10/05/18

Derivate, polinomi e cicloidi... a noi basta un quadrato* (con soluzione)

I quiz vanno per la maggiore, ma sono, quasi sempre, campo di battaglia dei maghi e dei più esperti. Divertiamoci allora con un quadrato e rispondiamo usando solo un minimo di riflessione, senza formule o varie complicazioni...

Prendiamo un quadrato ABCD. Segniamo il punto medio M del lato AB. Congiungiamo A con C e D con M. Abbiamo ottenuto il triangolo DOC. Senza fare nessun calcolo* sapete dirmi quanto vale la sua area rispetto a quella del quadrato di partenza?

Usate il metodo che preferite, ma cercate anche quello più rapido ed "elegante"...

Cari maghi e maghetti, state zitti e vediamo se si muovono anche gli apprendisti stregoni...

quadrato_tri

(*) basta saper sommare e/o sottrarre numeri frazionari e conoscere alcune regole di base della geometria, oltre che l'area del quadrato e del triangolo

 

 

 

SOLUZIONE

La soluzione è già stata riportata nei commenti di Leandro e di Arturo, con diverse variazioni sul tema. Di seguito trovate la versione più "elementare":

 

I triangoli AMO e ODC sono simili, dato che hanno i tre angoli uguali. Non solo, però... DC è doppio di AM, da cui segue che anche le altzze relative a queste basi devono stare nello stesso rapporto. L'altezza di ODC è doppia di quella di AMO. La loro somma è però uguale al lato del quadrato l, da cui segue che l'altezza di ODC vale 2/3 l. La base è proprio DC = l, per cui l'area cercata vale:

AODC = l· (2/3) l/2 = 1/3 l2

L'area del triangolo è, perciò, 1/3 dell'area del quadrato!

17 commenti

  1. leandro

    un terzo

  2. Daniela e Arturo mi hanno già dato la soluzione in via personale per non influenzare i lettori... Forza, allora, non è assolutamente difficile!!!!!

  3. leandro

    speravo che qualcuno si facesse vivo....

    AMO è simile a DOC
    (angoli AOM e DOC opposti al vertice e MAO e DOC alterni interni di parallele)

    DC=1 e AM = 1/2 implica altezza AMO = 1/2 altezza DOC.
    Poiché le due altezze sommate valgono 1, l'altezza di DOC vale 2/3.

    L'area di DOC è quindi 1/2 * 2/3 = 1/3 .

  4. Arturo Lorenzo

    Il bello di questi quiz è che stimolano, una volta trovata agevolmente la soluzione, a cercarne di alternative, ove possibile. Per esempio, cosa succede se uno non conosce i criteri di similitudine dei triangoli ? Il quiz è ancora risolvibile ?

    Io ho seguito questa strada.

    Con riferimento alla figura di partenza del quiz, mando da B una parallela al segmento DM. Ottengo la seguente figura:

    I triangoli verde (di partenza) e azzurro sono sicuramente tra loro congruenti. Basta capovolgere la figura ottenendo la stessa figura di partenza (salvo i colori). Se allora verificassi che la somma dei restanti due triangoli rosa ha area uguale a quella di uno dei due triangoli sopra considerati (il verde e l'azzurro), allora dovrei concludere che l'area di ciascuno dei triangoli maggiori è pari proprio a 1/3 dell'area del quadrato di partenza. Mi concentro allora sul rettangolo AMND. Tale rettangolo ha base pari a metà altezza, per costruzione. Se ora immagino di spostare il vertice in alto a destra (M) di tale rettangolo lungo la sua diagonale DM, otterrò rettangoli in cui si conserva il rapporto tra base e altezza. E' come scalare il rettangolo AMND facendo centro in D. Allora, anche nel rettangolo JOPD la base JO è metà dell'altezza OP. Ma JO posso guardarla come l'altezza del triangolo rosa DAO rispetto alla base DA. E OP posso guardarla come l'altezza del triangolo DOC rispetto alla base DC. Quindi devo concludere che, il triangolo DAO, avendo la stessa base di DOC, ha area pari alla metà di quest'ultimo. Essendo a questo punto due i triangoli rosa e sicuramente uguali tra loro per costruzione, se ne deduce che la somma delle loro aree è pari all'area del triangolo verde di partenza. In definitiva, risultando il quadrato diviso in tre parti tra loro congruenti (triangolo verde, triangolo azzurro e due triangoli rosa la cui somma è pari uno dei triangoli anzidetti) , l'area del triangolo verde non può che essere pari a 1/3 dell'area del quadrato.

    Se nella "scalatura" dei rettangoli ci vogliamo comunque vedere una similitudine tra triangoli, avrei un'altra soluzione....

     

  5. vai pure... la geometria è sempre affascinante... e piena di risvolti inattesi!!! :-P

    La soluzione di Leandro è, ovviamente, quella "canonica" e più immediata... ma si accettano altri contributi!!!

  6. Arturo Lorenzo

    In questa soluzione alternativa è richiesto l'uso di un compasso.

    Parto dalla figura del quiz. Faccio centro in A e traccio la circonferenza di raggio AO. Poi , con la stessa apertura del compasso, faccio centro in O e traccio al circonferenza trovando il punto H di intersezione con la diagonale AC, e infine faccio centro in H e traccio al circonferenza. Ottengo la seguente figura:

    Mi accorgo che AO=OH=HC. Considero allora i tre triangoliDAO, DOH e DHC. Questi hanno basi congruenti (AO=OH=HC) e proprio la stessa altezza (il segmento tratteggiato in figura). Quindi hanno la stessa area. Ma poiché sommati mi danno metà quadrato, deduco che ciascuno di essi ha area pari a 1/3 di metà quadrato, cioè 1/6 di quadrato. Poiché il triangolo verde (di partenza) è dato dalla somma di DOH e DHC, la sua area sarà pari a 2/6 di quadrato, cioè 1/3 di quadrato. Anche stavolta chi non conosce i criteri di similitudine dei triangoli è salvo :-)

    P.S.: ora che ci penso, si può anche fare a meno del compasso, a patto di conoscere il teorema di Talete. Basta la parallela per B al segmento DO vista prima. In questo caso Talete ci assicura che i 3 segmenti AO, OH e HC sono congruenti ;-)

     

  7. Sì, ma in pratica si sfrutta la similitudine tra i triangoli BHA e MOA... o sbaglio?

  8. Arturo Lorenzo

    No. Con riferimento alla prima figura che ho allegato, il triangolo BHA (azzurro) è uguale al triangolo DOC (verde) . Potrei dimostrarlo velocemente con i criteri di congruenza, ma così avrei mancato l'obiettivo, nel senso che mi sembrerebbe un raggiro evitare i criteri di similitudine per ritrovarmi quelli di congruenza. I due suddetti triangoli sono uguali proprio per costruzione e per la simmetria del quadrato. Se capovolgo la figura ottengo lo stesso disegno (salvo i colori).

  9. Sì, ma chi ti dice che O è il punto di mezzo tra A e H ? Tu sai solo che AO = HC... ma come dimostrare che AO = AH ?

  10. Arturo Lorenzo

    Se ti riferisci alla prima figura, non è necessario sapere che AO=OH. I due triangoli verde e azzurro sono uguali per quello che ho scritto prima.

    Se ti riferisci alla seconda figura, se uso il compasso AO=OH perché le circonferenze tracciate con la stessa apertura passano da O e da H. Se invece uso le rette parallele (BH parallela a DO), me lo dice Talete (rette MD e BH tagliate dalle trasversali AB e AH).

  11. Ho capito... usi la proporzionalità tra segmenti...  OK!

  12. Andy

    A mio modesto avviso, il metodo più immediato per la determinazione dell’area del triangolo DOC è quella che utilizza la similitudine tra i triangoli DOC e AOM. Considerando il punto M come un punto mobile, quello che comanda è il rapporto tra il lato del quadrato e la frazione di esso determinato dalla posizione di M sul lato opposto:
    AM = DC / x => DC / AM = x
    Ponendo il lato del quadrato pari ad 1 unità di misura e chiamando con h1 l’altezza del triangolo di “sotto” (DOC) e h2 quella del triangolo di “sopra” (AOM), si può scrivere:
    h1 / h2 = x
    h1 + h2 = 1
    e risolvendo il sistemino
    h1 = x / (1 + x)
    h2 = 1 / (1 + x)
    per cui:
    Area(DOC) = (1 / 2) * 1 * h1
    Area(AOM) = (1 / 2) * (1 / x) * h2
    Nel caso in questione, DC / AM = 2           =>         x = 2
    h1 = 2 / (1 + 2) = 2 / 3
    h2 = 1 / (1 + 2) = 1 / 3
    Area(DOC) = (1 / 2) * 1 *( 2 / 3) = 1 / 3
    Area(AOM) = (1 / 2) * (1 / 2) * (1 / 3) = 1 / 12
    È interessante notare ciò che avviene nei casi limite:
    Per M → A,  AM tende a dimensione lineare infinitesima,
    DC / AM → ∞
    h1 → 1
    h2 → 0
    DOC → DAC → 1 / 2 superficie del quadrato
    AOM → a dimensione di superficie infinitesima.
    Per M ≡ B, DC / AM = 1        =>   x = 1
    h1 = h2 = 1 / 2
    DOC = AOM = 1 / 4 di superficie del quadrato

  13. sempre preciso e generale il nostro Andy!!!

    Sto per pubblicare pane per i tuoi denti!!!!

  14. leandro

    Arrivo in ritardo causa caduta rete. Se non vi piaccione le similitudini ecco una soluzione "pura"

    area DTC è 1/4 del quadrato.
    Dato M' punto medio di AM e T' punto medio di MB  ==>  OT = 1/2 AO in quanto proporzionali a MT' e AM,

    quindi
    considera i triangoli ATD e OTD
    le loro altezze sono AT e OT
    la base comune è DT
    ma AT = 3 OT
    quindi l'area di OTD equivale a 1/3 di ADT che a sua volta è 1/4 del quadrato.

    ma l'area di DOC = area DTC + area DOT
    cioè
    area DOC = 1/4 + 1/3 * 1/4 = 1/3

  15. sei sempre benvenuto... con la nuova finestra dei quiz non si è mai in ritardo!  :-P

  16. Andy

    Sembrerà banale, ma osservando il quadrato disegnato da Enzo, mi è venuta in mente una riflessione:

    considerando il triangolo rettangolo AMD, la somma del cateto minore (AM = AD / 2) con l'ipotenusa (MD) tutto diviso per AD:

    (AM + MD) / AD = φ, numero aureo;

    o ciò che è lo stesso:

    il rapporto tra l'area del rettangolo di lati L = AM + MD ed l = AD e l'area del quadrato di lato AD da come risultato φ.

    Qui:

    http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2016/06/20/fibonacci-e-luniverso/

    e qui:

    http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2014/03/16/14-un-numero-molto-particolare-seconda-parte/

    http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2014/03/18/14-un-numero-molto-particolare-terza-e-ultima-parte/

    gli articoli di Enzo sul numero aureo e molto di più, come sempre esposti in maniera mirabile sia dal punto di vista scientifico che didattico.

     

     

  17. Eh sì, Andy... il rettangolo aureo sembra quasi parte integrante dell'armonia del'Universo e del pensiero umano... e i greci l'avevano già scoperto e utilizzato... Quanto dobbiamo ancora imparare.... :)

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