Lug 17

Quiz relativistico della macchina e del garage **

Siamo ormai d’estate e, come al solito, il numero di lettori diminuisce fisiologicamente. In queste condizioni, mi dispiace impostare argomenti nuovi che facilmente verrebbero persi, malgrado l’archivio e l’aiuto di Scherzy. Preferisco, perciò, dedicarmi al “ripasso” e appoggiarmi a quiz di diversa difficoltà, che sembrano essere sempre tra i più seguiti. I quiz mi stanno accompagnando nello studio dei giochi di prestigio della luce, che sembra farsi beffe sia della relatività ristretta sia della visione “normale” delle cose. Tuttavia, la relatività ristretta ne esce un po’ arrabbiata, per cui ho deciso di darle un contentino, riprendendo un paradosso abbastanza ben conosciuto che ha però dei risvolti più intriganti e complessi, normalmente evitati. Decisamente più semplice di quello del bacherozzo, ha, però, molti punti in comune...

Il quiz è un classico che si può trovare anche sulla rete. Chi già lo conosce e l’ha capito può evitare di descriverlo (ma può anche fare ciò che vuole, ovviamente) e pensare alla provocazione finale dell’articolo. Chi non lo conosce, ma ha capito la RR, può affrontarlo come esercizio estremamente didattico. Chi lo conosce o non lo conosce, ma non ha ancora capito la RR, è meglio che si dedichi alle molte pagine che ho scritto su di lei. Cercare di risolvere qualcosa senza averne capito le basi essenziali è estremamente dannoso e porta solo a una confusione che si estende facilmente anche ad altri lettori. Di fronte a certe teorie completamente e continuamente confermate, bisogna dare un freno alla propria fantasia creativa, soprattutto se priva di basi. Insomma, non vogliamo cadere nei rischi di certi forum in cui le verità si danno col contagocce e senza fornire i principi fondamentali.

Prima di iniziare, voglio ricordare che molti di questi paradossi sono nati proprio per “distruggere” la relatività ristretta e metterla di fronte a situazioni apparentemente incompatibili. Sappiamo bene, però, che questi tentativi sono tutti falliti…

La macchina e il garage

Pippo è ormai diventato maggiorenne e il papà gli regala un’automobile di seconda mano, piuttosto lunga (i modelli più ingombranti sono quelli che costano meno), ma impone al figlio di costruire da solo un garage per contenerla. Lo invita anche a inserire un portone sia da una parte che dall’altra, in modo da poter entrare da entrambe le direzioni (la famiglia vive in campagna e ha tanto terreno attorno).

Pippo ce la mette tutta, ma la geometria e la falegnameria non sono il suo forte. Concluso il lavoro, si accorge che  la macchina è più lunga del garage. Non di tanto, ma più che sufficiente per non potere chiudere entrambi i portoni. Pippo cade in una crisi profonda e non sa come risolvere la situazione.

macchinag

Alla fine chiede aiuto a Pappo, il vero genio di famiglia: chissà che non abbia costruito qualche marchingegno tale da poterlo aiutare?

Pappo ascolta con attenzione e poi dice a Pippo: “Non ti preoccupare… ti dimostro che il tuo garage è abbastanza lungo per contenere tranquillamente tutta la macchina”. Pappo invita Pippo a sistemarsi vicino al garage e ad aprire entrambi i portoni. Poi sale in macchina (anche se minorenne, sa già guidare benissimo) e traffica un poco con l’acceleratore. Dopo poco mette in moto l’automobile e si allontana di qualche centinaio di metri, per poi arrivare a velocità pazzesca, ma costante, verso il garage, proprio lungo la traiettoria che l’attraversa da portone a portone.

Pippo fatica a vedere cosa succede, ma gli sembra che, in realtà, la macchina sia sparita completamente, per un attimo, dentro il garage. Se fosse proprio così, sarebbe salvo!

Pippo, però, vuole essere proprio sicuro di ciò che gli è sembrato di vedere e chiede a Pappo che costruisca qualcosa che gli dimostri ciò che, in cuor suo, spera ardentemente. Pappo, ci pensa un attimo e poi trova la soluzione: inserisce dei sensori nei due portoni in modo tale che nel momento in cui una delle due estremità della macchina è all’interno del garage, vicinissima a un portone, questo si chiuda e si riapra immediatamente. Pippo può benissimo rendersi conto che in un certo istante entrambi i portoni si chiudono e si riaprono all’unisono. Proprio quello che sperava di vedere. Per maggiore chiarezza chiamiamo A il primo portone e B il secondo portone.

La macchina sta perfettamente dentro il garage e le sue due estremità si trovano entrambe internamente e vicine ai portoni (ad esempio, dieci centimetri dopo e dieci centimetri prima di A e B, rispettivamente). I sensori danno il segnale di chiusura e apertura in contemporanea! Ciò che succede all’atto della chiusura-apertura dei portoni (immaginatela istantanea) lo vediamo in Fig. 1.

Figura 1
Figura 1

Pippo abbraccia Pappo con calore e ammirazione, senza chiedersi nemmeno come si riuscito in quella magia. Pappo, che è sempre un po’ birbante, non avendo dimenticato come il fratello cercasse di prenderlo in giro quando era piccolo, non dice altro e se ne va sghignazzando.

A Pippo non resta che mettere in pratica quanto ha fatto Pappo. Si lancia anche lui a grandissima velocità costante verso il garage. Entra all’interno di esso e vede il portone B (che dista dieci centimetri) che si chiude e subito si riapre. Tuttavia, la situazione è ben diversa da prima! Infatti, la coda della macchina è decisamente ancora fuori del portone A e quest’ultimo non può certo chiudersi. Accidenti: la lunghezza della macchina è nettamente superiore a quella del garage (Fig. 2)… Quel maledetto Pappo l’ha preso in giro.

Figura 2
Figura 2

Pippo lo cerca dovunque e, finalmente, lo trova seduto tranquillo davanti al suo tavolo di lavoro (chissà che altra invenzione sta creando?!). E’ meglio non riportare le parole che Pippo scarica verso Pappo. Quando tutto si calma, Pappo prende la parola e cerca di spiegare a Pippo la teoria della relatività ristretta. Pippo lo segue attentamente, ma qualcosa non gli torna assolutamente: sarà tutto giusto, ma un certo fenomeno fisico deve rimanere identico in qualsiasi sistema di riferimento inerziale. In questo caso, invece, la macchina sta tutta dentro il garage per chi sta fermo, mentre è troppo lunga per chi sta sulla macchina.

La frase che Pippo rivolge a Pappo sembra distruggere quella strana teoria: “Caro Pappo, tu mi prendi in giro e la tua spiegazione è del tutto fasulla! In un caso riesco tranquillamente a chiudere entrambe le porte, anche se solo per un attimo, in modo che la macchina sia contenuta all’interno del garage. Nell’altro caso, riesco a chiudere solo il portone B, dato che la parte posteriore della macchina è decisamente ancora fuori dal portone A. Non posso sicuramente chiuderlo! Lo stesso fenomeno fisico dovrebbe, invece, accadere in entrambi i casi. Sarà meglio che butti giù tutto e ricominci da capo”.

Sicuramente la scelta di Pappo è quella giusta, dato che il garage deve contenere la macchina quando questa è ferma. In fondo, però, è abbastanza contento: dovrà rifare il lavoro, ma, almeno, ha smontato in pieno quella strana teoria del fratello.

Ma è proprio così?

Cercate di descrivere ciò che capita realmente e di dimostrare che la relatività ristretta funziona perfettamente! L’utilizzo grafico del diagramma di Minkowski è caldamente consigliato. Preferirei, però, non venissero inserite formule (sempre della trasformazione di Lorentz si tratterebbe) per cercare di ragionare solo sui concetti e renderli più chiari a tutti.

I più preparati capiranno che il paradosso si può facilmente ricondurre a quello del bacherozzo Come?  Provate a pensare alla connessione e sarà già un grande passo in avanti…

 

QUI la soluzione

3 commenti

  1. Umberto

    Mi spiace non poter partecipare a questi due quiz ma conosco questi due paradossi anche se sono poco noti. Potrei provare lo stesso a dire la mia con un diagramma di Minkoski come hai suggerito a Fabrizio ma penso che la tua soluzione sia di gran lunga più esauriente. Comunque per ora attendo.

     

  2. OK Umberto... magari attendi ancora un po'... grazie

  3. Forza! E' un'applicazione piuttosto semplice della RR... :-P

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