Dic 30

Minkowski per tutti. 5: un fuorigioco relativistico **

Questo quiz-non quiz fa parte della serie "Minkowski per tutti". La soluzione è  inserita in questo stesso articolo, ma sarebbe più interessante provare, prima di leggerla, a darla  nei commenti, anche solo per esprimere le eventuali difficoltà incontrate.

Cosa c'è di meglio di una bella partita di pallone giocata da giocatori "relativistici", ossia capaci di andare a velocità comparabili con quella della luce? Non c'è da stupirsi, però, che ognuno, anche se in completa buona fede, consideri la faccenda in modo diverso... Mi raccomando, non spaventatevi dalle tante domande: basta fare la giusta figura e ogni risposta è di estrema facilità. Comunque, vista la grande sportività che esiste nel mondo del calcio è molto meglio che non si arrivi mai a queste condizioni di gioco: si rischierebbe una vera e propria rivoluzione armata!

Il sistema di riferimento in quiete è quello dell'arbitro (R), del giocatore che, da fermo, effettua il passaggio (A), del portiere (D) e dei due guardialinee G' e G". Altri due sistemi fondamentali sono quello del giocatore che fa lo scatto in avanti (B) e quello dell'ultimo difensore (C), a parte il portiere, che va in senso opposto per ostacolarlo, andando a velocità uguale e contraria.

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Innanzitutto, è meglio ricordare cosa sia il fuorigioco nel gioco del calcio. Una volta che si è nella metà campo avversaria, se l'attaccante supera il penultimo difensore prima che un suo compagno lanci il pallone verso di lui, l'azione è da interrompere. Se nel momento del lancio si trova prima di due difensori e poi riesce a superane uno o entrambi al momento in cui tocca il pallone, l'azione è valida. Fondamentale è quindi la posizione dell'attaccante, relativamente al penultimo difensore, al momento del lancio del pallone da parte di un suo compagno di squadra.

Di seguito, per coloro che sono proprio digiuni del gioco del calcio (?), una figura che mostra la posizione relativa di B e C al momento del lancio della palla da parte di A. A sinistra non vi è fuorigioco, a destra vi è fuorigioco.

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La figura iniziale mostra una situazione al limite del fuorigioco: nel sistema in quiete, la posizione dell'attaccante B coincide con quella del penultimo difensore C, nel momento in cui il compagno A  lancia la palla verso di lui: tutto è ancora regolare e non c'è fuorigioco.

Normalmente, solo l'arbitro, coadiuvato dai guardalinee, può valutare la situazione e decidere il da farsi (oggi si possono anche usare aiuti tecnologici come il VAR) a seconda di ciò che vede. Ovviamente i tifosi  e i giocatori colpiti dall'infrazione sono sempre contrari alla decisione arbitrale. Tuttavia, questa situazione non dipende certo dalla relatività speciale. Nel nostro caso, invece, consideriamo (meraviglie delle meraviglie) arbitro e giocatori in completa buona fede. Ciò nonostante l'accordo è tutt'altro che facile.

NB: notiamo che poco importa a che velocità vada il pallone (sicuramente più veloce del moto di B)

Le domande sono le seguenti:

  1. Nel sistema di riferimento di B, lui è in fuorigioco oppure no?
  2. Nel sistema di riferimento di C, B è in fuorigioco oppure no?
  3. Cosa vedono B e C ?
  4. Cosa dice il portiere D vedendo l'azione?
  5. Cosa vede il guardialinee G' che si trova il linea col giocatore A?
  6. Cosa vede il guardialinee G" che si trova il linea con l'evento "incontro tra B e C"
  7. Ciò che vede e decide l'arbitro, dipende oppure no dalla sua posizione in campo?
  8. Se il guardialinee G' fosse distratto, su cosa potrebbero essere TUTTI d'accordo di avere visto?

Disegnare il diagramma relativo alla situazione di gioco e verificare le risposte da 1 a 8.

Non c'è bisogno di nessun calcolo... basta solo la figura!

 

Entrambi i giocatori B e C sono perfettamente d'accordo sul punto spaziotemporale in cui si incontrano, dato che questo evento è simultaneo in entrambi i sistemi di riferimento. Quelle che cambiano sono le coordinate dell'evento  "A lancia il pallone".

1.  Nel  sistema di riferimento di B, l'evento "lancio della palla da parte di A" avviene dopo il suo incontro con C e quindi egli è in fuorigioco.

2.  Nel sistema di riferimento di C , l'evento "incontro con B" avviene  prima dell'evento "A lancia il pallone". Nel sistema di riferimento di C, il fuorigioco non c'è.

3. Sia B che C vedono  il lancio della palla da parte di A dopo il loro incontro: Per entrambi è sicuramente fuorigioco.

4. Il portiere vede  prima l'evento "incontro tra B e C" e poi  l'evento "A lancia la palla" e quindi è sicuro del fuorigioco.

5. Il guardialinee G' vede  prima il lancio della palla rispetto all'evento incontro tra B e C. Per lui non c'è fuorigioco

6. Il guardialinee G" vede decisamente prima l'evento incontro tra B e C che non il lancio della palla e quindi per lui è decisamente fuorigioco.

7. L'arbitro R vede il fuorigioco  solo se si trova più vicino all'incontro tra B e C che non al lancio della palla, altrimenti conferma la regolarità dell'azione.

8. Malgrado non ci sia fuorigioco, tutti (a parte il guardialinee distratto che non ha visto niente) concorderebbero sul fuorigioco se l'arbitro fosse più vicino all'evento "incontro tra B e C". 

Ecco una prima figura (Fig. 1) riassuntiva, che descrive i sistemi di riferimento. Quello nero è il sistema in quiete di cui fanno parte il giocatore A, il portiere D, i due guardialinee G' e G" e l'arbitro R (la sua posizione la studieremo meglio in seguito). Il sistema blu è quello dell'attaccante B che corre verso la porta. Il sistema rosso è quello del difensore C che corre in direzione opposta con la stessa velocità.

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Figura 1

Si nota molto bene come l'incontro tra B e C sia simultaneo all'evento A1 (A calcia il pallone), nel sistema di riferimento in quiete, che è poi quello in cui dovrebbe essere giudicato il fuorigioco che, come detto, non esiste dato che siamo nelle sue condizioni limite.

Il passaggio successivo (Fig. 2) risponde alle domande (1) e (2) e mostra quali siano gli eventi simultanei di A1 nel sistema blu (B2) e rosso (C2). Nel sistema di B l'evento B2 accade dopo l'evento B1=C1 e, quindi,  il pallone è stato lanciato dopo che B ha sorpassato C: B è in fuorigioco. Nel sistema di C l'evento C2 accade prima dell'evento B1=C1. Tale evento è anche simultaneo con l'evento B3 che accade, quindi, prima dell'evento B1=C1. Quando A lancia il pallone, B non ha ancora raggiunto l'evento limite (incontro tra B e C): B non è in fuorigioco.

Figura 2
Figura 2

E' abbastanza divertente il fatto che, nei sistemi di riferimento dei due giocatori, il fuorigioco avviene per chi spererebbe che non ci fosse e viceversa.

Passiamo adesso a ciò che viene visto realmente dai vari personaggi. Per far ciò abbiamo bisogno di tracciare il percorso della luce a partire dagli eventi fondamentali, rispondendo così alle domande da 3 a 7. Ripetiamo la solita figura, inserendo la traiettoria della luce a partire dall'evento A1 e da quello B1=C1, in Fig. 3.

Figura 3
Figura 3

A lancia la palla in A1 e la luce di questo evento raggiunge B in B4 e C in C3. Entrambi gli eventi sono posteriori all'evento B1 = C1. I due giocatori devono ammettere di aver visto A lanciare la palla in A1 dopo che si sono incontrati e che B ha sorpassato C. Per entrambi la posizione di B è di fuorigioco. Questa è la risposta alla domanda 3.

Proseguiamo pure la traiettoria della luce proveniente da A1 fino ad incontrare la traiettoria temporale di D. Ciò accade in D2. Tracciamo adesso la traiettoria della luce che esce da B1=C1 e che incontra la traiettoria temporale di D in D1. Quest'ultimo evento avviene prima di D2 e quindi per D la posizione di B è  di  fuorigioco. Questa è la risposta alla domanda 4.

Passiamo, ora ai due guardialinee. G' vede prima il lancio della palla in A1 e dopo (in G'1) viene raggiunto dalla luce proveniente da B1=C1. Per lui avviene prima il passaggio e dopo il sorpasso di B. Tutto è regolare: non è fuorigioco. Per G" succede il contrario, dato che prima vede il sorpasso di B e dopo (in G"1) la luce proveniente da A1: Il fuorigioco è netto. Questo risponde alle domande 5 e 6.

A questo punto (Fig. 4) non ci resta che valutare la posizione dell'arbitro R. Se lui è più vicino  alla traiettoria temporale di A (e di G'), prima vede A1 e poi l'incontro tra B e C: è fuorigioco. Se, invece R è più vicino alla traiettoria di G" avviene l'inverso: non è fuorigioco. Abbiamo risposto anche alla domanda 7.

Figura 4
Figura 4

In conclusione (domanda 8), se l'arbitro fosse più vicino a G"  (e il guardialinee G' fosse distratto) tutti concorderebbero sul fuorigioco che, in realtà, non esisterebbe!

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2 commenti

  1. Paolo

    Caro Enzo, speravo di non dover aprire io i commenti, ma visto che nessuno è intervenuto... :roll: 

    Non sono un calciofilo, per cui spero di aver ben compreso il quiz.

    Per rispondere alle domande pensavo di usare due figure.

    La prima mostra cosa misurano i vari sistemi di riferimento, per cui ho tracciato oltre agli assi di tempo e spazio del sistema in “quiete” (t e x di A; D; G' G''), di quello del difensore C (t' e x') e di quello dell'attaccante B (t'' e x''), anche le relative linee di simultaneità (quelle parallele al proprio asse x, x' o x'').

    Come al solito, ogni soggetto si muove solo lungo il suo asse del tempo.

    Ovviamente per il sistema in “quiete” gli eventi “A che tira la palla” e “B che incrocia C”, avvengono simultaneamente (per cui non c'è alcun fuorigioco) allo stesso tempo tp (linea nera parallela all'asse x).

    Invece per il sistema dell'attaccante B, l'evento “A che tira la palla” (t''p) avviene dopo “B che incrocia C” (dove l'asse del tempo di C incrocia l'asse del tempo di B), per cui per rispondere alla prima domanda, per il suo sistema B è in fuorigioco, dato che A tira la palla dopo che B ha incrociato il difensore.

    D'altronde osservando la linea di simultaneità (rossa) del sistema di B, nello stesso tempo t''p, A tira la palla, mentre C si trova a sinistra di B (verso A) e B si trova molto più vicino al portiere, pertanto che B si trova in fuorigioco ce lo dice il suo asse del tempo (ordine cronologico degli eventi), ma anche le distanze e le relative posizioni che si misurano allo stesso tempo t''p.

    Al contrario per il sistema del difensore, l'evento “A che tira la palla” (linea azzurra t'p) avviene prima dell'evento “B che incrocia C”, per cui per rispondere alla seconda domanda, per il suo sistema B non è in fuorigioco, dato che A tira la palla prima che lui abbia incrociato l'attaccante.

    Osservando la linea di simultaneità (azzurra) del sistema di C, nello stesso tempo t'p, A tira la palla, mentre B non ha ancora raggiunto il guardialinee G''.

    Nella seconda figura, ho tracciato solo gli assi del tempo e la luce che parte dai due eventi “A che tira la palla” e “B che incrocia C”, per cui, quando incrocia i relativi assi del tempo, mostra cosa vedono i vari personaggi in gioco.

    B, C, D e G'' anche se con diversi intervalli di tempo, vedono che A lancia la palla dopo che B e C si sono incrociati, pertanto tutti loro vedono che B è in fuorigioco !

    Invece G', ma anche A, vedono che B e C si sono incrociati dopo che A ha lanciato la palla, pertanto per loro B non è in fuorigioco !

    Questo risponde alle domande 3, 4, 5, 6 e 8 (se il guardialinee G' ed anche il calciatore A fossero distratti, tutti potrebbero essere d'accordo che hanno visto che B era in fuorigioco).

    Ciò che vedono è diverso da ciò che misurano, poiché nel secondo caso si tiene conto del tempo necessario all'informazione per giungere fino all'osservatore, infatti si sincronizzano gli orologi del proprio sistema, mentre ciò che si vede non tiene conto di questo “ritardo”.

    Infine ho volutamente segnato 3 diverse posizioni dell'arbitro R, per capire cosa vede e cosa cambia.

    L'arbitro in posizione R0 vede A che lancia la palla mentre B e C si incrociano.

    Tutte le posizioni alla sua destra, come R2, vedono che A lancia la palla dopo che B e C si sono incrociati (tLp > t LBC), per cui vedono B in fuorigioco.

    Al contrario tutte le posizioni alla sua sinistra, come R1, vedono che A lancia la palla prima che B e C si incrocino (tLBC > tLp ), per cui vedono che B non è in fuorigioco.

    Pertanto per capire cosa vede l'arbitro R, la sua posizione conta eccome... un problema che non esiste usando il proprio sistema di riferimento, poichè in tal caso l'arbitro, qualunque sia la sua posizione, misurerebbe la stessa cosa di di A; D; G'; G'' poichè il sistema di riferimento è lo stesso considerato in quiete (assi t ed x), per cui B non è in fuorigioco poichè incrocia C nelle stesso istante (tp) in cui A lancia la palla.

    Paolo

  2. Hai ragione Paolo, non avevo considerato A, dato che era ovvio che lui vedeva il suo lancio prima di qualsiasi altro evento successivo...

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