5/06/15

QUIZ: composizione relativistica delle velocità ***

Sia v la velocità con cui il sistema S’ si muove rispetto a S. Sia u’ la velocità con cui  un punto P' si sposta nel sistema S’. Vogliamo sapere quanto vale la velocità u del punto P' nel sistema S.

La soluzione del problema sarebbe stata immediato per Galileo:

u = u’ + v

Nella RR sappiamo che non può essere così, dato che porterebbe all’assurdo che qualcosa  viaggierebbe più veloce della luce. Infatti, se u’ fosse proprio la velocità c della luce (ossia, il punto P fosse un fotone), otterremmo:

u = u’ + c  > c

il che è impossibile.

Consideriamo, per semplicità (ma anche perché il nostro spazio nel diagramma di Minkowski è diventato solo una linea orizzontale) che S e S’ abbiano una sola coordinata spaziale (x e x’) e che, ovviamente, anche P si muova lungo la stessa retta x’ coincidente con x.

Attraverso la trasformazione di Lorentz non è difficile ricavare la nuova formula della composizione relativistica delle velocità.

Un po’ di matematica, nemmeno troppo complicata, e niente più…

Provate con calma e poi darò, comunque, la soluzione. Abbiamo bisogno della formula finale per divertirci con il paradosso dei gemelli...

10 commenti

  1. Simone Lotti

    Io applicherei lo stesso metodo che hai usato a suo tempo per ricavare u = u’ + v in un sistema galileiano.

    Quindi farei la deriva rispetto al tempo della trasformata di Lorentz.

    x’ = (x – vt)/(1 – v^2/c^2)^1/2

    Prima semplificherei in:

    x’ = (x – vt) γ dove γ vale ovviamente γ = 1/(1 –β^2)^1/2 e β = v/c

    Poi sposterei la x in questo modo:

    x’/ γ = x - vt
    x’/ γ + vt = x

    ovvero

    x = x’/ γ + vt

    Adesso passerei alla derivata:

    dx/dt = d (x’/ γ)/dt + d(vt)/dt

    Quindi:

    dx/dt= u

    d (x’/ γ)/dt = u’/ γ

    d(vt)/dt = v

    Risultato:

    u = u’/ γ + v

    Non so se sia corretto, non mi convince l’abbinamento di x’ con dt, il tempo è riferito al sistema fisso e x’ al sistema in moto, d’altronde devo pur sempre trovare una velocità riferita al sistema fisso nel tempo del sistema fisso.

    Un paio di considerazioni.

    Se v = 0 γ=1 quindi u= u’ , come dovrebbe essere.
    Se v = c 1/ γ = 0 quindi u = v ovvero u = c.

    Qualsiasi punto P’ in moto nel sistema S’, se quest’ultimo ha velocità pari a c, anche P’ per il sistema fisso ha velocità pari a c.

    Spero di non aver fatto degli errori troppo grossolani.

  2. mi dispiace... ma non ci siamo...
    poi stai attento che la v è già una derivata e tu ne fai una derivata rispetto al tempo (ossia passi a un'accelerazione)... La velocità u' nel sistema di S' va scritta nel sistema S... tenendo conto della trasformazione sia in x che in t, in funzione di x' e t'... :roll:

  3. Simone Lotti

    Perché dici: “la v è già una derivata e tu ne fai una derivata rispetto al tempo (ossia passi a un’accelerazione)”.

    Io avevo scritto

    d(vt)/dt dove vt di fatto è uno spazio, quindi:
    d(vt)/dt = v dt/dt = v

    per me v è una costante, o forse sbaglio io il ragionamento.

    Comunque hai ragione, il procedimento da me adottato è incompleto, perché ho considerato solo la trasformata dello spazio e invece va considerata anche la trasformata del tempo.

    Mi dispiace, ci ho pensato su, ma non riesco a trovare la strada corretta.

    La logica mi direbbe di considerare la definizione di velocità, ovvero:

    u’= dx’/dt’

    Adesso bisognerebbe applicare la trasformata a dx’ e a dt’, ma non so come si fa.

    Se considerassi la formula semplificata della velocità (per un moto rettilineo uniforme):

    u’ = x’/t’

    potrei inserire la trasformata e otterrei:

    u’ = γ (x – vt) / γ (t – vx/c^2) quindi il fattore di Lorentz sparisce diventando:
    u’ = (x – vt) / (t – vx/c^2)

    ma adesso non saprei cosa fare, non ho gli elementi matematici per procedere oltre.

    Si potrebbe dividere per dt sia il numeratore, che il denominatore? ... mi sa di aver detto una fesseria. :oops:

    Basta sto zitto…

    Mi dispiace ma le mie conoscenze in campo matematico si fermano a qui. :cry:

    Aspetto la soluzione di altre persone...fa troppo caldo per pensare...

    Comunque sempre un grazie per la disponibilità, c'è sempre qualcosa di nuovo da imparare...

  4. caro Simone...
    guarda che sei sulla strada giusta... :-P
    comincia proprio con scrivere la u (quella che vuoi determinare alla fine). Puoi scriverla come delta(x)/delta(t), ossia come x2 -x1/t2 - t1. Basta sostituire con i valori relativi alla trasformazione e semplificare senza paura! Poi, con qualche piccolo trucchetto banalissimo, vedrai che ti viene la composizione, ossia quanto vale la u in funzione di v e u'. Non devi fare derivate, ma la derivata viene naturalmente, ma non quella della velocità.... beh... non posso dire proprio tutto! :roll:

  5. Paolo

    Caro Enzo, con questo caldo il quiz mi ha fatto sudare (più che altro per un errore di calcolo che mi era sfuggito)..

    Io il problema l'ho impostato partendo dalla velocità u'. :idea:

    Per il sistema S' (in movimento rispetto a S) la misura della velocità non è altro che un intervallo di spazio percorso in un intervallo di tempo:
    u' = (x'2 -x'1)/ (t'2 -t'1) = Δx' /Δt'

    Per il sistema fermo la velocità si misura come per S', solo che i due sistemi di riferimento sono diversi e conseguentemente anche le unità di misura del tempo e dello spazio.

    Le trasformazioni di Lorentz consentono però di trasformare i valori di tempo e spazio misurati dal sistema in movimento nei valori corrispondenti nel sistema fermo.

    L'idea è quella di usare queste trasformazioni per trovare il rapporto spazio/tempo (ossia la velocità di P') vista dal sistema fermo (questa ovviamente non può risultare maggiore di quella della luce).

    Dato che:
    x’ = (x – vt)/(1 – v^2/c^2)^1/2
    ricavo il valore di x:
    x= x’ (1 – v^2/c^2)^1/2 + vt

    Calcolo l'intervallo di spazio:
    Δx = x’2 (1 – v^2/c^2)^1/2 + vt2 – ( x’1 (1 – v^2/c^2)^1/2 + vt1 )
    Δx = x’2 (1 – v^2/c^2)^1/2 + vt2 – x’1 (1 – v^2/c^2)^1/2 – vt1
    Δx = (1 – v^2/c^2)^1/2 (x’2 – x’1) + v (t2 – t1)
    Δx = Δx’ (1 – v^2/c^2)^1/2 + v Δt

    trovo anche il valore di Δt (mi servirà dopo)
    Δx – Δx’ (1 – v^2/c^2)1/2 = v Δt
    Δt = (Δx – Δx’ (1 – v^2/c^2)1/2 /v

    Ora tocca all'altra trasformazione di Lorentz
    t’ = (t – vx/c^2)/(1 – v^2/c^2)^1/2
    ricavo il tempo t:
    t = t’ (1 – v^2/c^2)^1/2 + vx/c^2

    Calcolo l'intervallo di tempo:
    Δt = t’2 (1 – v^2/c^2)^1/2 + vx2 /c^2 – (t’1 (1 – v^2/c^2)^1/2 + vx1 /c^2 )
    Δt = t’2 (1 – v^2/c^2)^1/2 + vx2 /c^2 – t’1 (1 – v^2/c^2)^1/2 – vx1 /c^2
    Δt = (1 – v^2/c^2)^1/2 (t’2 – t’1) + v (x2 – x1) /c^2
    Δt = Δt' (1 – v^2/c^2)^1/2 + vΔx /c^2

    Trovo anche il valore di Δx
    Δt – Δt' (1 – v^2/c^2)^1/2 = v Δx /c^2
    Δx = (Δt – Δt' (1 – v^2/c^2)^1/2) c^2/v

    Prima di cercare la relazione Δx/Δt , uso i risultati trovati affinché sia soddisfatto l'indissolubile legame tra tempo e spazio (non a caso le trasformazioni sono due ed entrambe contengono tempo e spazio).

    Quindi:
    Δx = (Δt – Δt' (1 – v^2/c^2)^1/2) c^2/v
    Δx = (c^2 Δt – c^2 Δt' (1 – v^2/c2)^1/2) /v
    Sostituisco il valore di Δt trovato nell'altra trasformazione di Lorentz:
    vΔx = c^2 (Δx – Δx’ (1 – v^2/c2)^1/2) /v – c^2 Δt' (1 – v^2/c2)^1/2) )
    v^2 Δx = c^2 Δx – c^2 Δx’ (1 – v^2/c2)^1/2 – vc^2 Δt' (1 – v^2/c2)^1/2)
    v^2 Δx – c^2 Δx = – c^2 Δx’ (1 – v^2/c2)^1/2 – vc^2 Δt' (1 – v^2/c^2)^1/2
    -v^2 Δx + c^2 Δx = c^2 Δx’ (1 – v2/c2)^1/2 + vc^2 Δt' (1 – v2/c2)1/2
    Δx (c^2 -v^2) = c^2 (1 – v^2/c^2)^1/2 (Δx’ + vΔt' )
    Δx = c^2 (1 – v^2/c^2)^1/2 (Δx’ + vΔt' )/ (c^2 -v^2)

    Ora tocca al tempo:

    Δt = (1 – v^2/c^2)^1/2 Δt' + v Δx /c^2
    Sostituisco il valore di Δx trovato nell'altra trasformazione di Lorentz:
    Δt = (1 – v^2/c^2)^1/2 Δt' + v ( Δx’ (1 – v^2/c^2)^1/2 + v Δt) /c^2
    Δt = ((1 – v^2/c^2)^1/2 c^2Δt' + v (Δx’(1 – v2/c2)1/2 + v Δt)) /c^2
    c^2Δt = (1 – v^2/c^2)^1/2 c^2Δt' + v (Δx’ (1 – v^2/c^2)^1/2 + v Δt)
    c^2Δt = (1 – v^2/c^2)^1/2 c^2Δt' + vΔx’ (1 – v^2/c^2)^1/2 + v^2 Δt
    c^2Δt – v^2Δt = c^2Δt' (1 – v^2/c^2)^1/2 + vΔx’ (1 – v^2/c^2)^1/2
    Δt (c^2 – v^2) = c^2Δt' (1 – v^2/c^2)^1/2 + v Δx’ (1 – v^2/c^2)^1/2
    Δt (c^2 – v^2) = (1 – v^2/c^2)^1/2 (c^2Δt' + v Δx’ )
    Δt = (1 – v^2/c^2)^1/2 (c^2Δt' + v Δx’ ) /(c^2 – v^2)

    Ora posso trovare il rapporto Δx/Δt, ossia velocità dell'“evento” P' visto dal sistema fermo:

    c^2 (1 – v^2/c^2)^1/2 (Δx’ + vΔt' )/ (c^2 -v^2) / (1 – v^2/c^2)^1/2 (c^2Δt' + v Δx’ ) /(c^2 – v^2)
    Una serie di termini si annullano tra numeratore e denominatore:
    c^2 (Δx’ + vΔt' ) / (c^2Δt' + v Δx’ )
    c^2Δx’ + c^2vΔt' / c^2Δt' + v Δx’
    divido sopra e sotto per Δt'
    c^2Δx’ /Δt' + c^2vΔt' /Δt' / c^2Δt'/Δt' + v Δx’ /Δt'
    c^2u' + c^2v / c^2 + v u'
    divido tutto per c^2
    c^2u'/c^2 + c^2v /c^2 / c^2/c^2 + v u' /c^2

    velocità vista dal sistema fermo:
    U = Δx/Δt = (u' + v) / 1 + ( v u' /c^2)

    Spero che sia corretto :roll: , aggiungo solo una figura per mostrare cosa intendevo per sistemi di misura diversi tra S e S' (ovviamente la velocità della luce deve rimanere invalicabile per entrambi i sistemi).

    http://www.astrobin.com/full/34211/T/

    Paolo

  6. Daniela

    Provo a dare una quasi-soluzione, nel senso che cercherò di spiegare il procedimento che ho seguito senza, purtroppo, fornire u=f(u’) perché devo essermi “annodata” con i calcoli.
    Vediamo se almeno il ragionamento è corretto…

    Chiedo scusa, ma nel copia/incolla da word ho perso la formattazione di apici e pedici e non riesco a rimetterla, spero che le formule siano comunque comprensibili

    Premetto che userò B al posto di “beta” (v/c).

    Se le coordinate di P’ in S’ sono:
    x’ = (x-BT)/(1-B)1/2
    T’ = (T-Bx)/(1-B)1/2

    Facendo un po’ di calcoli e di sostituzioni, le coordinate di P’ viste da S dovrebbero essere:
    x = (x’+BT’)/(1-B)1/2 che chiamerò SX
    T = (T’+Bx’)/(1-B)1/2 che chiamerò ST

    T= ct quindi t = T/c

    Se P’ si muove, poniamo dall’evento C all’evento D, ad una determinata velocità u’, la velocità u a cui viene visto muoversi da S immagino sia data dallo spazio che P’ è visto percorrere da S (xD - xC) fratto il tempo, percepito da S, impiegato da P’ per fare il percorso

    u = (SXD - STC) c / (STD - STC)

    Ho provato a svolgere questa equazione, ma devo avere sbagliato qualche calcolo o non avere visto delle semplificazioni e/o sostituzioni e mi risulta una soluzione improponibile…

    Se, per curiosità, Prof., vuoi vedere i calcoli, posso inviarti per e-mail il brogliaccio scannerizzato perché rischio di impiegare tre ore a copiarli con la tastiera del pc!

    Ora, finalmente, posso guardare la soluzione data da Paolo :-P

  7. Paolo

    Aggiungo solo una piccola prova per testare la relazione trovata (sempre che sia corretta) :roll: :
    U = (u' + v) / 1 + ( v u' /c^2)

    Ipotizzando che P' sia un fotone, u'=c, quindi:
    U = (c + v) / 1 + ( v c /c^2)
    U = (c + v) / 1 + v /c
    U = (c + v) / (c + v )/c
    U = c (c + v) / (c + v )
    U = c

    Quindi il fotone viaggia alla velocità c, anche per il sistema fermo S, esattamente come per il sistema in movimento S' (u'=c).

    In questo particolarissimo caso u' è uguale ad U.

    Paolo

  8. uffa! Con Paolo non c'è nemmeno più gusto... :roll: :-P :-P

    Vorrei far notare come si deve sempre mantenere calma e logica, senza farsi spaventare dai passaggi matematici che NON sono mai (per la RR) insuperabili. Paolo ormai sa come fare e riesce ad arrivare sempre alla meta, malgrado tanto ... sudore!
    Basta ancora far vedere che si ricade facilmente nel caso galileiano per velocità molto piccole rispetto a quella della luce.
    Complimenti anche a Daniela, anche se si è "incastrata" nella matematica (spaventa anche perché quella radice quadrata al denominatore dà sempre molto fastidio...).

    Dato che vorrei andare avanti con la versione "realistica" del paradosso (una vera avventura spaziale in cui il viaggiatore e la Terra rimangono sempre in contatto!), scrivo rapidamente la soluzione della composizione delle velocità (è sempre meglio riscriverla come articolo che non come risposta nei commenti...).

    Il quiz resterà in visione per chi vuole cimentarsi, mentre la formula finale potremo usarla per iniziare il viaggio...

    Resto in attesa della chiamata per il ricovero di Barbara (manca solo quella adesso, tutto il resto è ok). Se sospendo gli articoli sapete perché...

    Permettetemi di fare ancora una volta i complimenti a Paolo. E' più forte di me... ma quando vedo logica, dedizione e umiltà non posso che applaudire!!! Ma, state tranquilli, che vi ammiro tutti perché tutti, con la vostra assiduità e volontà, aiutate il circolo a restare vivo e -spero- utile!

    Mi butto sui ... gemelli!!!!!

  9. Diego

    Ritengo importante sottolineare che la camposizione relativistica della velocità è applicabile solo nei casi in cui i due sistemi sono in moto rettilineo uniforme uno rispetto all'altro diversamente tale composizione logicamente non può più essere applicata.
    Approfitto per chiedere aiuto... volevo sapere dove posso trovare i vari simboli matematici per in futuro non dover sbattermi a cercarli perdendo tempo utile da dedicare nell'esposizione delle mie intuizioni e potermi cimentare in formule matematiche in maniera più agevole, Grazie!!!
    Non ho office ho openoffice??? :mrgreen:

  10. Beh... Diego, è ovvio! La RR si applica solo a sistemi inerziali per definizione! Se no non sarebbe la RR.
    Posso dirti che si applica anche se il moto di P' non è lungo l'asse x', ma reputo inutile affrontare questi calcoli dato che noi ci manteniamo in uno spazio rettilineo per disegnare Minkowski.

    Per i simboli io mi affido a quelli che riporta word nella casella "inserisci". però lascio la risposta a chi è più bravo di me....

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