9/06/16

Da Newton a Keplero. 6 ***

Per una trattazione completa dell’argomento affrontato in questo articolo, si consiglia di leggere il relativo approfondimento

Non ci resta che dedurre la terza legge di Keplero, quella forse più importante e usata. La deduciamo per un’orbita qualsiasi, ma è già ben noto (e immediato) il procedimento da usare nel caso di un’orbita circolare, che richiamiamo per semplicità.

Cominciamo, quindi, con il caso più semplice, ossia quello relativo a un’orbita circolare di raggio r. In realtà, per ottenerla, basta eguagliare la forza gravitazionale con la forza centrifuga, in modo da ottenere l’equilibrio per il corpo orbitante. Siano M e m le masse del Sole e del pianeta.

La legge di gravità dice:

FG = G m M/r2

La forza centrifuga (QUI) è data da:

FC = m ω2 r

Dove ω è la velocità angolare che vale, ovviamente:

ω = 2π/P               (P = Periodo orbitale)

Uguagliando le due forze si ha:

G m M/r2 =  m (4π2/P2) r

G M/r3 = 4π2/P2        …. (36)

Riscriviamo la terza legge di Keplero: “I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle loro orbite”. Nel caso di orbite circolari si può sostituire semiasse con raggio e quindi la formulazione matematica della legge diventa:

r3/P2 = costante

Ma la (36) può scriversi:

r3/P2 = GM/4π2 = costante

Che è proprio la terza legge di Keplero.

terza_legge_keplero

Passiamo adesso al caso di un’orbita ellittica. La faccenda non è certo molto complicata. Basta ricordarsi (che:

h2/μ = a(1- e2)          ….   (37)

Ma h è il doppio della velocità areolare (costante) come dice la (30).

La velocità areolare è l’area descritta nell’unità di tempo, per cui possiamo facilmente estrapolarla a tutta l’ellisse:

h = 2 (Area ellisse/tempo impiegato a percorrerla) = 2 π ab/P

h = 2 π a a(1 – e2)1/2/P = 2 π a2 (1 – e2)1/2)/P

Scriviamo il valore di h2/μ, sostituendo h trovato sopra

h2/μ = (2 π a2 (1 – e2)1/2)/P)2/μ = (4 π2 a4 (1 – e2))/P2)/μ

Applicando la (37):

(4 π2 a4 (1 – e2))/P2)/μ = a (1 – e2)

Semplificando:

4 π2 a4/P2 = μ a

4 π2 a3/P2 = μ

Ma:

μ = G(M + m)  = costante

E, infine:

a3/P2 = G(M + m)/ 4 π2 = costante

Questa è nuovamente la terza legge di Keplero. In particolare, essa è quella più esatta, in quanto tiene anche conto della massa del pianeta m, che per quanto piccola rispetto a quella del Sole M, non può essere trascurabile per la maggior parte dei calcoli di meccanica celeste, anche elementare.

Il moto dei due corpi non si esaurisce certo così, ma, almeno per il momento, abbiamo ottenuto quello che volevamo, ossia ricavare le tre leggi di Keplero partendo dalla legge di gravitazione universale di Newton.

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