a cercare le equazioni di trasformazione dal sistema S a quello S’, senza dimenticarci mai delle limitazioni (meno male!) imposte dai postulati di Einstein.

Fermiamoci qui, per meglio digerire concetti semplici, ma fondamentali per andare avanti speditamente e con le idee chiare.

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