Categorie: Relatività
Tags: contrazione lunghezze dilatazione tempi Minkowski quiz
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:13
QUIZ: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze... solo con una matita ***
L’esercizio che vi propongo è facilmente spiegabile. Attraverso la trasformazione del sistema di riferimento ottenuto nel piano di Minkowski, con l’aiuto delle curve di calibrazione, vi chiedo di determinare e disegnare i due effetti più celebri della RR. Basta ricordare, ovviamente, qual è la linea di simultaneità. Cercate di vedere il rallentamento e la contrazione in entrambi i sistemi di riferimento: quello considerato fermo e quello in moto. Ovviamente, il risultato deve essere perfettamente simmetrico. Vi dico subito che per quanto riguarda il “tempo” la faccenda è veramente immediata. Un po’ più di ragionamento ci vuole per la contrazione delle lunghezze, tenendo presente che si misura una lunghezza attraverso due orologi sincronizzati dello stesso sistema. La simultaneità, però, dipende dal sistema da cui si misura.
Non pretendo dei numeri finali, ma solo la dimostrazione visiva, anche qualitativa, che il tempo rallenta e le lunghezze si accorciano, se guardiamo qualcosa su un sistema in movimento da un sistema fisso (e viceversa).
In attesa del blocco del blog, divertitevi a disegnare un poco… Poi, ovviamente, ne discuteremo ampiamente!
Niente formule, mi raccomando… quelle le avete già usate per disegnare gli assi del sistema in moto e per calcolare la curva di calibrazione. Come prova del vostro successo potete applicare quanto trovato al paradosso dei gemelli appena pubblicato e descritto graficamente.
Buon lavoro!
13 commenti
Caro Enzo io ci provo confrontando le unità di misura dei due sistemi di riferimento.
Avrei potuto limitarmi a disegnare le rette e le curve di calibrazione, senza aggiungere altro ottenendo le unità di misura, però ho aggiunto qualcos'altro poiché mi serve per affrontare le figure successive (sempre che il ragionamento sia corretto).
http://www.astrobin.com/full/187783/0/
Nella prima figura l'intersezione tra la retta che rappresenta l'asse T' (m=1/β) e la curva di calibrazione rappresenta l'unità di misura del tempo misurato lungo l'asse T' , mentre l'intersezione tra la retta che rappresenta l'asse X' (m=β) e la curva di calibrazione rappresenta l'unità di misura lungo l'asse X' .
E' evidente come il tempo T' visto dal sistema fermo sembra dilatarsi, tanto che se per il sistema in movimento è passato 1 anno per quello fermo ne sono passati circa 2,29, valore pari a γ, ossia: 1/√ (1- β²).
Anche lo spazio X' visto dal sistema fermo sembra contrarsi, tanto che se il sistema in movimento misura uno spazio pari a 1 anno luce , questo spazio misurato dal sistema fermo lungo l'asse X equivale a 2,294 anni luce.
Le coordinate dei due punti di intersezione Q' e P' (unità misura sistema in movimento), misurate dal sistema fermo (assi X e T), sono pari a:
P’ = (βγ; γ) e Q' = (γ; βγ)
Tale risultato l'ho ricavato ponendo come condizione che il punto P' (punto di intersezione tra due rette) si deve trovare sia sulla retta che rappresenta l'asse T' sia su quella parallela all'asse X' che taglia l'asse del tempo T (sistema fermo) all'altezza di 1/ γ (0,436).
Per il punto Q', il procedimento usato è simile, dato che deve trovarsi sia sulla retta che rappresenta l'asse X', sia su quella parallela a T' che taglia l'asse X (sistema fermo) alla distanza di 1/ γ (0,436).
La figura sotto mostra la medesima situazione vista da quello che prima era il sistema in movimento.
Il procedimento usato è lo stesso, solo che la velocità è negativa e che ora le parti si invertono, è T che si dilata e X che si contrae, in perfetta simmetria con il grafico ottenuto nella figura sopra.
Dato che la simmetria è rispettata ho provato a romperla, usando per il paradosso dei gemelli, con l'astronave che viaggia ad una velocità di 0,9C e il Terricolo e l'astronauta che ogni anno di Tempo proprio lanciano un segnale verso l'altro.
Il percorso di andata dell'astronave è di circa 4,13 anni luce (visto dal sistema fermo, Terra) e ovviamente il tragitto è lo stesso anche al ritorno.
Per trovare le unità di misura ho usato proprio il metodo di intersezione descritto prima....
http://www.astrobin.com/full/187783/D/
Volendo potevo usare le curve di calibrazione, oppure semplicemente tracciare una retta parallela all'asse X partendo dall'altezza sull'asse T pari a γ, fino ad intersecare l'asse T', individuando così l'unità di misura del tempo del sistema in movimento (nelle figure precedenti punto P')
Al ritorno dal viaggio per il Terricolo sono trascorsi 9,17 anni (d'altronde T= S/v, per cui 4,13 anni luce x 2 /0,9C = 8,26/0,9 = 9,17), mentre per l'astronauta solo 4 (d'altronde se 1 anno luce misurato dall'astronauta è pari a 2,294 anni misurati dalla Terra, 2,294 x 4 = 9,17).
Non ho tracciato nella figura l'asse X', per non appesantirla troppo.... per cui per la contrazione delle lunghezze dovrete accontentarvi di qualche rapido ragionamento.
Le coordinate del punto P' (X;T) (che rappresenta l'unità misura del tempo T' per l'astronauta) come trovato prima sono
P’ = (βγ; γ), ossia in un tempo T pari a γ l'astronave vista dal sistema fermo percorre uno spazio X pari a βγ
γ = 1/√(1- β²) = 1/√(1- 0,9²) = 2,294 (Tempo misurato asse T)
βγ = 0,9 (2,294) = 2,065 (Spazio percorso in 2,294 anni per la Terra, ma in 1 anno per l'astronauta).
Ovviamente non vi è alcuna violazione della velocità della luce, dato che per il sistema fermo l'astronave viaggia a 0,9C (v=X/T = 2,065/2,294= 0,9).
Oltre al Tempo che si dilata, come descritto primo, anche lo spazio visto dal sistema fermo si contrae di un fattore pari a γ, per cui 2,294 anni luce misurati dal sistema fermo sono pari a 1 anno luce misurato dal sistema in movimento (ossia lo spazio si contrae).
L'astronave in 1 anno di tempo proprio percorre uno spazio pari a 2,065 anni luce misurato dal sistema fermo, ma lo spazio percorso dall'astronave misurato con il proprio sistema di riferimento (asse X') è inferiore ad 1 anno luce, dato che tale distanza se misurata dal sistema fermo è pari a 2,294 anni luce.
Quindi per l'astronave la distanza percorsa in 1 anno è pari ad una frazione di 2,294 (che per l'astronauta rappresenta una distanza pari a 1 anno luce), e più precisamente:
2,065/2,294 = 0,9C.
Il tempo si dilata ma lo spazio si contrae.... e la velocità della luce non viene violata.
L'ultima figura mostra il viaggio visto dall'astronave........
http://www.astrobin.com/full/187783/C/
La figura è un po' più complessa, per cui il percorso di andata è facile da descrivere, mentre per il ritorno ho usato la composizione relativistica delle velocità (l'astronave cambia direzione rispetto all'andata).
La velocità u risultante consente di determinare la pendenza della retta che descrive il percorso di ritorno dell'astronave (m=18/18,1...... molto vicina alla velocità della luce).
Una volta trovato il valore di u, ho usato il solito metodo per determinarne l'unità di misura del tempo, tenendo conto che la retta che descrive il ritorno non parte dall'origine degli assi, ma da un tempo T'=2.
Vi risparmio il ragionamento sulla contrazione delle lunghezze....
Spero di averci preso......
Paolo
caro Paolo,
tu dici:
"E' evidente come il tempo T' visto dal sistema fermo sembra dilatarsi, tanto che se per il sistema in movimento è passato 1 anno per quello fermo ne sono passati circa 2,29, valore pari a γ, ossia: 1/√ (1- β²).
Anche lo spazio X' visto dal sistema fermo sembra contrarsi, tanto che se il sistema in movimento misura uno spazio pari a 1 anno luce , questo spazio misurato dal sistema fermo lungo l'asse X equivale a 2,294 anni luce."
Scusa... ma da quanto dici sembra che anche lo spazio si dilati se visto dal sistema fermo. La frase relativa al tempo è perfettamente identica a quella usata per lo spazio.
"Per il sistema è passato 1 anno per quello fermo ne sono passati 2.29". Ma per lo spazio dici:"il sistema in movimento misura 1 anno luce, che misurato dal sistema fermo equivale a 2.29 anni luce. Il che sembra voler dire che lo spazio si dilata anch'esso se visto dal sistema in movimento...
O, invece, ho capito male io?
Per la miseria Enzo, che erroraccio
.... ho dilatato lo spazio invece che contrarlo (una cosa è cercare le coordinate di P' e Q' per trovare immediatamente le unità di misura di X' e T', altro è comparare le distanze).
Eppure era così semplice, bastava riavvolgere il tempo del punto Q' (X'=1 e T'=0) e vedere dove taglia l'asse X (retta parallela all'asse T' passante per Q').
In questo modo la distanza tra i punti O e Q' (o meglio della sua proiezione sull'asse X) può essere misurata dal sistema fermo, come mostra la figura.
http://www.astrobin.com/full/187783/E/
1 anno luce misurato sull'asse X' corrisponde ad una distanza di 0,436 anni luce (1/ γ ) misurata dal sistema fermo.
In pratica lo spazio corrispondente a 1 anno luce misurato sull'asse X', misurato dal sistema fermo risulta: 1/0,436 = 2,294 volte più contratto.
Paolo
BRAVO Paolo!
Non era facile come sembra, dato che bisognava pensare che la simultaneità si riferisce al sistema fermo... e quindi si doveva tagliare la traccia lasciata dalla lunghezza nel suo sistema in movimento con una retta orizzontale. Per arrivarci bisogna aver compreso bene la faccenda che una lunghezza si misura con due orologi sincronizzati nel sistema fermo... Gira e rigira è sempre il tempo che comanda.
La prima impressione è quella di lavorare come per il tempo, ma poi ci si accorge che non ha senso e che il concetto è ben diverso... complimenti!
Per quanto riguarda la situazione simmetrica (cambio del sistema), non c'è bisogno di ribaltare la figura. Si può fare benissimo con la figura precedente tenendo conto che adesso la simultaneità avviene lungo la x'... Direi che puoi provarci tranquillamente!
Volevo aggiungere che non è facile trovare una spiegazione adeguata sui siti che si trovano nel web. Di solito si dà per scontato o si riportano descrizioni a dir poco molto dubbie e assai involute. Vi invito, quindi, a seguire molto bene questo quiz (sia tentando di ripercorrere il ragionamento di Paolo, sia leggendo con attenzione la descrizione che darò come risposta, allacciata al solito vecchio discorso dei due orologi e della relatività della simultaneità).
Vediamo se ho capito
http://www.astrobin.com/full/187783/F/
Questa volta è il sistema in movimento che cerca di misurare Tempo e Spazio (è lui che usa più orologi sincronizzati) di quello fermo.
Innanzitutto traccio la linea di simultaneità che passa per P'.
L'evento P sull'asse T corrisponde (linea di simultaneità) all'evento P' sull'asse T', quindi visto dal sistema in movimento quando per T' è trascorso 1 anno per T è trascorsa sola una frazione di un anno (pari a 1/ γ , ossia 0,436 anni).
La distanza questa volta deve misurarla l'asse X', e l'evento Q si muove nel tempo lungo una retta parallela all'asse T, quando Q coincide con Q', questo giace sull'asse X' come O.
Quindi la distanza (O-Q) di 2,29 anni luce ( γ) corrisponde vista dal sistema in movimento ad una distanza di 1 anno luce (O-Q'), ossia appare 2,294 volte più contratta.
Paolo
scusa Paolo,
ma nella figura si capisce poco qual'è graficamente la dilatazione del tempo e la contrazione della lunghezza... Ti consiglierei (soprattutto per la lunghezza) di considerare un'asta rigida che si muove in S e poi mostrare come si vede in S'... Spero di essere stato comprensibile...
Forse così è più chiaro cosa intendevo (ho anche disegnato degli orologi), sempre che il ragionamento sia corretto.
http://www.astrobin.com/full/187783/G/
Visto dal sistema in movimento, 1 anno terrestre corrisponde a 2,29 anni (valore di γ per Velocità V=0,9C) misurati sull'asse T' (la linea di simultaneità del sistema in movimento taglia l'asse T all'altezza di 1 anno terrestre).
Le lunghezze misurate ognuna al rispettivo Tempo zero (asse X' per il sistema in movimento e asse X del sistema fermo) corrispondono rispettivamente a 1 anno luce per la Terra e 0,436 anni luce misurati dal sistema in movimento (ho indicato la “posizione” del segmento terrestre quando questo “incrocia” l'asse X').
Per il sistema in movimento la lunghezza di 1 anno luce misurata dal sistema terrestre si è contratta fino a 0,436 anni luce (valore di 1/γ per Velocità V=0,9C).
Paolo
caro Paolo,
l'ultima versione mi sembra soddisfacente anche se meriterebbe qualche considerazione in più. Comunque, il punto è stato colpito in pieno! Appena posso, cerco di scrivere il pezzo relativo con molta calma e attenzione ai particolari della sequenza logica dei risultati...
Hai ragione Enzo merita qualche considerazione in più, per cui provo a esporre sinteticamente il metodo che ho usato.
Tralascio i diversi metodi descritti nel primo post per trovare le unità di misura, vorrei invece porre l'attenzione come la descrizione da utilizzare dipende da quale sistema usa più orologi e quale uno solo.
Per descrivere cosa vede il sistema fermo, questo deve usare più orologi.
La linea di simultaneità (retta parallela all'asse X) del sistema fermo è quella in cui tutti gli orologi segnano lo stesso tempo T.
Quando l'unico orologio del sistema in movimento segna 1 anno, gli orologi del sistema fermo segnano 2,29 anni (ne sono sicuro, dato che l'orologio di un amico solidale con il sistema fermo ha visto passare il sistema in movimento quando l'orologio di quest'ultimo segnava 1 anno).
http://www.astrobin.com/full/187783/H/
Leggermente più complesso è il sistema per evidenziare la contrazione delle lunghezze.
Innanzitutto il sistema in movimento è sicuro che la distanza tra i “punti” O' e Q' (misurata sull'asse X') è di 1 anno luce (ammettiamo che si tratti di una barra fissa lunga 1 anno luce).
Tale barra, ossia il segmento O'-Q', non può che essere solidale con il sistema in movimento (ossia vista dal sistema fermo deve muoversi in solido con quest'ultimo) e rappresenta una lunghezza propria del sistema in movimento (la misura è stata effettuata quando l'orologio segnava T'=0).
La lunghezza di questa barra fissa per il sistema in movimento non può certo mutare nel tempo, per cui le sue estremità O' e Q' si spostano solo nel tempo T', ma non nello spazio.
Quindi O' con lo scorrere del tempo si sposta lungo l'asse T' (x' rimane uguale a zero) e Q' si muove anch'esso solo lungo una retta parallela all'asse T' (x' rimane uguale a 1)
Tutto ciò è vero per il sistema in movimento, ma il sistema fermo misura il tempo in tutt'altro modo, lungo l'asse T e rette parallele ad esso e non lungo l'asse T'.
Quindi basta fissare un tempo T, e misurare la distanza tra O' e Q' vista dal sistema fermo .
Quando gli orologi del sistema fermo segnano Tempo zero, Q' si trova ad una distanza da O di soli 0,436 anni luce, quindi per il sistema fermo la barra lunga 1 anno luce solidale con il sistema in movimento (T'=0) appare assai più corta.
Un ipotetico amico solidale con il sistema fermo posto ad una distanza da O di 0,436 anni luce, vederebbe passare l'estremità Q' della barra quando il suo orologio segna tempo zero, e lo stesso segnerebbe l'orologio di chi vede passare l'altra estremità in O.
Poco cambia variando la posizione degli amici, poiché anche fissando un tempo diverso da zero (nella figura ho usato T=4,3) la distanza O'-Q' misurata dal sistema fermo rimane di 0,436 anni luce.
Il medesimo ragionamento si applica anche alla descrizione di ciò che vede il sistema in movimento.
Questa volta, però, è il sistema in movimento che usa più orologi ed è il sistema fermo che ha una barra fissa lunga 1 anno luce (lunghezza propria).
http://www.astrobin.com/full/187783/I/
Quando gli orologi del sistema in movimento segnano 2,29 anni, l'unico orologio del sistema fermo segna 1 anno (a fare la spia è stato un amico solidale con il sistema in movimento, il cui orologio segnava proprio 2,29 anni quando ha visto passare a folle velocità in retromarcia il sistema fermo il cui orologio segnava 1 anno).
Questa volta la barra fissa lungo 1 anno luce per il sistema fermo, si muove solo nel tempo T.
Un amico solidale con il sistema in movimento, posto ad una distanza di 0,436 anni luce da O, giura di aver visto passare l'estremità Q della barra quando il suo orologio segnava zero e lo stesso tempo segnava l'orologio dell'amico che ha visto passare l'altra estremità O della barra.
Non si può non notare la perfetta simmetria tra le due diverse rappresentazioni e l'importanza nella rappresentazione che si decide di usare di identificare quale sistema usa più orologi e quale utilizza una lunghezza propria.
Paolo
PS: ma le due figure sul paradosso dei gemelli (a parte che andrebbe rivista la questione della contrazione delle lunghezze comunque non riportata nelle figure) sono corrette?
caro Paolo,
Lo so che ti faccio troppi complimenti, ma quando ci vuole, ci vuole! Hai perfettamente compreso l'importanza degli orologi e delle linee di simultaneità. Bene, molto bene, benissimo! 
hai fatto una descrizione da MANUALE! Non penso riuscirò a essere più chiaro di te... Perfetto, veramente perfetto!
Non capisco, invece, quali siano le figure sul paradosso dei gemelli... Sono le mie figure a essere sbagliate o chiedi di qualcuna che hai mandato tu? Scusa, ma ho perso il filo precedente... Devo riprendermi con calma...
Caro Enzo intendevo dire queste due figure qui, ossia la stessa situazione usata per risolvere il paradosso dei gemelli solo che la velocità dell'astronave è di 0,9C e il tragitto dell'astronave visto dal sistema fermo è di 4,13 anni luce all'andata e 4,13 anni luce al ritorno:
http://www.astrobin.com/full/187783/D/
http://www.astrobin.com/full/187783/C/
Ho solo provato a usare una velocità diversa da quella più intuitiva di 3/5 di C per vedere se ho compreso il procedimento
Paolo
hai ragione, hai ragione... me ne ero dimenticato,,,
Direi che tutto è OK!