Apr 24

Quiz relativistico: esplosioni terrestri e solari ** (NEW: con piccolo aiuto)

Ormai le astronavi viaggiano tranquillamente nel Sistema Solare e la direzione Terra-Sole (e viceversa) è una rotta molto seguita. Ogni tanto può capitare di assistere a fenomeni non previsti. I problemi nascono quando si vuole calcolare l'intervallo di tempo tra di essi.

Le velocità raggiunte sono tali che possiamo considerare la Terra e il Sole senza moto relativo tra di loro. In altre parole, essi appartengono a un unico sistema di riferimento. Tra di loro vi è una distanza "fissa" di 8.3 minuti luce. A un certo istante t = 0  sulla Terra esplode un vulcano. Due minuti dopo (tempo terrestre) il Sole ha una violenta esplosione.

La domanda (doppia) è: "Qual è la differenza di tempo tra i due eventi per un osservatore di un'astronave che viaggi con una velocità pari a 0.8 quella della luce lungo la rotta che passa prima dalla Terra e poi dal Sole?  Qual è, invece, quella nel caso di un'astronave che viaggi nella direzione opposta con la stessa velocità?" 

Attenzione... cerchiamo di ragionare attentamente! Le domande potrebbero avere un seguito, molto istruttivo... La Relatività Ristretta non smette mai di sorprendere!

esplosion1

esplosion2

esplosion3

 

N.B.: Abbiamo chiesto la differenza di tempo tra due eventi in un sistema di riferimento in moto rispetto a quello Terra-Sole.

PICCOLO AIUTO:

Richiamiamo cosa s'intende per sistema di riferimento e per evento misurato in tale sistema di riferimento. Per preparare il sistema si devono usare righelli unitari e orologi sincronizzati, in modo da ottenere ciò che si vede nella figura che segue.

terrasole1

 

Immaginiamo che vi siano 4 astronavi (1,2,3,4) che si muovono solo nel tempo, ossia sono ferme spazialmente. All'istante t = 0, tutte le astronavi misurano lo stesso tempo. L'evento E1 (vulcano?) ha la stessa coordinata temporale per tutte le astronavi, mentre varia la sua coordinata spaziale. Stessa cosa capita per l'evento E2 (brillamento?). Tuttavia, per tutte le astronavi la differenza tra il tempo e la distanza spaziale dei due eventi è sempre uguale. Anche facendo muovere le astronavi (nel tempo), le differenze temporali e spaziali tra i due eventi non cambiano. In poche parole, tutte le astronavi concordano sulle differenze tra coordinate di due eventi.

Possiamo adesso considerare un altro tipo di evento: qundo e dove la luce di E1 incontra l'astronave 2. Chiamiamo questo evento E12. Aggiungiamo anche l'evento E22 che indica il luogo e il tempo in cui la luce di E2 incontra l'astronave 2. In altre parole, abbiamo indicato gli eventi relativi alla visione dei due eventi da parte dell'osservatore in 2. Se considerassimo l'astronave 3, i due eventi "visione degli eventi E1 ed E2" coiciderebbero sia spazialmente che temporalmente in E13=E23.

In conclusione: separiamo bene gli eventi tra di loro e cerchiamo di capire bene il sistema di riferimento. Ogni astronave descrive un evento secondo le sue coordinate (considerandosi come origine degli assi), ma le differenze tra coordinate rimangono sempre le stesse. L'origine degli assi è del tutto ininfluente per valutare le differenze temporali e spaziali tra eventi diversi.

Nel problemino sottoposto stiamo parlando di due eventi E1 ed E2 e non di eventi tipo E12 o E23, ecc. L'unica vera differenza è che vogliamo calcolare le coordinate degli eventi così deffiniti in un altro sistema di riferimento inerziale che si muove relativisticamente rispetto al primo. Tutto qui...

Le cose più interessanti potremo vederle e discuterle successivamente...

 

QUI la soluzione

42 commenti

  1. Nota Bene

    Temo che il problema sia stato mal compreso... Nel sistema spaziotemporale Terra-Sole vi è una certa differenza temporale e spaziale tra due eventi. Noi abbiamo chiesto la differenza di tempo tra gli stessi due eventi  in un sistema di riferimento in moto rispetto a quello Terra-Sole.

  2. Questo piccolo aiuto è stato anche inserito nel testo del quiz...

    PICCOLO AIUTO:

    Richiamiamo cosa s'intende per sistema di riferimento e per evento misurato in tale sistema di riferimento. Per preparare il sistema si devono usare righelli unitari e orologi sincronizzati, in modo da ottenere ciò che si vede nella figura che segue.

    terrasole1

     

    Immaginiamo che vi siano 4 astronavi (1,2,3,4) che si muovono solo nel tempo, ossia sono ferme spazialmente. All'istante t = 0, tutte le astronavi misurano lo stesso tempo. L'evento E1 (vulcano?) ha la stessa coordinata temporale per tutte le astronavi, mentre varia la sua coordinata spaziale. Stessa cosa capita per l'evento E2 (brillamento?). Tuttavia, per tutte le astronavi la differenza tra il tempo e la distanza spaziale dei due eventi è sempre uguale. Anche facendo muovere le astronavi (nel tempo), le differenze temporali e spaziali tra i due eventi non cambiano. In poche parole, tutte le astronavi concordano sulle differenze tra coordinate di due eventi.

    Possiamo adesso considerare un altro tipo di evento: qundo e dove la luce di E1 incontra l'astronave 2. Chiamiamo questo evento E12. Aggiungiamo anche l'evento E22 che indica il luogo e il tempo in cui la luce di E2 incontra l'astronave 2. In altre parole, abbiamo indicato gli eventi relativi alla visione dei due eventi da parte dell'osservatore in 2. Se considerassimo l'astronave 3, i due eventi "visione degli eventi E1 ed E2" coiciderebbero sia spazialmente che temporalmente in E13=E23.

    In conclusione: separiamo bene gli eventi tra di loro e cerchiamo di capire bene il sistema di riferimento. Ogni astronave descrive un evento secondo le sue coordinate (considerandosi come origine degli assi), ma le differenze tra coordinate rimangono sempre le stesse. L'origine degli assi è del tutto ininfluente per valutare le differenze temporali e spaziali tra eventi diversi.

    Nel problemino sottoposto stiamo parlando di due eventi E1 ed E2 e non di eventi tipo E12 o E23, ecc. L'unica vera differenza è che vogliamo calcolare le coordinate degli eventi così deffiniti in un altro sistema di riferimento inerziale che si muove relativisticamente rispetto al primo. Tutto qui...

    Le cose più interessanti potremo vederle e discuterle successivamente...

  3. Maurizio Bernardi

    Visto il silenzio-assenso che circonda questo quiz, arrischio la mia interpretazione....

    Innanzi tutto non credo che si voglia discutere sul fatto che si veda prima l'eruzione e poi il brillamento o viceversa, a seconda della posizione o a seconda della direzione del moto. Questo forse non ci interessa.

    Quello che si chiede è come si modifica l'intervallo di tempo tra i due eventi visto dalle astronavi.

    Ebbene , dato che tra due sistemi in moto relativo, a velocità comparabili a quella della luce, esiste una precisa relazione per quanto riguarda la percezione del tempo, direi che dalle astronavi, che si muovono entrambe alla velocità di  0,8 C , lungo la direttrice terra sole ( una in un senso, l'altra nel senso opposto) l'intervallo di tempo viene percepito dilatato del fattore di Lorentz (gamma) che a quella velocità vale 1,66666.

    Gamma = 1/ radq(1-(v/c)^2)

    Se sbaglio mi corriggerete...

     

  4. caro Mau... temevo un poco questo tipo di risposta. Pensaci bene... dilatazione del tempo e contrazione delle lunghezze sono due casi particolari nella trasformazione di coordinate. Nel caso del tempo,  vale solo se gli eventi non hanno distanza  tra di loro nel sistema in cui sono definiti (t,x). (Per chi è nel sistema a terra non vi è stato spostamento spaziale tra i due eventi, ma solo temporale...). Nel nostro caso non è così. Il fattore gamma compare ma in un ambito più generale. L'importante è seguire passo passo la trasformazione di Lorentz, come fosse una trasformazione di coordinate qualsiasi. Se due eventi capitano nel sistema fermo, essi avranno un delta t per il treno e un delta t per l'ossevatore a terra, ma i due eventi NON hanno, nel caso del quiz, un delta x uguale a zero per il sistema fermo. Basta fare una bella figura minkowskiana e il tutto si vede molto bene... Ricordiamo anche che i due eventi non sono assolutamente collegati causalmente tra di loro e nessuno vuole viaggiare tra uno e l'altro, ma solo determinarne le coordinate.

    Per adesso ci interessano gli eventi "esplosione"... gli eventi "vedere le esplosioni" è un problma aggiuntivo, da capire molto bene...

    Resto un po' nel confuso, ma se dico di più, risolvo il quiz... Al limite potrei fare una figura "muta" con le linee, ma senza spiegare cosa sono i vari punti e via dicendo... ma aspetto ancora un po'.

    In particolare: il problema è decisamente più semplice di quello che può sembrare... è solo un cambiamento di coordinate e basta!

     

  5. Aggiunta:

    guardatevi bene la Fig. 32 de

    http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2015/10/01/lo-spaziotempo-di-minkowski-luniverso-in-un-foglio/

    e capirete che la dilatazione del tempo è un caso particolare del problema più generale della trasformazione di coordinate di due eventi in due sistemi di riferimento (uno in moto rispetto all'altro).

  6. Paolo

    Caro Enzo, ieri sera ho finalmente avuto il tempo di provare a trovare la soluzione usando il diagramma di Minkowski:

    https://postimg.cc/image/hewq3r1p1/

    Nella figura che ho realizzato ho disegnato solo gli assi del tempo (t per il sistema terricolo, t’ per l’astronave che dalla Terra va verso il Sole, t’’ per l’astronave che dal Sole va verso la Terra), le linee di simultaneità per le due diverse rotte, corrispondenti agli eventi A (vulcano che esplode sulla Terra) e B (eruzione solare).

    Se la figura è corretta questo potrebbe essere un possibile colloquio che confronta i diversi punti di vista:

    Terricolo: i nostri strumenti indicano chiaramente che prima il vulcano ha eruttato e dopo 2 minuti c’è stata l’eruzione solare.

    Comandante dell’astronave in rotta dalla Terra verso il Sole: i nostri strumenti (sistema di riferimento t’) indicano chiaramente che prima c’è stata un’eruzione solare e dopo circa 7,8 minuti è esploso un vulcano sulla Terra.

    Comandante dell’astronave in rotta dal Sole verso la Terra: i nostri strumenti (sistema riferimento t’’) indicano chiaramente che prima è eruttato il vulcano sulla Terra e dopo circa 14,34 minuti c’è stata un esplosione sul Sole.

    I tempi sono stati ricavati graficamente, per cui sono approssimativi…

    Volendo, però, si possono ricavare in maniera più accurata attraverso le trasformazioni di Lorentz  (ovvero con una trasformazione di coordinate):

    t’ = (t - βX) γ

    t’b = (tb - βXb) γ = (2 – (0,8 x 8,3)) 1,666 = -7,73 minuti

    t’a = (ta - βXa) γ = (0 – (0,8 x 0)) 1,666 = 0 minuti

    ∆T’ = (t’b – t’a) =  (-7,73 - 0) = - 7,73 minuti  (il segno meno indica solo che gli eventi A e B vengono visti “invertiti” rispetto al terricolo)

    Nel caso dell’astronave in rotta dal Sole verso la Terra, cambia il segno della velocità (β)

    t’’b = (tb + βXb) γ = (2 + (0,8 x 8,3)) 1,666 = 14,39 minuti

    t’’a = (ta + βXa) γ = (0 + (0,8 x 0)) 1,666 = 0  minuti

    ∆T’’ = 0 – 14,39 = 14,39 minuti

    Spero sia corretto! :roll:

    Paolo

  7. Umberto

    Se bisogna usare le trasformazioni di Lorentz così come sono state trattate, c'è solo un modo per usarle, ovvero di dove posizionare al tempo t=o l'astronave e il suo sistema di riferimento. E il tutto si riduce a a un calcolo semplice, come dici. Pur intuendo che è vero, ma è proprio banale il fatto che la differenza dei tempi non dipenda dalla posizione relativa dell'astronave? Nell'aiuto inserito tu lo hai dimostrato per le astronavi ferme assieme agli eventi, ma nell'altro coso mi sembra un po' differente la questione.Per quanto riguarda la seconda parte, quello della visione, ho provato a fare i calcoli, ma la differenza di tempi non mi viene indipendente dalla posizione dell'astronave.Penso di aver sbagliato qualcosa.

  8. caro Umberto,

    io, per adesso, ho chiesto solo la differenza degli eventi E1 ed E2, non della loro visione. Per gli eventi richiesti non cambia mai la differenza di tempo. Quindi puoi calcolarla tranquillamente nei due casi (v e -v)... la soluzione è, come dici tu, veramente banale ma fa capire bene una situazione più generale che si potrà discutere...

    caro Paolino,

    non dico ancora niente sulla risposta numerica. Posso solo dire che la figura potrebbe essere resa un po' più didattica disegnando proprio i due sistemi di riferimento e qualche linea in più... (tu mi capisci...). Almeno io la penso così, dato che una figura più completa darebbe il via a una serie di chiarimenti e piccole discussioni. Oltretutto, i conti espressi nella figura non sono chiarissimi... (pensiamo a chi deve leggerli e capirli...).

     

  9. umberto

    ho parlato di visione solo perché l avevi citata in uno degli ultimi commenti. Del resto ritengo questo problema più interessante del primo.

  10. ovviamente sì, caro Umberto... ma è per partire dalle cose più facili per cercare di non ... spaventare. Ma sembra che non sia così facile per molti... Lorentz è proprio la base!

  11. Fabrizio

    Nel riferimento dell'astronave i diagrammi dovrebbero essere questi per l'astronave che va dalla sole alla terra, il primo, e dalla terra al sole, il secondo.

    Qui ho fatto passare l'astronave sopra la terra nel momento dell'eruzione. Se passase in qualche altro istante i diagrammi sarebbero solo traslati senza modifiche delle differenze dei tempi. Le distanze indicate sono quelle calcolate per i diagrammi di Minkowski.

    Per il calcolo numerico può convenire utilizzare direttamente le trasformazioni di Lorentz.

    Per ottenere l'intervallo di tempo in un riferimento, noti intervalli di tempo e distanze in un altro, la trasformazione è:

    \Delta T=\frac{\Delta t-v \Delta x }{\sqrt{1-v^2}}

    in minuscolo intervalli tra gli eventi nel riferimento terra-sole ed  in maiuscolo quelli nel riferimento astronave. La velocità v è quella dell'astronave nel sistema di riferimento terra-sole. Nel sistema di riferimento dell'astronave la velocità della terra e del sole sono -v.

    I valori a destra sono noti

    \Delta x=8,3\; \; \; \; \Delta t=2 \; \; \; \; v=\mp 0,8  che messi nella trasformazione sopra danno

    \Delta T=14,4 per il diagramma a sinistra (astronave che va dal sole alla terra)

    \Delta T\simeq -7,73 per il diagramma a destra (astronave che va dalla terra al sole)

    In quest'ultimo caso, per il riferimento dell'astronave avviene prima E2 e poi E1.

    Volendolo calcolare a partire dai diagrammi si vede che contribuiscono a  \Delta T 2 intervalli, quello corrispondente all'intervallo spaziale di lunghezza 8,3 (distanza terra-sole in unità relativistiche nel riferimento terra-sole) e quello corrispondente all'intervallo temporale 2 (intervallo temporale tra i due eventi nel riferimento terra-sole). Per il modo con il quale vengono calcolate le distanze temporali nei diagrammi di Minkowski i due contributi dovrebbero essere:

    -\frac{8,3\;v}{\sqrt{1-v^2}}+\frac{2}{\sqrt{1-v^2}}    (v è la velocità dell'astronave nel riferimento terra-sole)

     

     

  12. Paolo

    Caro Enzo, per la figura fino a stasera non ho a disposizione photoshop, per fare qualche aggiunta o modifica.

    Posso, invece, provare a spiegare i calcoli riportati in figura.

    Innanzitutto, alla velocità di 0,8 c corrisponde un fattore di 1/γ = 0,6

    L’intervallo di tempo che separa i due eventi (a e B) secondo il sistema di riferimento terricolo, è pari a 2 minuti.

    Per trovare l’intervallo di tempo ∆t’ che separa i due eventi (A e B) secondo il sistema di riferimento blu (astronave in rotta dalla Terra al Sole), ho tracciato la linea di simultaneità (linea parallela all’asse x’, non indicato in figura) che congiunge l’evento B (eruzione solare) all’asse t’.

    Per l’evento A, non ce n’è stato bisogno, dato che questo interseca direttamente l’asse t’.

    Invece di indicare le unità di misura sull’asse t’, ho usato la relazione che lega il tempo t’ al tempo terricolo t, ossia:

    ∆t’ = ∆t/γ

    L’evento A, secondo il sistema terricolo, interseca l’asse t’ al tempo ta =0.

    La linea di simultaneità dell’astronave blu, unisce l’evento B all’asse t’, al tempo t1 = -13.

    Ciò significa che il punto di intersezione con l’asse t’, indica quando avviene l’evento B secondo l’astronave blu.

    Tale evento per il sistema di riferimento t’, avviene prima dell’evento A, ossia per l’astronave in rotta dalla Terra al Sole, prima c’è l’eruzione solare, poi c’è l’eruzione del vulcano.

    L’intervallo di tempo ∆t’ trascorso tra i due eventi è quello che separa sull’asse t’ l’evento A, dall’intersezione tra la linea di simultaneità blu che parte dall’evento B e l’asse t’.

    Invece di indicare le unità di misura sull’asse t’, mi sono limitato ad eseguire una semplice trasformazione, usando i tempi t corrispondenti ad A (ta) e all’intersezione tra B e l’asse t’ (t1), visti dal sistema terricolo (le linee tratteggiate nere sono le linee di simultaneità per il sistema terricolo).

    Quindi:

    ∆t’ = ∆t/γ = (ta – t1)/γ = (0 – (-13)) 1/γ = 13 x 0,6 = 7,8 minuti

    Se avessi tracciato le unità di misura sull’asse t’, avrei ottenuto lo stesso risultato, d’altronde quando t =1 la linea di simultaneità terricola interseca l’asse t’ quando questo segna 1/γ, ossia t’= 0,6 (dilatazione del tempo).

    Per trovare l’intervallo di tempo ∆t’’ che separa i due eventi secondo il sistema di riferimento rosso (astronave in rotta dal Sole verso la Terra), ho tracciato le linee di simultaneità (linee parallele all’asse x’’, non indicato in figura) che congiungono rispettivamente l’evento A (eruzione vulcano) e l’evento B (eruzione solare) all’asse t’’.

    Anche in questo caso per trovare l’intervallo di tempo ∆t’’ che separa le due intersezioni tra le linee di simultaneità degli eventi A e B e l’asse t’’, ho usato i tempi corrispettivi segnati dal sistema terricolo, con le sue linee di simultaneità.

    All’intersezione tra l’evento A e l’asse t’’, corrisponde il tempo terricolo t2 = -18,4 (vedi linea tratteggiata nera di simultaneità terricola), mentre all’intersezione tra l’evento B e l’asse t’’ corrisponde il tempo terricolo t3 = 5,5 (vedi linea tratteggiata nera di simultaneità terricola).

    Quindi, come prima:

    ∆t’’ = ∆t/γ = (t3 – t2)/γ = (5,5 – (-18,4)) 1/γ = 23,9 x 0,6 = 14,34 minuti

    Spero, che così il metodo usato sia più chiaro.

    Paolo

  13. umberto

    se consideriamo la terra come origine x del sistema terra sole e lo scoppio al tempo t=0 dello stesso sistema e se prendiamo l astronave che passa per la terra al tempo t=0 basta applicare la formula per i tempi ottenendo -464 che mi sembra in secondi lo stesso tempo di Paolo. Chiaramente se un tempo é zero per trovare la differenza basta trovare il secondo.Nel sistema terra il secondo ha coordinate 120,498. Nel sistema astronave t'=5/3 (120-0.8*498)=-464.Analogamente si procede bel secondo caso.

     

  14. maurizio bernardi

    Il testo del quiz afferma che la direzione terra sole e viceversa è una rotta molto seguita.  Mi sarei aspettato una figura un po' diversa, con ambedue le astronavi collocate all'interno dello spazio tra terra e sole, l'una diretta verso la terra e l'altra diretta verso il sole.

    Ponendo l'astronave che si allontana dal sole all'esterno di questo spazio, il suo movimento risulta comunque in allontanamento anche dalla la terra. Questo particolare non dovrebbe modificare i calcoli visti fino ad ora, in relazione a come la dislocazione nel tempo e nello spazio determina , per i sistemi in movimento, una diversa valutazione dell'intervallo di tempo tra i due eventi del tipo E1 ed E2  ma credo faccia differenza quando si andrà a valutare gli altri eventi, di tipo E12 o E23, nella seconda parte.

     

     

  15. caro Mau,

    come dici tu, nel caso degli eventi E1 ed E2 non ha alcuna importanza se la rotta passa proprio dalla Terra e dal Sole... conta solo che sia parallela a questa direzione e sia percorsa a pari velocità. Non ha neanche importanza quando capitano i due eventi: l'importante è la loro differenza temporale. Ovviamente, ciò non vale più se consideriamo gli eventi "esplosioni viste dall'astronave".

    Limitiamoci, però, al primo caso e facciamo delle belle figure per far capire bene la situazione e per dimostrare l'indipendenza dei delta x e delta t rispetto alla reale traiettoria e al tempo del primo evento. Sono cose banali, ma è il modo migliore per fare amicizia con la RR  e con la rappressentazione di Minkowski.

    Comunque, nella figura che sto mettendo a punto considero proprio la traiettoria Terra-Sole e Sole-Terra...

  16. Maurizio Bernardi

    Ma se sulla terra il brillamento viene visto due minuti dopo l'eruzione questo non sta a significare che è avvenuto  6,3 minuti prima dell'eruzione?  Ossia il brillamento è avvenuto ad un certo istante e la sua immagine ha raggiunto la terra 8,3 minuti dopo, quando l'eruzione si era già verificata da 2 minuti.

    Insomma il  "delta t"  nel sistema terra-sole  vale  6,3 minuti oppure vale 2 minuti (considerando l'istante in cui la luce del brillamento arriva alla terra)?

  17. Fabrizio

    Aggiungo questo diagramma per provare a descrivere meglio l’ultima parte della mia risposta precedente.

    Il diagramma è nel riferimento dell’astronave.

    X e T (maiuscole) sono le coordinate nel riferimento dell’astronave, mentre x e t (minuscole) sono le coordinate nel riferimento Terra-Sole.

    {{\color{DarkGreen} \Delta T}} è l’intervallo di tempo che cerchiamo.

    Dal diagramma si vede che è la somma di due addendi \Delta T=\Delta T_1+\Delta T_2

    Terra e Sole si muovano a velocità u rispetto all’astronave. Questa velocità è uguale e contraria alla velocità v dell’astronave nel riferimento Terra-Sole (u=-v). Le linee blu e gialla rappresentano il movimento della Terra e del Sole in questo riferimento. Lungo queste linee vale questa relazione \Delta X=u\;\Delta T

    E1 rappresenta l’evento eruzione. Si trova sulla terra, quindi sulla linea blu. L’ho messo nell’origine del rifermento astronave (X=0,T=0). Scelta comoda che non influisce sul risultato di questo quiz come ha spiegato Enzo.

    E1s rappresenta l’evento localizzato sul Sole e simultaneo ad E1 nel riferimento Terra_Sole. Si trova sulla linea grigia che passa per E1.

    La linea grigia è la retta che congiunge gli eventi simultanei ad E1 nel sistema di riferimento Terra-Sole. Su questa linea vale la relazione \Delta X=\Delta T/u

    La distanza relativistica totale tra E1s ed E1 coincide con la distanza spaziale dei due eventi nel sistema di riferimento Terra-Sole (\Delta x_1=8,3 minuti in unità relativistiche). La distanza temporale non contribuisce alla distanza totale poiché è nulla in questo riferimento essendo gli eventi simultanei.

    La distanza relativistica totale tra E1s ed E1 nel sistema di riferimento astronave è \sqrt{\Delta X_1^2-\Delta T_1^2}=\sqrt {\left ( \frac{\Delta T_1} {u} \right )^2-\Delta T_1^2}=\Delta T_1 \frac{\sqrt{1-u^2}}{u}

    Ho utilizzato la relazione \Delta X=\Delta T/u  che esiste tra i punti della linea grigia.

    Cambiando sistema di riferimento cambiano intervalli temporali e distanze spaziali tra gli eventi, ma la distanza relativistica non varia. Quindi deve valere questa relazione

    \Delta T_1 \frac{\sqrt{1-u^2}}{u}=\Delta x_1=8,3

    dalla quale è possibile ricavare

    \Delta T_1= \Delta x_1\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}=8,3\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}=-8,3\frac{v}{\sqrt{1-v^2}}

    che una delle due parti di {{\color{DarkGreen} \Delta T}}.

    E2 rappresenta l’evento esplosione sul Sole. La distanza relativistica totale tra E2 ed E1s coincide con la distanza temporale tra i due eventi nel sistema di riferimento Terra-Sole (\Delta t_2=2 minuti ). La loro distanza spaziale è nulla essendo entrambi collocati sul Sole.

    La distanza relativistica totale tra E2 ed E1s nel sistema di riferimento astronave è

    \sqrt{\Delta T_2^2-\Delta X_2^2}=\sqrt {{\Delta T_2}^2-\left ( u\;\Delta T_2 \right )^2}=\Delta T_2 \sqrt{1-u^2}

    Ho usato la relazione \Delta X=u\;\Delta T che esiste tra i punti della linea gialla.

    Per il fatto che la distanza relativistica totale non varia cambiando sistema di riferimento deve valere questa relazione

    \Delta T_2 \sqrt{1-u^2}=\Delta t_2=2

    dalla quale è possibile ricavare \Delta T_2=\frac{\Delta t_2}{\sqrt{1-u^2}}=\frac{2}{\sqrt{1-u^2}}=\frac{2}{\sqrt{1-v^2}}

    Quindi \Delta T=\Delta T_1+\Delta T_2=-8,3\frac{v}{\sqrt{1-v^2}}+\frac{2}{\sqrt{1-v^2}}  che è l'espressione finale della risposta precedente e coincide con una delle trasformazioni di Lorentz.

  18. Umberto

    Ho provato a disegnare due astronavi con origini diverse,O',O'' e il sistema terra-sole di origine O ,  nel primo caso.il segmento giallo e quello verde che rappresentano la differenza di tempo dei due eventi E1 E2 nei rispettivi sistemi sono effettivamente uguali. Quello che si forma delimitato dai pallini rossi è infatti un parallelogramma. Quindi è indipendente dalla posizione iniziale dell'astronave.

     

  19. caro Fabry,

    mi sa che sei stato troppo "simmetrico" nel riportare i  due eventi... Almeno io capisco così la tua figura...

    pensaci un po' sopra... :-|

  20. caro Fabry,

    io mi riferivo alla tua prima figura...

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