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31/07/17

Soluzione del quiz sulla macchina e il garage. Prima parte **

Questo quiz estremamente didattico ed esplicativo è stato brutalmente messo da parte per lanciarsi sui razzi. Lo ripropongo in prima posizione, perché penso che sia più utile ancora. Vediamo di riassumere il paradosso sollevato da Pippo e poi di risolverlo applicando correttamente la relatività ristretta.

Nel sistema di riferimento del garage, ossia quello di Pippo, se tutto è fermo (garage e macchina) l’automobile è troppo lunga per potere stare all’interno del garage e riuscire a chiudere i portoni.

Pappo dimostra a Pippo che questo problema può essere risolto facendo muovere la macchina a una velocità relativistica (comparabile con quella della luce). Essa, infatti, deve accorciarsi secondo il fattore di Lorentz, che dipende proprio dal quadrato del rapporto tra la velocità della macchina e quella della luce. Maggiore è questo rapporto e maggiore è la contrazione dell’automobile.

Pippo è più che soddisfatto e fa anch’egli la prova salendo in macchina e portandosi così nel sistema dell’automobile. Come gli spiega Pappo, la relatività ristretta deve essere simmetrica, per cui chi si trova sulla macchina è in un sistema in quiete e considera in moto (uguale e opposto) il garage.

Per Pippo è, quindi, il garage che si contrae seguendo lo stesso fattore di Lorentz (il rapporto tra le velocità è sempre lo stesso). Ne consegue che la macchina entra nel garage dalla parte anteriore (aperta) e viene a trovarsi vicinissima all’uscita in modo tale che il portone ha il tempo di chiudersi e di aprirsi nuovamente. Guardando nello specchietto retrovisore, Pippo si accorge, però, che mentre il portone posteriore ha svolto il suo ruolo perfettamente, quello anteriore non può chiudersi, dato che la macchina non è ancora penetrata all’interno del garage. Perché questo succeda, lui deve proseguire e uscire dal garage con la parte anteriore e solo in queste condizioni riuscirà a vedere anche il portone posteriore chiudersi e poi aprirsi nuovamente. Bella soddisfazione! Ha potuto toccare con mano che la sua macchina non riuscirà mi a stare tutta all’interno del garage con entrambi i portoni chiusi.

A questo punto si scatena contro Pappo e la teoria di quel fanfarone di Einstein. La simmetria vi è stata (si accorcia chi è visto muoversi), ma il fenomeno fisico finale è stato del tutto diverso da caso a caso! Nel primo, la macchina era contenuta all’interno del garage, nel secondo non lo era assolutamente.

Pappo non può che ridere… Pippo NON ha capito la relatività ristretta e, soprattutto, non ha capito che la sua base essenziale è la non simultaneità degli eventi. Dilatazione dei tempi e accorciamento delle lunghezze sono SOLO delle conseguenze di questo punto fondamentale (basterebbe leggere attentamente la parte relativa all’orologio a luce).

Consideriamo, perciò, gli eventi che c’interessano maggiormente. Essi sono: (a) entrata nel garage con la parte anteriore della macchina; (b) avvicinamento stretto (internamente al garage) del muso della macchina all’uscita posteriore (in altre parole, la chiusura e apertura del portone posteriore); (c) avvicinamento stretto (internamente al garage) della coda della macchina all’apertura anteriore (in altre parole, la chiusura e apertura del portone anteriore); (d) uscita della coda della macchina dall’apertura posteriore.

Vediamo come questi eventi si susseguono nei due sistemi.

Nel sistema del garage (Fig. 1):

Figura 1
Figura 1

Il primo evento è (a), ossia la macchina entra nel garage dalla parte anteriore. Il secondo evento è (b), ossia la macchina è vicinissima all’uscita e il portone posteriore si apre e si chiude. Tuttavia, NELLO STESSO ISTANTE, si verifica anche l’evento (c), dato che la contrazione della macchina permette di avere la coda all’interno del garage e vicinissima al portone anteriore. Ne segue che i due eventi (b) e (c) sono simultanei. Pippo si illude che la stessa cosa avverrà anche a macchina ferma. Infine, si verifica l'evento (d).

Nel sistema della macchina (Fig. 2).

Figura 2
Figura 2

Il primo evento è nuovamente (a) e la macchina entra nel garage fino ad arrivare vicinissima all’uscita. Il portone si chiude e si apre, ossia abbiamo l’evento (b). Il portone posteriore non può fare niente dato che l’automobile sta ancora transitando. Il muso della macchina sarà giù uscito dalla parte posteriore quando finalmente la coda entra all’interno del garage e fa chiudere e riaprire il portone anteriore. A questo punto si verifica l’evento (c), decisamente DOPO che si è verificato l’evento (b). Infine, la macchina esce completamente verificando l’evento (d).

Gli eventi sono stati del tutto simili (ossia il fenomeno fisico è stato lo stesso). L’unica differenza è stata la differenza di tempo tra gli eventi (b) e (c). Nel sistema del garage sono avvenuti nello stesso istante, in quello della macchina in tempi diversi. Ma tutto ciò è PERFETTAMENTE consistente con la relatività ristretta che si basa proprio sulla relatività della simultaneità.

Il paradosso è completamente risolto e Pippo deve ricominciare a costruire il suo garage…

Mi fermo qui, per adesso… Seguendo quanto descritto a parole non è assolutamente difficile rappresentare il tutto in modo ancora più chiaro e immediato, utilizzando il diagramma di Minkowski. Provateci voi…

 

QUI la seconda parte della soluzione

11 commenti

  1. Club dei Maghi

    ti dirò la verità: non ho scritto niente perchè non ho mai compreso l'utilità di questo paradosso, che come sai già conoscevo. Facendo il diagramma per il secondo caso si vede come l'auto non resti mai confinata all'interno del garage; l'escamotage della chiusura delle porte fa sì però che giocando sulla simultaneità, la porte passano aprirsi e chiudersi senza urtare l'auto, e dando quindi il'impressione che l'auto sia confinata all'interno delle porte,e quindi del garage. Penso che presto affronterai il paradosso nel caso in cui la porta posteriore del garage viene sostituita da una parte fissa. Quello lo vedo più logico, anche se devo dire dagli ultimi sviluppi, che vedo sempre meno logica nella relatività. So che Elio Fabri diceva che in fisica bisogna cambiare paradigma spesso, e non c'è niente che sia completamente applicabile ad ogni situazione. si applica quella cosa che va meglio per risolvere il problema. Io purtroppo ho un 'altra mentalità, che non dico certo sia giusta.

  2. Umberto

    Chiedo scusa, ero loggato come Club dei Maghi. Il commento sopra è mio

  3. L'utilità è enorme perché mostra in modo molto semplice la non simultaneità nella RR. Essa è proprio la base di tutto il resto! Essa porta al paradosso (in realtà tale solo per chi non ha compreso la RR) di una macchina chiusa solo in un caso. Il fenomeno fisico non è la macchina chiusa, ma la chiusura dei due portoni in entrambi i casi. Il fatto che la chiusura avvenga in tempi diversi non inficia il fenomeno fisico  e nemmeno la RR che ammette la non simultaneità tra i vari sistemi.

    La chiusura ermetica del portone posteriore porta alla versione più complicata, simile al paradosso dei gemelli, in quanto dimostra che la macchina sta chiusa in entrambi i sistemi, malgrado la non simultaneità. Siamo nel caso del bacherozzo e si deve introdurre l'urto e la trasmissione dei suoi effetti a tutta la macchina che in un sistema si sta ancora muovendo...

    Penso si possa farne a meno...

    Mi spiace, infine, contraddirti: la RR è perfettamente logica... tanto da aver portato alla legge universale e fondamentale E = mc2. Questi casi particolari sembrano illogici perché portano sempre a trattazioni che entrano nel cuore della fisica e delle forze, ossia nella RG.

    Forse era meglio mantenerci nell'ambito puramente didattico... ma... l'appetito vien mangiando (se poi faccio anche errori, buona notte!!!).

  4. Umberto

    non devi dispiacerti, ho detto solo una opinione, sapevo benissimo che non eri d'accordo. D'altronde mi sembra giusto dire le cose che si pensano, giuste ho sbagliata che siano, altrimenti..

  5. caro Umberto,

    noi siamo  uno dei pochi esempi in cui si discute e si collabora contestualmente. Senza discussioni non può nascere nessun miglioramento... Cerchiamo di sopravvivere il più a lungo possibile in questa oasi quasi assurda nel mondo d'oggi.  :wink:

  6. umberto

    chissà quando comincerò a capire qualcosa di più di queste cose..quanto alla logica mi riferivo al filo di ieri, non alla RR in generale. Comincio a pensare che Bell abbia detto quello che ha detto da esperto conoscitore della struttura della materia. Devo cioè abbandonare il mio modo di pensare

    ...

  7. fiore

     

    Paradosso dell'auto nel garage

    un garage ha lunghezza propria L e una macchina che si muove a velocità pari a γ=2 e lunghezza propria L

    Nel sistema di riferimento del garage l'auto è vista contratta alla lunghezza L/γ e quindi puo stare comodamente nel garage

    Nel sistema di riferimento dell'auto è il garage che si muove e quindi è la sua lunghezza che diminuisce per cui la macchina non potra stare tutta all'interno del garage

    Quindi analizzando la situazione in due diversi sistemi di riferimento ,arriviamo a una apparente contraddizione

    Il diagramma spaziotemporale mosrta chiaramente la sequenza degli eventi visti nei due sistemi di riferimento

    La figura mostra il diagramma spazio-tempo per il riferimento S quello del garage

    Sono mostrate le linee di universo della porta anteriore F e posteriore R del garage ,essi descrivono corpi a riposo a x=0 e x=L

    Sono pure mostrate  le linee di universo P e Q degli estremi della macchina, essi descrivono un corpo di lunghezza L/γ che si muove da sinistra a destra con velocità V

    I trattini sulle linee di universo delle porte del garage indicano che le porte sono chiuse , durante l'intervallo QF e PR entrambe le porte sono chiuse  e la macchina è dentro al garage.

    I quattro eventi di interesse del problema sono quelli in cui P e Q passano attraverso ciascuna porta PF,PR,QF e QR.

    Sul diagramma PF si trova all'intersezione delle linee di universo di P e di F e similmente per gli altri tre eventi,all'evento QF è stato arbitrariamente assegnato il tempo t=0

    Il diagramma mostra che l'ordine degli eventi nel sistema di riferimento del garage è il seguente

    1     PF (P il muso dell'auto passa attraverso la porta anteriore)

    2    QF (Q la coda dell'auto passa attraverso la porta anteriore)

    3    PR (P  passa attraverso la porta posteriore)

    4   QR (Q passa attraverso la porta posteriore)

    Questo ordine è consistente con l'affermazione dell'osservatore del garage che la macchina è più corta del garage.

    Durante l'intervallo fra gli eventi QF,quando la coda Q entra attraverso la porta posteriore ,e l'evento PR, quando il muso P esce dalla parte posteriore la macchina è interamente dentro il garage.

    La figura mostra il diagramma spazio-tempo per il sistema di riferimento S' della macchina.

    Sono mostrate le stesse quattro linee di universo, in questo riferimento la posizione di Q e di P sono costanti (x'=0 e x'=L) mentre le linee di universo di F e R descrivono un corpo di lunghezza L/γ che si muove da destra a sinistra con velocità V.

    L'ordine degli eventi in S' sono:

    1   PF

    2  PR

    3  QF

    4  QR

    La differenza più importante fra le due osservazioni è che l'ordine in cui avvengono PR e QF è invertito

    Secondo l'osservatore S' il muso della macchina esce dalla porta posteriore (evento PR)  prima che la coda della macchina entri dalla porta anteriore (evento QF) .

    Durante l'intervallo fra questi eventi ,quindi, la macchina esce sia dalla porta anteriore che da quella posteriore

    L'osservatore S' quindi a buon ragione può asserire ,contrariamente all'osservatore S, che la macchina non può mai essere tutta dentro il garage.

    Questa contraddizione costituisce il paradosso

    Supponiamo che la porta posteriore del garage sia chiusa e che la porta anteriore sia aperta (i trattini sulla linea di universo di una porta indicano che la porta è chiusa).

    Immediatamente dopo l'evento QF (appena dopo che la coda della macchina è passata attraverso la porta anteriore) , un osservatore fermo vicino ad essa la chiude.

    Appena prima dell'evento PR, quando P è sul punto di collidere con la porta posteriore u'altro osservatore stazionario con il garage la apre permettendo alla macchina di attraversarla.

    Secondo i due osservatori nel garage durante l'intervallo fra QF e PR entrambe le porte sono chiuse.

    L'osservatore nel sistema di riferimento della macchina non ne è convinto,

    Secondo lui l'evento PR avviene prima di QF; quindi la porta posteriore è stata aperta prima che la porta anteriore fosse chiusa.

    A nessun tempo nel diagramma spazio-tempo del sistema S' entrambe le porte sono chiuse.

    Al contrario, durante l'intervallo fra gli eventi PR e QF entrambe le porte sono aperte questo prova che la macchina è piu lunga ,in diretta contraddizione con le affermazioni del garage.

    Quale osservatore ha ragione?

    La chiave di soluzione del paradosso è  nella constatazione che la domanda ,La macchina è sempre completamente dentro al garage? è, in sostanza, una domanda circa la simultaneità si eventi separati.

    E' logicamente equivalente a chiedersi se esiste una copia di eventi E1 e E2 tale che

    (i)      all'evento E1 l'estremo P dell'auto è dentro al garage

    (ii)     all'evento E2 l'estremo Q è dentro al garage; e

    (iii)    E1 ed E2 sono simultanei

    se la risposta alla domanda è affermativa ,la macchina è più corta del garage.

    Se no la macchina è più lunga

    Nella relatività Galileiana, nella quale tempo e simultaneità sono assoluti, la domanda posta prima non ha una risposta definitiva, indipendentemente da qualsiasi sistema di riferimento.

    Una situazione come quella descritta sarebbe logicamente inaccettabile

    Nella relatività speciale,invece, la simultaneità non è assoluta quindi non dovremmo essere sorpresi che osservatori in due riferimenti diversi rispondano alla domanda in modi diversi.

    I due insieme di osservatori accordano comunque su un aspetto importante della storia; nessuna parta della macchina viene in contatto con entrambe le porte.

    Una tale occorrenza lascerebbe degli effetti rilevabili,in merito ai quali non potrebbe esserci disaccordo.

    Se una teoria prevede che l'osservatore in un riferimento vede la macchina schiantarsi contro la porta chiusa,mentre quello nell'altro riferimento la vede passare attraverso la stessa porta ,questo costituirebbe  una inaccettabile contraddizione.

    Come abbiamo visto, comunque,la relatività speciale non fa di così imbarazzanti previsioni.

    L'osservatore S' concorda che la macchina passa attraverso il garage anche se la macchina è più lunga del garage.

    Nella struttura della relatività speciale, allora, il risultato non è contraddittorio.

    I due insiemi di osservatori sono in disaccordo circa l'ordine temporale di certi eventi separati,ma tale disaccordo non è per niente nuovo; esso è una inevitabile conseguenza dei postulati di Einstein .

    La macchina è "realmente" completamente dentro il garage?

    Questa è semplicemente una domanda non legittima nella relatività Einsteiniana.

    Le descrizioni di due insiemi di osservatori sono ugualmente reali e ugualmente valide ciascuna nel proprio sistema di riferimento,

    Poichè non esiste nessun sistema di riferimento preferito ,non esiste una base oggettiva per attribuire più realtà a un osservatore piuttosto che ad un altro.

     

     

     

     

     

     

     

     

  8. caro Fiore,

    stasera non ho tempo, ma alla prima occhiata mi sembra la strada giusta... domattina mi impegno di più, te lo prometto  :-P

  9. Concordo in pieno con Fiore. Posso solo dire che si potrebbe sintetizzare il tutto con una sola figura (inserendo il sistema S' insieme a S), ma così è decisamente più didattica. Il fenomeno fisico non impone la simultaneità nella RR. :-D

  10. Fabrizio

    I diagrammi di Minkowski si estendono sulle 4 dimensioni. La realtà istantanea di un osservatore è una fetta a 3 dimensioni del diagramma, il suo piano di simultaneità. La realtà di ciascun osservatore muta perché il suo piano di simultaneità si sposta nel tempo.

    Il problema può essere affrontato disegnando due diagrammi. Uno per il riferimento dove il garage e fermo, l’altro per quello dove l’auto è ferma.

    In alternativa si può utilizzare un solo diagramma e vedere i piani di simultaneità dei diversi osservatori. Mi è sembrato più interessante utilizzare questa possibilità.

    Ciascun osservatore ha un suo piano di simultaneità che taglia diversamente il diagramma. La disposizione del piano di simultaneità di ciascun osservatore dipende dalla sua velocità.

    Le lunghezze degli oggetti e le relazioni temporali tra gli eventi per un osservatore dipendono da come il suo piano di simultaneità taglia il diagramma.

    Pappo ha giocato su questo per convincere Pippo che l’auto entrava nel garage. Ha scelto una velocità dell’auto per la quale auto e garage erano della stessa lunghezze e i due eventi di apertura delle porte erano simultanei nel piano di simultaneità di Pippo fermo di fronte al garage

    Riproduco la situazione in questa figura animata che finalmente sono riuscito a completare. Per comodità grafica ho sostituito l’apertura delle porte con l'accensione di un luce. Ho utilizzato il diagramma fatto in un riferimento che si muove con l’auto. Un risultato equivalente si otterrebbe nel diagramma fatto nel riferimento dove il garage è fermo. Il piano di simultaneità di Pippo in movimento determina ciò che è la sua realtà.

    Nella figura, a sinistra c’è il diagramma classico bidimensionale, a destra in basso la realtà nel piano di simultaneità dell’osservatore ed in alto un tentativo di aggiungere una dimensione per far vedere come il piano di simultaneità “affetta” la realtà estesa nello spazio-tempo del diagramma di Minkowski.

    Purtroppo per Pippo la simultaneità dei due eventi e l’uguaglianza delle due lunghezze avviene solo nel particolare piano di simultaneità nel quale si trovava. Quando sale in auto ora è il garage che gli viene incontro ed il suo piano di simultaneità è cambiato.

    L’auto raggiunge il fondo del garage prima che sia entrata tutta e quando è entrata tutta l’anteriore dell’auto è già uscito da garage. La lunghezza dell’auto è decisamente maggiore di quella del garage.

    Ho usato spesso la parola realtà che forse non è la più adatta, ma non ne ho trovato di meglio.

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