5/03/16

Dinamica relativistica. 3: Massa ed energia 2 **

Per una trattazione completa dell’argomento, si consiglia di leggere il relativo approfondimento nel quale è stato inserito anche il presente articolo

 

Qualcuno potrebbe commentare: “Abbiamo scritto la nuova versione dell’energia cinetica e il risultato ci ha emozionato e ci ha fatto perdere di vista la realtà…  La formula ricavata non ha alcuna somiglianza con quella classica. Eppure, per basse velocità dovrebbe coincidere con lei…”. Questo qualcuno avrebbe ragione. Per noi è un vero piacere dimostrargli che in effetti è proprio così. Un piacere, anche perché sfrutteremo di nuovo gli sviluppi in serie! Anzi, proprio uno che avevamo risolto come esercizio (QUI) … Chi vuole provare, può partire da qui e risolvere il problema da solo...

Consideriamo la funzione:

(1 + x)α      …. (4)

Il suo sviluppo in serie risulta:

(1 + x)α = 1 + αx + (α – 1)x2/2! + …

E non c’è nemmeno bisogno di andare oltre. Anzi, possiamo già fermarci ai primi due termini. Se x << 1, basta e avanza…

Non ci credete? Basta provare…

Scegliamo

α = ½

e

x = 0.01

Facendo i conti:

(1 + 0.01)½  = 1.00498

1 + 0.01/2 =  1.00500

La differenza è di un 2 sulla quinta decimale.

Prendiamo, adesso:

x = 0.0001

(1 + 0.0001)½  = 1.000049999

1 + 0.0001/2 = 1.000050000

La differenza è diventata solo un 1 sulla nona cifra decimale.

Immaginiamo, per un momento (ma non solo…), che la nostra x sia uguale a (v/c)2

x = 0.0001

vorrebbe dire

x = v2/c2 = 0.0001

ossia (circa):

v = 3000 km/sec

Una velocità niente male… possiamo accontentarci! Sicuramente Newton lavorava con velocità più basse.

Riprendiamo la nostra funzione e poniamo allora:

x = - (v/c)2

e

α = - 1/2

Essa diventa

((1 - (v/c)2))-1/2 = 1/(1- (v/c)2)1/2

Questa funzione la conosciamo molto bene! Non è altro che il fattore γ !

Ma, allora, possiamo sviluppare in serie il fattore γ fermandoci al secondo termine:

γ = 1 + (v/c)2/2

e poi inserirlo nella formula dell’energia cinetica relativistica:

K = c2· m0 γ - c2· m0

Si ha:

K = m0c2 (1 + v2/c2)/2 – m0c2 = ½ m0v2

Che è proprio l’energia cinetica newtoniana!

Eh sì, Einstein ha sempre ragione!

9 commenti

  1. Umberto

    Grazie al lavoro preparatorio che hai svolto in precedenza con quiz ed esercizi stanno diventando semplici anche queste cose che sembravano irraggiungibili.

    Sono molto soddisfatto.

  2. sono molto contento anch'io, caro Umberto!!!!

  3. Mik

    Quest'articolo risponde perfettamente alla domanda che ti ponevo, grazie!

    Ho provato ad aggiungere qualche termine alla serie tanto per vedere cosa succede.

    Considerando lo sviluppo fino alla terza potenza di x:

    (1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 + \dots

    con \alpha=-\frac{1}{2}  lo sviluppo diventa (se non ho fatto errori):

    (1+x)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{15}{48}x^3+\dots

    sostituendo x=-\left(\frac{v}{c}\right)^2 si dovrebbe ottenere:

    \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}+\frac{3}{8}\frac{v^4}{c^4}+\frac{15}{48}\frac{v^6}{c^6}+\dots

    Sostituendo nella espressione della energia cinetica e svolgendo i calcoli si arriva a:

    K=c^2m_0\gamma-c^2m_0 =\frac{1}{2}m_0v^2+\frac{3}{8}\frac{m_0}{c^2}v^4+\frac{15}{48}\frac{m_0}{c^4}v^6+\dots

    Quindi i termini ulteriori sono effettivamente molto piccoli per piccole velocità (v \ll c) ma quando la velocità comincia a crescere iniziano a diventare rilevanti, e anche rapidamente viste le potenze in gioco. Se ne interpreto bene il significato, a velocità relativistiche il lavoro fatto dalla forza F di partenza finisce quasi completamente nei termini di ordine superiore mentre il termine che rappresenta l'energia cinetica "classica" aumenta solo di poco.

     

  4. bravo Mik... il concetto è proprio quello! :wink:

  5. Paolo

    Caro Enzo questo articolo mi ha fatto a tornare alla mente questo quiz... :-D

    Paolo

  6. Paolo

    Quello che mi ero dimenticato di linkare: una serie molto energetica..

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:wink: :twisted: :roll: :oops: :mrgreen: :lol: :idea: :evil: :cry: :arrow: :?: :-| :-x :-o :-P :-D :-? :) :( :!: 8-O 8)

 

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