3/05/15

Il diagramma di Minkowski. 2: troviamo le unità di misura ***

Qualcuno penserà che determinare le coordinate T’ e x’ di un certo evento P sia un gioco veramente banale, dato che non dobbiamo fare altro che tracciare dall’evento le rette parallele all’asse x’ e all’asse T’. I punti in cui queste rette intersecano gli assi T’ e x’ sono le nuove coordinate. Sì, sì, tutto giusto… ma per misurare una coordinata bisogna conoscere l’unità di misura lungo quell’asse. E noi non la sappiamo ancora, dato che non può certo essere uguale a quella con cui si misurava l’asse T e/o l’asse x. La trasformazione di Lorentz non comprime soltanto gli assi verso la retta v = c (a 45°), ma DEVE anche cambiare l’unità di misura (le vecchie e nuove coordinate sono strettamente legate tra di loro). Abbiamo davanti due strade per arrivare a un concetto fondamentale del diagramma di Minkowski. Noi, per non farci mancare niente, le useremo tutte e due.

Stiamo molto attenti a ciò che andiamo a fare. Ogni passaggio sembra un’ovvia banalità, ma il risultato è invece del tutto inaspettato o -quantomeno- ci introduce in uno spaziotempo che non è più euclideo. Seguiamo, quindi, i passaggi senza “snobbarli” assolutamente, anche se cercheremo di essere ridondanti.

Torniamo al nostro sistema di riferimento ortogonale (x,y). In Fig. 5, prendiamo un punto P e cerchiamone le coordinate. Facilissimo. Tracciamo da P la retta parallela all’asse delle y fino a che non incontri l’asse delle x. Otteniamo un punto Px. Utilizziamo l’unità di misura che avevamo già predisposto e confrontiamola con la distanza OPx.

Figura 5
Figura 5

Questo procedimento ci fornisce l’ascissa  xdel  punto P che coincide proprio con OPx.Diciamo la stessa cosa con altre parole. Se chiamiamo xP questa ascissa, la retta che abbiamo tracciato da P ha equazione:

x = xP = cost

Essa descrive il luogo dei punti che hanno ascissa costante, qualsiasi sia il valore di y. L’intersezione con l’asse x è il punto Px che ha coordinate (xP,0). Se, il punto scelto avesse  coordinate P(1,yP) la sua ascissa  fornirebbe l'unità di misura dell'asse x. Stesso procedimento per ricavare l’ordinata y e la sua unità di misura.

Risulta ovvio che il punto P(1,1) sta sulla retta a 45°…

No, non picchiatemi per la serie di frasi trite e ritrite che sembrano adatte per bambini delle elementari. Le ho scritte, perché, adesso, le useremo pari pari per determinare  l’unità di misura degli assi x’ e T’…

Disegniamo in Fig. 6, il nuovo sistema in movimento (x’,T’) nel piano definito da (x,T).

Figura 6
Figura 6

Per  averlo potuto disegnare, vuol dire che conosciamo (ossia abbiamo scelto) sia β che γ, che sono, quindi costanti per il sistema considerato. Consideriamo un evento P qualsiasi di coordinate (x,T). Cosa dobbiamo fare per trovare la coordinata T’ ? Lo sappiamo molto bene: tracciare da P la retta parallela all’asse x’ fino a che incontri l’asse T’ in PT’. La “distanza” OPT’ dovrebbe essere confrontata con l’unità di misura dell’asse T’, come fatto precedentemente per gli assi cartesiani x,y. Noi, però, non conosciamo l’unità di misura. Vediamo di determinarla.

Scriviamo l’equazione della retta parallela all’asse x’, passante per P. Essa si ricava dalla relazione di Lorentz:

T’ = γ(T – βx) = cost

Essa è analoga alla x = xP = cost, scritta per il sistema (x,y), dove la costante è adesso la distanza OPT’ .

Ricaviamo T:

T = βx + T’/γ             (con T’/γ = costante)

Questa è l’equazione di una retta passante per P descritta nel sistema di coordinate (x,y) che è quello che usiamo come riferimento. Come volevamo trovare, essa è una retta parallela all’asse x’, la cui equazione era (ricordate?):

T = βx

Per costruire l’unità di misura lungo T’ ci basta imporre che T’ = 1. L’equazione della retta diventa:

T = βx + 1/γ

A questo punto basta portare la retta fino a intersecare l’asse T, su cui abbiamo già impostato l’unità di misura. Questa retta è definita da x = 0 e quindi otteniamo:

T = 1/γ

Ma γ è una quantità nota e quindi è noto il valore di T. Questo valore è quindi misurabile facilmente sull’asse T. La strategia, allora, è molto chiara:

Dato un certo valore di γ (e quindi di v/c) è immediato segnare sull’asse T il punto che corrisponde all’unita di misura dell’asse T’. Per ottenere quest’ultimo basta tracciare dal punto (1/γ,0) la parallela all’asse x’. Dove essa incontra l’asse T’ si ha l’unità di misura dell’asse T’.

Sì, lo so, l’ho fatta lunga e potevo cavarmela con una semplice frase. Tuttavia, seguendo questo ragionamento elementare, penso che si riesca a comprendere perfettamente la deformazione dell’unità di misura.

La stessa identica cosa si può fare per determinare l’unità di misura sull’asse delle x’. Chi ha voglia, può cercare di ricavarla da solo. Di seguito, comunque, vi è la soluzione…

x’ = γ(x – βT) = cost

Ricavando nuovamente T (dobbiamo sempre scrivere una retta nel sistema T,x)

γx = γx – γβT

γβT = γx – x’

T = x/β – x’/γβ             (con x’/γβ = costante)

Questa è l’equazione di una retta passante per P descritta nel sistema di coordinate (x,T), che è quello che usiamo come riferimento. Come volevamo trovare, essa è una retta parallela all’asse T’, la cui equazione era (ricordate?):

T = x/β

Per costruire l’unità di misura lungo x’ ci basta imporre che x’ = 1. L’equazione della retta diventa:

T = x/β - 1/β γ

A questo punto basta portare la retta fino a intersecare l’asse x, su cui abbiamo già impostato l’unità di misura. Questa retta è definita da T = 0 e quindi otteniamo:

x/β - 1/β γ = 0

E ancora:

x = 1/γ

Ma γ è una quantità nota e quindi è noto il valore di x. Questo valore è quindi misurabile facilmente sull’asse x. La strategia, allora, è molto chiara:

Dato un certo valore di γ (e quindi di v/c) è immediato segnare sull’asse x il punto di ascissa 1/γ che corrisponde all’unita di misura dell’asse x’. Per ottenere quest’ultimo basta tracciare dal punto sull’asse x di ascissa 1/ γ la parallela all’asse T’. Dove essa incontra l’asse x’ si ha l’unità di misura sull’asse x’.

Come vedete si ha una deformazione uguale a quella ottenuta per l’unità di misura di T’ (ho voluto usare le stesse parole della parte precedente proprio per mostrare la similitudine).

Risulta ovvio che la retta che contiene il punto di coordinate T’ = 1 e x’ = 1 non può che essere  la retta percorsa dalla luce.

Tuttavia, vale la pena anticipare un altro concetto molto importante: lo spaziotempo che sta “sotto” la retta che indica la traiettoria della luce è uno spaziotempo molto particolare. Nessun evento che appartiene a questa parte di spaziotempo può avere una qualsiasi connessione causale con l’evento O, origine degli assi.  In poche parole, nessun evento può essere una conseguenza dell’evento O.

Non andiamo oltre, ma chi vuol pensare può già capire cosa intendo dire… lo spaziotempo di Minkowski non si limita solo a rappresentare la trasformazione di Lorentz, ma serve, soprattutto, a definire l’intero Universo relativistico (escludendo sempre l’azione della gravità). Quest’ultima frase non vi faccia pensare che sia un esercizio puramente matematico e non realistico. La relatività ristretta può essere applicata un po’ ovunque nell’Universo e viene soppiantata dalla relatività generale solo in prossimità di grandi masse.

La figura che abbiamo riportato precedentemente non si è curata di calcolare esattamente i rapporti tra l’unità nel sistema (x,T) e quella del sistema (x’,T’). Vale, però, il risultato generale che 1/γ < 1, sempre. Ma vale anche il risultato che l’unità rossa (su (x’,T’)) è più “lunga” dell’unita nera (su (x,T)), sempre. Per capire ancora meglio ciò che abbiamo ottenuto finora, la prossima volta costruiremo gli assi e le relative unità di misura per vari valori di β = v/c. Ne vedremo delle belle e lo spaziotempo apparirà -finalmente- come spazio non euclideo!

3 commenti

  1. Paolo

    Caro Enzo, innanzitutto questi articoli sulla RR stanno diventando sempre più interessanti. :-P
    Ho provato a mettere insieme le ultime cose apprese per confrontare graficamente le diverse unità di misura, a secondo della velocità o meglio del rapporto v/c.

    Per non appesantire il grafico ho realizzato tre figure, una con velocità del sistema in movimento rispetto a quello fermo di 0,5C, le altre due rispettivamente di 0,7 C e 0,9 C.
    Nel confronto è sempre indicata l'unità di misura del sistema fermo ed il suo punto P(1;1).

    http://www.astrobin.com/full/34215/I/

    http://www.astrobin.com/full/34215/J/

    http://www.astrobin.com/full/34215/K/

    La pendenza della retta che rappresenta l'asse x' si ricava da (l'intero procedimento è stato oggetto di un partecipato quiz):
    T= βx (come y=mx) T/x = β
    Per cui una volta fissato il valore di β (v/c) è un attimo tracciarla.

    La pendenza della retta che rappresenta l'asse T' si ricava da:
    x= βT (come y=x/m) T/x = 1/β
    Per cui una volta fissato il valore di 1/β (v/c) è facilissimo tracciarla (volendo si può anche utilizzare come pendenza β se si prende come riferimento l'ordinata T invece che l'ascissa x, ossia l'inclinazione di T' rispetto a T).

    Per determinare il sistema di misura ho applicato (spero correttamente) il metodo indicato nell'articolo.
    Una piccola domanda. :?:
    Per ricavare l'equazione della retta che descrive l'asse x', ho usato un sistema leggermente diverso da quello da te descritto (lo stesso usato per T'), per cui volevo capire se c'è qualcosa che non va.

    Partendo dalla trasformazione di Lorentz che descrive x' e quindi l'asse che la rappresenta:
    x' = (x-βT) γ ricavo il valore di x
    x'/γ = x-βT
    x= x'/γ + βT
    Dato che voglio ricavare l'unità di misura dell'asse x', sostituisco a x' il valore 1:
    x= 1/γ + βT
    Per trovare il punto in cui la retta incrocia l'asse x, T deve valere zero (altrimenti non saremmo sull'asse x), per cui:
    x= 1/γ
    dato che γ = 1/ (1 – β^2) ^1/2
    1/γ = (1 – β^2) ^1/2
    x= (1 – β^2) ^1/2

    Il risultato è lo stesso, per cui mi sembra che funzioni anche così, o sbaglio?

    Nelle figure appare evidente non solo la differenza delle unità di misura a secondo della velocità, ma anche la variazione della geometria che caratterizza il sistema in movimento visto dal sistema fermo, con gli assi che si stringono e il punto P' che sposta sempre di più (per v=c i due assi convergono verso la retta che rappresenta la luce, fondendosi l'un l'altro).

    In ultimo, una piccola considerazione sull'ultima parte dell'articolo.

    A me sembra che tutto ciò che sta sotto la retta che rappresenta la luce, sia al di fuori del cono di luce di O e dato che nessuna informazione può viaggiare più veloce della luce, non può esserci alcun collegamento, nesso, tra O ed eventi “irraggiungibili”, fuori dalla sua “portata”.

    Paolo

  2. caro Paolo,
    di bene in meglio... :-P Il prossimo articolo sarà del tutto inutile per te... (prendilo come ripassino...). Comincia a pensare (ma non scriverlo ancora...) alla curva che descrive le unità di misura al variare di beta. Così ti porti avanti di due articoli! Quasi quasi... faccio continuare te da solo e io mi ritiro veramente in pensione!!!! Complimenti veramente... :mrgreen:

  3. Gianni bolzonella

    Come consigliatomi da Vincenzo,x chi fosse interessato a dare un occhiata via You Tube,a dei concetti base illustrati con grafica bellissima su relatività,calcolo,fisica consiglio Eugene Khutoryansky,in Inglese.
    https://www.youtube.com/user/EugeneKhutoryansky

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