20/08/16

Soldner: la relatività generale a metà… **

Il presente articolo è stato inserito nella pagina di approfondimento dedicata all'effetto lente gravitazionale

 

No, Johann Georg von Soldner non ha anticipato la teoria della relatività generale. Tuttavia, nel 1801, ha eseguito il calcolo della deflessione della luce dovuta solo e soltanto alle leggi di Newton. L’angolo di deviazione è risultato la metà di quanto sarà poi provato da Einstein… Vale la pena richiamare sia questo semi-sconosciuto scienziato sia un’applicazione estremamente interessante della legge gravitazionale di Newton.

A molti questo articolo sembrerà una specie di assurdità, dato che si arriva (apparentemente) a smentire quanto si è ripetuto varie volte: secondo Newton la luce non subisce nessuna deflessione dovuta alla gravità. Non è difficile provare questa conclusione, dato che basta prendere in mano la legge di gravitazione Universale.

Immaginiamo un fotone che viaggia di moto rettilineo uniforme con velocità c. Esso passa vicino a un corpo molto massiccio di massa M. Quanto vale la forza di gravità che questo corpo esercita sul fotone? Beh… lo sappiamo tutti:

F = GMm/r2

Dove r è la distanza tra fotone e corpo massiccio e m è la massa del fotone. Fermi tutti! La massa m del fotone è uguale a ZERO, ormai lo sappiamo molto bene.

Ma, allora, la formula precedente è costretta a dire che F = 0. In poche parole, il fotone non subisce alcuna forza da parte del corpo di massa M. Ricordate la ragnatela gravitazionale? Bene, il fotone non la sente nemmeno e l’attraversa senza alcuna paura.

Considerando la legge di Newton e imponendo ciò che abbiamo saputo successivamente (m = 0) dobbiamo concludere che la luce  non viene deflessa.

Aggiungiamo un’ulteriore considerazione: il fotone sta viaggiando a velocità massima c. Se venisse deviato anche leggermente da una forza F, la sua velocità sarebbe maggiore di c e questo sappiamo che non può essere vero. Ma, ancora una volta, l’abbiamo saputo solo successivamente.

Newton, però, non conosceva la massa del fotone e, per lui, v poteva essere grande quanto si voleva.

Cambiamo allora il modo di avvicinarci al problema. Newton considerava il fotone un corpuscolo dotato di una massa, sicuramente piccola, ma che, in fondo, non gli interessava tanto (lo aveva già detto Galileo…).

Un corpo di massa m, che entra nella ragnatela gravitazionale di una massa M, è soggetto a una forza data dalla legge di gravitazione universale e il suo moto è regolato dall’accelerazione che subisce. Posso, perciò scrivere un’uguaglianza usata spesso e volentieri (ricordando la seconda legge di Newton):

F = GMm/r2 = ma

Senza sapere quanto vale m. possiamo immediatamente semplificarla e ottenere:

a = GM/r2

Questa formula, conosciuta benissimo, ci fornisce l’accelerazione di gravità che, a sua volta, ci fornisce la velocità impartita al corpo di massa qualsiasi che entra nella ragnatela gravitazionale. Lo stesso Galileo aveva detto che due oggetti di massa qualsiasi devono cadere al suolo alla stessa velocità dato che l’accelerazione NON dipende dalla loro massa.

Ne segue che, guardando le cose in questo modo, il fotone che viaggia a velocità c è costretto a deviare rispetto al suo moto rettilineo e seguire gli ordini dell’accelerazione di gravità che non guarda in faccia nessuno. Ovviamente il fotone non subirà un grande spostamento, dato che viaggia a una velocità enorme. Tuttavia, se passa molto vicino al corpo massiccio un po’ di spostamento ci deve essere.

Newton non ha mai fatto questo calcolo (l’aveva solo previsto in modo qualitativo), ma il signor Soldner SI. Non è una calcolo banale e si devono fare anche alcune approssimazioni. Un calcolo che, comunque, porta a un errore sicuro, dato che nei pressi di una grande massa lo spaziotempo è curvo (altre considerazioni lo provano in modo decisivo).

Una delle figure fondamentali dello studio originale di Soldner
Una delle figure fondamentali dello studio originale di Soldner

Evitiamo, quindi, di eseguire calcoli complicati che ci portano a qualcosa che sarebbe valido da un punto di vista teorico, solo e soltanto se non valesse la relatività generale. Chi vuole può trovare vari modi di approccio sia nel lavoro originale di Soldner, sia QUI  e QUI .

A noi basta riportare il risultato finale: l’angolo di deflessione φ della luce, dovuto al campo gravitazionale di M, è dato da:

φ = 2GM/c2r

dove r è la distanza tra fotone e corpo massiccio. La formula precedente vale per qualsiasi velocità v, e quindi anche per quella, grandissima, che è c.

Una piccola curiosità (che andando a scavare per bene non è affatto casuale). L’angolo φ può essere facilmente considerato come il rapporto tra due distanze. Poniamo r = R , raggio del corpo massiccio, si ha

φ = Rs/R

con Rs = raggio di Schwarzschild.

Non approfondiamo, ovviamente, ma la faccenda è sicuramente molto interessante.

Più importante è confrontare questa deflessione “teorica” newtoniana con quella relativistica di Einstein, data da:

φR = 4GM/c2r

Per ricavare questa “formuletta” bisogna prima svolgere tutta la relatività generale (e non è cosa semplice). Tuttavia, la conclusione è semplicissima: la deflessione reale è doppia di quella basata solo sulla meccanica newtoniana (sotto particolari ipotesi).

Solo pochi accenni per accendere la curiosità… In un sistema accelerato è facile vedere che la luce curva, così come curva in un sistema che è  in caduta libera (ricordate l’ascensore?). In fondo Newton poteva anche prevedere tutto ciò… il vero problema è che metà del problema poteva risolversi, ma l’altra metà è dovuta alla deformazione del tempo che è strettamente abbracciato allo spazio, come ci ha già dimostrato la relatività ristretta.

Siamo ancora in vacanza e rimandiamo a più tardi calcoli o descrizioni più complicate. Per adesso, direi che spunti di riflessione ne abbiamo dati abbastanza…

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