20/03/16

La dinamica relativistica. 3: Massa ed energia. 5 ***

Per una trattazione completa dell’argomento, si consiglia di leggere il relativo approfondimento nel quale è stato inserito anche il presente articolo

 

Qualcuno potrebbe dire: “E’ ovvio!”, ma in fisica non è mai inutile svolgere i processi inversi, dato che spesso si scoprono relazioni di grande interesse. E, poi, è pur sempre esercizio utile per il cervello.

Partiamo, quindi, ammettendo che un certo signor Einstein abbia concluso, sognandolo di notte, che:

E0 = m0c2     …. (8)

Non ci resta che far muovere il corpo applicandogli una forza e vedere cosa succede. Ovviamente, se il corpo si muove deve acquisire energia cinetica, per cui l’energia del corpo deve aumentare. Dato che l’energia del corpo fermo è uguale a una massa moltiplicata per una costante, è ovvio che deve aumentare la massa.

Sì, ma come?

Sappiamo che la variazione di energia, dovuta all’azione di una forza su un corpo, è data da:

dE/dt = F v

Abbiamo già incontrato questa formula, che è quella che ci regala il lavoro svolto da una forza nell’unità di tempo. Ricordate la potenza?

P = L/t = F s/t = F v

Ma il lavoro non è altro che una differenza di energia in un certo intervallino di tempo e, quindi:

dE/dt = F v      …. (9)

In realtà, dovremmo usare vettori e prodotto scalare tra vettori, ma se la forza agisce nel verso del movimento possiamo limitarci ai moduli.

Sappiamo, però, anche che:

F = d(mv)/dt

La (9) diventa, ricordando la (8) (non siamo più a riposo e m0 deve essere aumentata, come già detto prima)

d(mc2)/dt = v d(mv)dt

Tutto quello che dobbiamo fare è risolvere questa equazione, ricavando la massa. Abbiamo bisogno di qualche trucchetto… (Come al solito, la scrittura in rosso significa che chi vuol provare può anche proseguire da solo…)

Moltiplichiamo entrambi i membri per 2m:

c2 2m d(m)/dt = 2mv d(mv)dt       …. (10)

Non sbagliamo di certo se ricordiamo che 2m d(m)/dt  non è altro che la derivata di m2:

d(m2)/dt = 2m dm/dt

ma, analogamente, vale anche:

d(mv)2/dt = 2mv d(mv)/dt

Sostituendo nella (10):

c2 d(m2)/dt = d(m2v2)/dt

Basta fare l’integrale indefinito di entrambi i membri e abbiamo

m2 c2 = m2v2 + k      .... (11)

Stiamo parlando di integrali indefiniti e quindi ci dobbiamo portare dietro una costante…

Tuttavia, la relazione precedente deve essere valida per qualsiasi velocità, quindi anche per v = 0…

Essa diventa:

m02c2 = 0 + k

La costante è quindi determinata e vale:

k = m02 c2

Possiamo allora sostituire k nella (11) che diviene:

m2(c2 – v2) = m02 c2

m2 = m02c2/(c2 – v2) = m02/(1 – v2/c2)

e, infine:

m = m0/(1 – v2/c2)1/2

come volevasi dimostrare… e, intanto, abbiamo ripassato un po' di derivate e integrali...

 

4 commenti

  1. umberto

    ottima inversione ( o cambio di paradigma?) é tutto chiaro grazie!

  2. sapevo che l'avresti gradita... :wink:

  3. Fabrizio

    Ho provato a proseguire da solo alla scritta rossa seguendo questa via:

    d(mc2)/dt = v d(mv)dt

    sviluppando le derivate con c costante ed m e v dipendenti dal tempo

    c2dm/dt=v(vdm/dt+mdv/dt)

    (c^{2}-v^{2})\frac{dm}{dt}=mv\frac{dv}{dt}, poiché v\frac{dv}{dt}=\frac{1}{2} \frac{dv^{2}}{dt}

    (c^{2}-v^{2})\frac{dm}{dt}=m\frac{1}{2} \frac{dv^{2}}{dt}  ,   porto a sinistra m ed a destra v

    \frac{1}{m}\frac{dm}{dt}=\frac{1}{2}\frac{1}{(c^{2}-v^{2})} \frac{dv^{2}}{dt} , poiché  \frac{d(c^{2}-v^{2})}{dt}=- \frac{dv^{2}}{dt}

    \frac{1}{m}\frac{dm}{dt}=-\frac{1}{2}\frac{1}{c^{2}-v^{2}} \frac{d(c^{2}-v^{2})}{dt}  , cioè

    \frac{dm}{m}=-\frac{1}{2} \frac{d(c^{2}-v^{2})}{c^{2}-v^{2}} ,  poichè \int \frac{dx}{x}=log(x), l'integrale definito tra v=0 e v è

    log(m)-log(m_0)=-\frac{1}{2} \left (log(c^{2}-v^{2})-log(c^{2}-0^{2}) \right ) , che è

    m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}

    poichè log(a)-log(b)=log(\frac{a}{b}) e -\frac{1}{2}log(a)=log(\frac{1}{\sqrt{a}})

     

     

     

  4. interessante, anche se è un po' lungo... :wink:

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