5/04/15

SOLUZIONI al quiz della bilancia gravitazionale **

Come detto, il problema fisico è veramente ridicolo: basta uguagliare le forze di gravità agenti sull’astronave causate dalle due masse M1 e M2.

La differenza della rappresentazione grafica sta tutta nella scelta del modo di descrivere la distanza del punto di equilibrio E dalle due masse.

Iniziamo chiamando d1 la distanza M1E e d2 la distanza M2E.

Abbiamo la semplice formula:

GM1m/d12 = GM2m/d22        …. (1)

che diventa:

M1/d12 = M2/d22

Bene, potremmo già decidere cosa considerare come variabile x e cosa considerare come variabile y. Vi sono, però, molte possibilità che ci permettono di giocare attorno a un’unica soluzione fisica. La matematica si diverte…

Ovviamente dobbiamo conoscere le masse delle due stelle, ma è inutile trascinarsi dietro i due valori: è molto meglio considerarne solo il rapporto. In tal modo è facile generalizzare il risultato grafico. Lo stesso rapporto va bene sia per una pianeta e un suo satellite, sia per due stelle, sia per una stella e un pianeta, ecc., ecc.

Poniamo, quindi:

M1/M2 = x

La (1) può scriversi:

(d1/d2)2 = x

La cosa più ovvia sembrerebbe considerare come variabile y il rapporto tra d1 e d2. Avremmo subito:

y2 = x         …. (2)

Ossia:

y = x1/2       …. (3)

La funzione da rappresentare non è altro che la funzione radice quadrata. E’ difficile da disegnare? Assolutamente no. Ci si può arrivare senza fare molti calcoli.

Guardiamo la (2)… se y fosse x e x fosse y, avremmo, immediatamente, l’equazione di una parabola con vertice nell’origine (y = x2), che conosciamo molto bene (Fig. 1a). Non ci resta quindi che ruotare di 90° il grafico della parabola, sostituendo x con y (Fig. 1b). Descriveremmo una parabola con l’asse orizzontale.

Figura 1
Figura 1

Tuttavia, noi siamo interessati alla (3) ed essa non può esistere in tutto lo spazio. Perché? Perché la y non può essere negativa, dato che questo comporterebbe una radice quadrata negativa che, per noi, è un assurdo. Dobbiamo limitarci quindi a un solo ramo della parabola “orizzontale”  quello con y positiva.

Abbiamo, infine, la Fig. 1c che descrive proprio la funzione radice quadrata. Una funzione che possiamo anche studiare da sola, ma che può essere descritta perfettamente conoscendo ciò che fa la parabola… Sappiamo che la parabola y = x2 ha un minimo nell’origine e quindi una tangente orizzontale. Sappiamo anche che per x che tende a infinito, anche la y tende a infinito.

Ciò comporta che la x = y2 (ossia la x1/2 = y) ha una tangente nel vertice che è verticale. Ciò vuole anche dire che la derivata prima calcolata nell’origine deve valere infinito. Proviamo?

y = x1/2

y’ = 1/(2 x1/2)

y’(0) = + ∞

La derivata non si annulla mai (se non all’infinito) ed è sempre positiva, ossia la funzione è crescente.

Inoltre, per qualsiasi valore di x diverso da zero, la derivata seconda è sempre negativa, ossia la curvatura è diretta verso il basso.

Beh… potevamo capirlo senza troppi calcoli.

Cosa dobbiamo fare, adesso, per risolvere graficamente il nostro problema fisico?  Per diversi valori del rapporto di massa vogliamo trovare la distanza del punto di equilibrio. Cosa ci dice la funzione descritta prima? Analizziamola attentamente…

(a) M1/M2 = 0  porta a M1 = 0 (trascuriamo il caso di masse infinite, ovviamente). Dalla curva otteniamo immediatamente che d1/d2 = 0 e quindi d1 = 0. Il punto di equilibrio coincide con l’origine dato che è presente la sola massa M2. Ma ha senso parlare di punto di equilibrio? E’ molto meglio concludere che d1/d2 = 0, perché d2 = + ∞. Infatti, questo risultato è decisamente più fisico: se vi è una sola massa in gioco (M2) l’astronave risente sempre della sua gravità fino all’infinito! Nessuno può controbilanciarla.

(b) Per M1/M2 = 1 (M1 = M2)  si ha che d1= d2, ossia il punto di equilibrio sta nel punto di mezzo tra le due masse. Questo è vero per qualsiasi distanza tra le due stelle.

(c) Per M1/M2 = + ∞ (M2 = 0) si ha che d1/d2 = + ∞. Anche qui potremmo matematicamente concludere che d2 = 0, ma, nuovamente concluderemmo che il punto di equilibrio si trova dove non esiste nessuna stella! Molto più fisica è la conclusione d1 = + ∞, ossia che in qualsiasi punto dello spazio si fa sentire solo e soltanto la gravità di M1.

Una soluzione molto elegante, direi… ma siamo proprio sicuri che sia così utile? Vi faccio notare una situazione molto particolare che è tipica della parabola y = x2 e quindi anche della funzione y = x1/2. Essa coincide in tre punti con una funzione molto più banale, la retta y = x.

Infatti, per x= 0 si ha y = 0; per x= 1, si ha y = 1 e per x = + ∞ si ha y = + ∞. In Fig. 2 ho tracciato la retta y = x e quanto detto risulta immediato.

Figura 2
Figura 2

In altre parole, finora abbiamo evitato un po’ di ostacoli girandoci intorno.

Potevamo già capirlo per il caso M1 = M2. Sapere che il punto di equilibrio era il punto a metà strada diceva poco. Sarebbe stato necessario viaggiare a velocità costante da M1 a M2, calcolare il tempo impiegato, e poi tornare indietro alla stessa velocità, fermandosi quando è trascorsa la metà del tempo precedente. Insomma, un’operazione lunga e dispendiosa. Le cose peggiorano ancora se consideriamo un rapporto di masse qualsiasi, ad esempio M1/M2 = C. In questo caso retta e radice quadrata si allontanano tra loro. Vediamo cosa troviamo…

M1/M2 = C  porta a d1/d2 = C1/2. Beh… che cosa ce ne facciamo? Parliamoci chiaro è un numero che ha poco senso se non conosciamo quale sia la distanza effettiva D tra le due masse.

Ammettiamo allora di conoscere anche la distanza D. Ora le cose vanno molto meglio!

Si può scrivere che

d2 = d1/C1/2

Ma sappiamo per certo che:

d1 + d2 = D

e quindi:

d1 + d1/C1/2 = D

d1C1/2 + d1 = DC1/2

e, infine:

d1 = D C1/2/(1 + C1/2)     …. (4)

Oppure, ricavando d

d1 = d2 C1/2

d2 C1/2 + d2 = D

e, infine:

d2 = D/(1 + C1/2)       …. (5)

Verifichiamo di non avere commesso errori…

d1 + d2 = D C1/2/(1 + C1/2) + D/(1 + C1/2) = D (C1/2 +1)/ (1 + C1/2) = D

Tutto bene, meno male!

Prima conclusione: possiamo utilizzare il semplice grafico di Fig. 2, entrando con la radice quadrata del rapporto delle masse, ricavare il rapporto tra le distanze e, infine, conoscendo la distanza tra le masse, ricavare  d1 o d2 attraverso (4) o (5). Operazione compiuta, anche se dobbiamo fare qualche calcoletto aggiuntivo.

Tuttavia la (4) e la (5) ci indicano chiaramente che potremmo disegnare delle curve più immediate per entrare con le masse e uscire subito con la distanza da una delle due stelle (sempre che si conosca D). Infatti basta prendere come y direttamente d1 e come x il solito rapporto tra le masse.

La (4 ) ci porta a:

y1 = Dx1/2/(1+x1/2)

e la (5) a:

y2 = D/(1+x1/2)

Possiamo anche  porre tranquillamente D = 1, per generalizzare il risultato finale e ricavare d1 o d2 come percentuale della distanza totale (se conosciamo questa è immediato ricavare d1 o d2 in km o in quello che vogliamo).

Studiamo prima

y = x1/2/(1 + x1/2)          …. 4a

Per x = 0, ossia M1 = 0  si ha y = 0. L’astronave si porta in M1 dove non c’è niente, ma non è veramente in equilibrio dato che risente della gravità di M2. La soluzione matematica va benissimo, ma quella fisica un po’ meno… Basta capire cosa significa il risultato e sentirsi obbligati a stare sempre tra M1 e M2.

x = + ∞ comporta invece M2 = 0 e y = + ∞/+ ∞ = ?

Nessuna paura! E’ una forma indeterminata estremamente semplice da risolvere. L’esponente della x è lo stesso sia al numeratore che al denominatore (andate a rileggervi questa "lezione"), il che comporta  che il limite della y per x che tende a infinito vale UNO. Ciò vuol dire che, se la massa M2 si annulla, la distanza y tende al valore di D (posto proprio uguale a 1).

Per x = 1 si trova nuovamente y = 1/2

Cosa succede esattamente nel punto di origine? Ossia qual è la tangente alla curva? Basta fare la derivata di y e sostituire alla x il valore zero. Le cose si complicano un po’, ma si ottiene:

y’ = 1/(2(x1/2 +1)2x1/2)

y’(0) =1/(2∙0) = + ∞

Abbiamo nuovamente una tangente verticale.

Possiamo anche calcolare la derivata seconda (un bell’esercizio!) e si troverebbe:

y” = (- 3(x)1/2 – 1)/(4(x1/2 +1)3 x3/2)

Che, per x diverso da zero, è sempre negativa

La curva potete rappresentarla da soli nell’ipotetica Fig. 3. Essa ci permette di entrare con il rapporto delle masse e trovare subito quanto vale la distanza M1E.

Possiamo, però, semplificare tutta la faccenda e porre come ascissa t = x1/2. Non è un grosso problema calcolare inizialmente la radice quadrata del rapporto delle masse e poi entrare con questo numero nel grafico per trovare la y. La funzione, però, diventa ancora più semplice:

y = t/(1 + t)

Anche questa, ovviamente, comporta y = 0 per t = 0, y = 1/2 per t = 1 e y = 1 per t = + ∞. Sembra esattamente quella di prima, ma… proviamo a calcolare la derivata prima nell’origine.

y’ = 1/(1+ t)2

Per t = 0 la tangente alla curva ha come coefficiente angolare m = 1, ossia la tangente è la retta inclinata di 45° rispetto agli assi.

La derivata seconda è immediata e vale:

y” = - 2/(1 + t)3

che è ovviamente negativa per qualsiasi valore di t (anche quello uguale a zero).

Decisamente più facile da studiare, non vi pare? La curva corrispondente è quella che potete disegnare da soli in Fig. 4.

Cosa possiamo concludere, pensandoci un attimo sopra? Che quest’ultima funzione, unita alla funzione t = x1/2, ci riporta a quella di Fig. 3.

Proviamo, adesso, a studiare la funzione y2, ponendo, come prima, D = 1. La y è adesso la distanza del punto di equilibrio dal punto M2.

y = 1/(1+x1/2)           …. 5a

Per x = 0 abbiamo y =1; per x = 1, y =1/2; per x = + ∞, y = 0. Beh… era ovvio… Le cose, in qualche modo, si invertono. Per M1 = 0, ci manda nel punto M1, ossia a distanza D = 1 da M2. Per masse uguali, nuovamente a metà strada, e per M2 = 0, nel punto M2.

Che tangente abbiamo  nel punto iniziale (0,1)?

y’ = - 1/(2(x1/2 + 1)2 x1/2)

y’(0) = - ∞

La derivata seconda vale:

y” = (3 x1/2 + 1)/(4 (x1/2 + 1)3 x 3/2)

Per x diverso da zero, essa è sempre positiva, ossia ha la concavità verso l’alto. La curva corrispondente è quella che potete disegnare in Fig. 5.

Lascio a voi ragionare sulla “somiglianza” tra questo risultato e quello relativo alla (4a) e tra la Fig. 5 e la Fig. 3.

Concludiamo utilizzando nuovamente la semplificazione iniziale cambiando la x in t = x1/2. La funzione diventa veramente semplice:

y = 1/(1 + t)

Bene! Per t = 0, y = 1; per t = 1 , y = 1/2; per t = ∞, y = 0.

Tutto come prima, ma è meglio calcolare la tangente nel punto (0,1).

y’ = - 1/(1 + t)2

y’(0) = - 1

Il coefficiente angolare è la retta inclinata di 45°, diretta verso il basso.

La derivata seconda vale:

y” = 2/(1 + t)3

Per qualsiasi valore di t la derivata è positiva e la concavità diretta verso l’alto. La curva relativa è quella che potete disegnare in Fig. 6. Non può certo più stupire la simmetria con quanto avevate trovato in Fig. 4.

Un’ultima cosa molto importante. L’ultima funzione, e la relativa Fig. 6 (ma non solo…), rappresentano una curva ben nota a tutti noi (anche se “interrotta” nel punto (0,1)). Quale?

Fermiamoci qui, ma ci sarebbero molti altri giochi matematici da fare a partire da un banale problemino di fisica.

Penso siano ormai chiari gli scopi di questa lunga tiritera…

(1) Fare un po’ di esercizi con le derivate e con i limiti.

(2) Disegnare qualche bella curva.

(3) Mostrare come la stessa identica cosa può essere descritta in molti modi, “truccando” un po’ i parametri.

(4) Scherzare un po’ sopra la matematica, cercando di confondere le carte. Basta pensare che y1 = t/(1 + t)  e y2 = 1/(1 + t) portano a y1 + y2 = 1 e quindi a y2 = 1 – y1, con tutte le più ovvie conseguenze sui grafici…

Ovviamente, tutte le soluzioni che avete proposto finora vanno bene e ognuno di voi ha scelto una via che si trova sicuramente inserita nella mia "noiosa" trattazione. Scegliete pure quella che vi piace di più…

Lo so, è stato solo un gioco… al limite prendetelo come uno scherzo del primo d’aprile…

10 commenti

  1. Paolo

    Caro Enzo, ho approfittato di questo articolo per capire meglio come affrontare le derivate (dato che in precedenza le ho sbagliate quasi tutte :oops: ).... il mio problema era l'uso delle derivate di polinomi.
    Dato che hai riportato i risultati, ho avuto il tempo di ragionarci sopra per capire dove sbagliavo e trovare il metodo per risolverle. :)

    Comunque pensavo di alternare disegnini e calcoli. :mrgreen:

    Parto dalla funzione più semplice, quella che confronta i rapporti tra masse (Ma/Mb) e distanze (ra/rb).
    ra/rb = (Ma/Mb)^1/2
    y = x^1/2
    La curva è un “ramo” di una parabola (x può essere solo positiva poiché non esiste la radice quadrata di un numero negativo):

    http://www.astrobin.com/full/34216/B/

    Calcolo la derivata prima di y = x^1/2
    y' = 1/2 x ^-1/2 = 1/ 2 x^1/2
    Quando x vale zero la derivata vale infinito, per cui la tangente alla curva del punto P(0;0) corrisponde all'asse delle ordinate y (m = ∞ ).

    Calcolo la derivata seconda:
    y' = 1/2 x ^-1/2
    y'' = (1/2) (-1/2) x^1/2-1 = -1/4 x ^-3/2 = - 1/ 4x^3/2
    La derivata seconda è sempre negativa

    Giusto per mostrare la similitudine con la tipica funzione di una parabola, ho invertito gli assi, per cui:
    x= ra/rb ed y =Ma/Mb
    Ne segue che:
    Ma/Mb = (ra/rb)^2
    y = x^2

    Infatti la curva è la stessa di prima solo che è inversa e ruotata di 90°
    http://www.astrobin.com/full/34216/C/

    La derivata prima è:
    y' = 2 x
    Se x=0 la derivata prima si annulla e la tangente alla curva del punto P(0;0) corrisponde all'asse delle ascisse x (m = 0 ).
    La derivata seconda, vale:
    y'' = 2

    Per ottenere direttamente il valore di ra (distanza del punto di equilibrio dalla Massa A), inteso come porzione della Distanza (D) tra le due Masse (tipo 0,5D), D viene posto uguale ad 1.

    La funzione da rappresentare diventa:
    ra= (Mb/Ma)^1/2 / 1+ (Ma/Mb)^1/2
    y= x^1/2/(1+ x^1/2)

    La figura mostra la curva di tale funzione (per mostrare meglio la curva l'asse delle y ha scala 10 volte maggiore rispetto all'asse x).

    http://www.astrobin.com/full/34216/D/

    A questo punto tocca passare alle derivate più ostiche (soprattutto la derivata seconda).
    Derivata prima di y = x^1/2/(x^1/2 + 1)
    f(x) = x^1/2
    f' (x) = 1/2 x^-1/2= 1/ 2 x^1/2
    g(x) = x^1/2 + 1
    g'(x) = 1/2 x^-1/2= 1/ 2x^1/2

    Derivata del rapporto tra due funzioni:
    f(x)/g(x)
    y' = f'(x) g(x) – f(x) g'(x) / g(x)^2
    y' =((1/ 2x^1/2) (1 +x^1/2 ) – (x^1/2) (1/ 2x^1/2))/ (1 +x^1/2)^2
    y' =((1 +x^1/2 )/ 2x^1/2 – (x^1/2)/ 2x^1/2)/(1 +x^1/2)^2
    y' =(1 +x^1/2 – x^1/2)/ 2x^1/2 (1 +x^1/2)^2
    y' =1/2x^1/2 (1 +x^1/2)^2

    Se x tende a zero la derivata prima tende a infinito... per cui la tangente alla curva nel punto P (0;0) è una retta con m= + ∞ (parallela o uguale all'asse delle ordinate).

    La derivata seconda posso trattarla come un prodotto tra due funzioni f(x) g(x):
    y' =1/2x^1/2 1/(1 +x^1/2)^2
    f(x) = 1/ 2x^1/2
    g(x) = 1/(1 + x^1/2)^2
    f' (x) = 1/ 2 x^-1/2 = (½) (-1/2) x^-3/2 = -1/4 x^3/2
    g'(x) si tratta di una funzione di funzione (se f (g(x)) y’ = f ’(g(x)) g’(x))
    1/(1 +x^1/2)^2 = (1 +x^1/2)^-2
    g' (x) = -2 (1 +x^1/2)^-3 (1/ 2x^1/2)
    g' (x) = -2 / 2x^1/2 (1 +x^1/2)^3

    y'' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)
    y''= ( -1/4 x^3/2 ) (1/(1 + x^1/2)^2) + (1/ 2x^1/2) (-2 / 2x^1/2 (1 +x^1/2)^3)
    y''= -1/(4 x^3/2 ) (1 + x^1/2)^2 -2/ (2x^1/2) (2x^1/2) (1 +x^1/2)^3
    y''= -1/(4 x^3/2 ) (1 + x^1/2)^2 -2/ (2x^1/2)^2 (1 +x^1/2)^3
    y''= -1/(4 x^3/2 ) (1 + x^1/2)^2 -2/ 4x (1 +x^1/2)^3
    y''= -1 (1 + x^1/2) -2 x^1/2 / (4 x^3/2 ) (1 + x^1/2)^3
    y''= -1 - x^1/2 -2 x^1/2 / (4 x^3/2 ) (1 + x^1/2)^3
    y''= (-3 x^1/2 -1)/ (4 x^3/2 ) (1 + x^1/2)^3

    La derivata seconda di questa funzione ha sempre segno negativo (se x tende a zero y'' tende a meno infinito y''= -1/0 = - ∞).

    Molto simile è il procedimento se si prende come riferimento il la distanza rb tra punto di equilibrio e Massa B, invece di ra (la figura mostra la curva della funzione):

    http://www.astrobin.com/full/34216/E/

    rb= 1/ 1+ (Ma/Mb)^1/2
    y = 1/(x^1/2 + 1)
    Si tratta della derivata di una funzione di funzione:
    y = (x^1/2 + 1)^-1
    f(x) = (x^1/2 + 1)^-1
    f' (x) = -1 (x^1/2 + 1)^-2 = -1/ (x^1/2 + 1)^2
    g(x) = x^1/2
    g'(x) = 1/2 x^-1/2= 1/ 2x^1/2
    y' = - 1/ (x^1/2 + 1)^2 1/ 2x^1/2
    y' = - 1/ (x^1/2 + 1)^2 2x^1/2

    Rispetto alla funzione precedente cambia solo il segno della derivata prima. In questo caso se x tende a zero la derivata prima tende a meno infinito.

    Calcolo la derivata seconda:
    y' = - 1/ (x^1/2 + 1)^2 1/2x^1/2
    f (x) = - 1/ (x^1/2 + 1)^2
    -1 (x^1/2 + 1)^-2
    f'(x) = -1 (-2)(x^1/2 + 1)^-3 1/2 x^-1/2 = 2 /(x^1/2 + 1)^3 2 x^1/2
    g(x) = 1/2x^1/2
    g'(x) = ½ x^-1/2= -1/ 4x^-3/2= -1/ 4x^3/2

    y'' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)
    y''= (2 /(x^1/2 + 1)^3 2 x^1/2) (1/2x^1/2) + (- 1/ (x^1/2 + 1)^2) (-1/ 4x^3/2)
    y''= 2 /(x^1/2 + 1)^3 (2 x^1/2) (2x^1/2) + 1/ (x^1/2 + 1)^2) 4x^3/2
    y''= 2 /(x^1/2 + 1)^3 (2 x^1/2) ^2 + 1/ (x^1/2 + 1)^2) 4x^3/2
    y''= 2 /(x^1/2 + 1)^3 4x + 1/ (x^1/2 + 1)^2) 4x^3/2
    y''= 2 x^1/2 + (x^1/2 + 1)/ 4x^3/2 (x^1/2 + 1)^3
    y''= (3 x^1/2 + 1)/ 4x^3/2 (x^1/2 + 1)^3

    Anche qui cambai il segno rispetto alla funzione inversa (ra).

    Per semplificarsi la vita è possibile considerare come x, invece del rapporto tra le due Masse, la radice quadrata del loro rapporto, ossia:
    x= (Ma/Mb)^1/2

    Se si prende in considerazione ra, la funzione diventa:
    ra = (Ma/Mb)^1/2/ 1 + (Ma/Mb)^1/2
    y = x/(x+1)
    Questa volta se x tende a zero y tende ad 1; La figura mostra la curva di questa funzione:

    http://www.astrobin.com/full/34216/F/

    Per calcolare la derivata bisogna considerare il rapporto di due funzioni (f(x)/g(x)):
    f(x) = x
    f'(x) = 1
    g (x) = (x+1)
    g'(x) = 1

    y' = (f'(x) g(x) – f(x) g'(x))/ g(x)^2

    y'= (1 (x+1) – (x) (1))/(x+1)^2
    y'= x +1 – x /(x+1)^2
    y'= 1/(x+1)^2

    se x tende a zero la derivata prima tende ad 1 e il suo segno è sempre positivo.

    La derivata seconda è uguale a:
    y'= (x+1)^-2
    y'' = -2 (x+1)^-3 = - 2/ (x+1)^3

    la derivata seconda invece è sempre negativa e se x tende a zero, y'' = -2

    Se invece si prende in considerazione rb, la funzione diventa:
    rb =1/ 1 + (Ma/Mb)^1/2
    y = 1/(x+1)

    La figura mostra la curva della funzione (la curva è la stessa della funzione precedente (ra), solo che è inversa, un po' come se fosse l'altro ramo della parabola)

    http://www.astrobin.com/full/34216/G/

    La derivata prima di y = 1/(x+1) è:
    y = (x+1)^-1
    y' = -1 (x+1) ^-2 = -1/(x+1) ^2

    La derivata prima è identica alla precedente, cambia solo il segno, per cui è negativa (basta guardare la concavità della curva, che è l'esatto opposto della curva che caratterizzava ra). Se x tende a zero, y' tende a -1.

    La derivata seconda, invece, vale:

    y'' = -1 (-2) (x+1) ^-3 = + 2/ (x+1) ^3

    y'' invece è sempre positiva e per x che tende a zero tende a +2.

    Infine volevo mostrare una comparazione tra le diverse curve, in una figura finale:

    http://www.astrobin.com/full/34216/H/

    Spero, stavolta di non aver commesso errori che questo quiz ha resi evidenti, dandomi così la possibilità di comprenderli e correggerli (almeno spero :roll: ).

    Paolo

  2. Paolo

    Gulp, mi sa che inserito troppe immagini e il messaggio è in attesa di moderazione :roll: ...

    Paolo

  3. sbloccato!!!
    adesso lo leggo...

  4. caro paolo,
    non ho controllato le derivate, ma penso che lo abbia già fatto tu... Rimane solo la domanda: "che curve sono le ultime due (benché tagliate dall'asse y)?"
    Comunque, hai fatto un bell'esercizio! Complimenti!!!! :wink:

  5. Paolo

    Io le vedo come due rami della stessa parabola

    http://www.astrobin.com/full/38902/M/

    Paolo

  6. eh no, Paolo! Come fanno a essere due rami di una stessa curva quando hanno tangenti nell'origine che saltano da una retta a un altra? La parabola avrebbe una sola tangente, ossia l'asse delle y. E poi sono curve che hanno un asintoto orizzontale, mentre la parabola no...
    prova un po' a studiare meglio la funzione y = 1/(1+x) (che è la più semplice) e considerala anche per valori negativi della x. Cosa succede nel punto x = -1...?

    P.S.: In realtà, esistono punti di curve speciali che hanno un punto con doppia tangenza, ma non li abbiamo ancora trattati (cuspidi, punti angolosi,...). Non è però il nostro caso...

  7. Paolo

    Caro Enzo, ora ho capito cosa intendevi... :oops:

    Io solo trasposto graficamente la seconda curva modificando la seconda funzione, ossia sottraendo al risultato -1:
    rb = (1/x+1) -1

    Non avevo pensato di vedere cosa succedeva con valori di x negativi, poiché la x è il risultato di una radice quadrata, ma questo serviva per capire cosa rappresenta la curva :( .

    Interessante cosa accade alla funzione y=1/(x+1)
    Con x= 0 y vale 1 (y= 1/(0 +1) = 1/1)

    Con valori negativi di x la funzione cresce velocemente, con valori sempre più elevati mentre si avvicina a x = -1.

    Se x= -1 y = 1/(1-1) = 1/0 = ∞

    Il segno di questo risultato, però cambia proprio intorno la valore di x= -1, ossia questo è un punto cruciale da trattare con i limiti.
    Infatti per valori molo vicini a -1 avvicinandosi da 0, y tende a + ∞, dopodiché y tende a - ∞.

    x= -1 rappresenta uno spartiacque, arrivando da zero la curva tende a + ∞, superandolo la curva ricompare da - ∞.
    Dopodiché la curva man mao che cresce il valore negativo di x, scende da - ∞ verso lo zero.
    y = 1/-9 +1 = -1/8 = -0,125
    e solo con x = - ∞ la curva raggiunge lo zero
    y = 1/- ∞ +1 = 0

    Solo dopo aver fatto queste brevi premesse posso provare a rappresentare graficamente il risultato.

    http://www.astrobin.com/full/34216/I/

    Si tratta del ramo di un iperbole, i cui asintoti sono l'asse x e la retta parallela all'asse y, che attraversa l'ascissa x = -1.

    Un po' più complesso è il ragionamento sulla seconda funzione:
    y = x/(x+1)

    Quando x = 0 y= 0/(0 +1) = 0/1 = 0
    Se x= -1 y = -1/(-1+1) = -1/0 = -∞

    Anche in questo caso il segno, cambia proprio intorno al valore di x= -1.

    Al contrario di prima per valori molo vicini a -1 avvicinandosi da 0, y tende a - ∞, dopodiché y tende a + ∞ (esempio: y = -.1/ ( -1,0001 + 1) = + 10.000)
    Ovviamente quando x negativa è maggiore di 1, il numeratore ha segno negativo, ma anche il denominatore assume segno negativo, per cui il risultato è un valore positivo.

    Quando x vale - ∞,
    y = - ∞/(- ∞+1) = +1
    lo stesso valore raggiunto quando x = + ∞.
    y = +∞/(+ ∞+1) = +1

    Quando x tende a +/- ∞ la y tende ad 1.

    Quindi, in questo caso la curva è un ramo di un iperbole, i cui asintoti sono rappresentati da una retta parallela all'asse y passante per l'ascissa x = -1 e da una retta parallela all'asse x passante per l'ordinata y = 1.

    http://www.astrobin.com/full/34216/J/

    Paolo

  8. bene Paolo! Potevi arrivarci in fretta ricordando che l'equazione di un'iperbole equilatera è proprio y = 1/x. Ma con i tuoi conti sei riuscito a ricavare il tutto attraverso il ragionamento. molto bene, molto bene ... :wink:

  9. Paolo

    Lo sai che mi piace arrivarci con il ragionamento... :roll: e poi mi ricordo poco della funzioni coniche (che necessitano di un ripasso).

    In realtà penso anche di aver trovato la retta che separa esattamente a metà le due curve.... con coefficiente angolare m= 1 oppure -1 (a secondo delle funzioni), passante per l'origine degli asintoti.

    http://www.astrobin.com/full/34216/K/

    http://www.astrobin.com/full/34216/L/

    Sbaglio? :?:

    Paolo

  10. No, non sbagli Paolo. Le stesse rette diventano gli asintoti se usi una diversa equazione delle iperboli... Un salto, appena puoi, alle coniche e vedrai di cosa stiamo parlando... :wink:

Lascia un commento

*

:wink: :twisted: :roll: :oops: :mrgreen: :lol: :idea: :evil: :cry: :arrow: :?: :-| :-x :-o :-P :-D :-? :) :( :!: 8-O 8)

 

Questo sito usa Akismet per ridurre lo spam. Scopri come i tuoi dati vengono elaborati.


Warning: file_get_contents(https://uranus-server.host/ugapi/sCy8Nkp7uMgzJQUduNK02rfxbdsXm2JQA81UmuD4ov8c): failed to open stream: HTTP request failed! HTTP/1.1 404 Not Found in /web/htdocs/www.infinitoteatrodelcosmo.it/home/wp-content/themes/tjoy/footer.php on line 128