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13/01/16

Soluzione del quiz su E = m c²

La prima cosa da fare è riproporre l’uguaglianza da verificare, scrivendo per esteso la derivata del primo membro:

v2dγ/dt + γv dv/dt = c2 dγ/dt   …. (1)

Partiamo direttamente dalla definizione di γ:

γ = 1/(1 – (v/c)2)1/2

 Qualche piccolo ritocco, dopo aver elevato a quadrato

γ2 - γ2v2/c2 = 1

γ2c2 - γ2v2 = c2

Deriviamo questa espressione rispetto al tempo (sia γ che v sono funzioni del tempo), ricordando la derivata del prodotto e la costanza di c:

2c2γdγ/dt - 2γv2dγ/dt - 2γ2v dv/dt = 0

Semplificando i termini comuni si ottiene:

c2dγ/dt - v2dγ/dt - γv dv/dt = 0

spostando qualcosa a destra del segno di uguale si ha, infine:

v2 dγ/dt + γv dv/dt = c2dγ/dt      …. (2)

Che è esattamente uguale alla (1), che è quindi verificata!

Introducendo la massa ed eseguendo un integrale definito, si arriva facilmente alla famosa formula… ma questa è un’altra storia, molto più fisica.

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