25/03/19

Minkowski per tutti. 8: Einstein e Minkowski si danno la mano **

Questo quiz-non quiz fa parte della serie "Minkowski per tutti". La soluzione è  inserita in questo stesso articolo, ma sarebbe più interessante provare, prima di leggerla, a darla  nei commenti, anche solo per esprimere le eventuali difficoltà incontrate.

Cerchiamo di risolvere un problemino facile facile solo graficamente. Un certo razzo puntiforme viaggia rispetto a noi che siamo nel sistema in quiete a una velocità di 0.6 c. Vi è anche  un altro razzo che viaggia rispetto al primo a una velocità di 0.8 c. Quale sarà la velocità del secondo razzo rispetto a noi? Il problema è facilmente risolvibile con una ben nota formula, ma noi vogliamo provare a risolverlo solo con la geometria...

Sì, lo so, è un problemino che abbiamo già affrontato  e risolto. Questa volta, però, bisogna risolverlo graficamente con il diagramma di Minkowski.  Alla fine non avremo problemi a controllare il risultato con il calcolo matematico.

La figura da utilizzare è quella che segue (Fig. 1). Oltre alle unità di misura (anni e anni luce) è stata inserita l'iperbole di calibrazione per i tempi. Ovviamente potete aggiustare la scala a piacere...

Figura 1
Figura 1

Buon lavoro...

RISPOSTA

Chi vuole conoscere subito la risposta, non deve fare altro che schiacciare "mostra risposta" (invitiamo, però, chi conosce le basi della RR  a provare, prima, da solo...)

 

 

 

2 commenti

  1. Paolo

    Caro Enzo provo a rispondere con una sola  figura.

    Innanzitutto per determinare le unità di misura della prima astronave preferisco usare le intersezioni tra le linee parallele agli assi t' e x' con gli assi t e x (nei “punti” t = 1/γ e x= 1/γ).... non amo molto usare le curve di calibrazione... :roll:

    Dopodiché per costruire l'asse t'' (ossia quello su cui si muove la seconda astronave) uso la linea di simultaneità parallela all'asse x' che corrisponde a t'=1 e quella parallela all'asse t' che corrisponde a x'=0,8... non resta che tracciare l'asse t'' che parte da 0 (t =0; t'=0; t'' =0 e x =0; x'=0; x' =0) e passa per l'incrocio tra l'asse x'=0,8 e t'=1....

    D'altronde la velocità della seconda astronave misurata dal sistema della prima astronave non può che essere uguale a:

    V = Δ x'/Δ t' = 0,8/1 = 0,8 c


    Come mostra la figura una volta tracciato l'asse t'', basta usare la linea di simultaneità parallela all'asse x con t=1, quando questa interseca l'asse t'', partendo da questo “punto” basta tracciare la linea parallela all'asse t e trovare geometricamente il valore corrispondente di x.

    In questo caso x = 0,946.

    Pertanto la velocità della seconda astronave misurata dal sistema considerato in “quiete” non può che essere uguale a :

    V = Δ x/Δ t = 0,946/1 = 0,946 c

    Il medesimo risultato si ottiene usando la formula riferita alla composizione relativistica delle velocità:

    u = (u’ + v)/(1 + vu’/c²)

    dove:

    u è la velocità della seconda astronave misurata dal sistema in “quiete”;

    u' è la velocità della seconda astronave misurata dal sistema della prima astronave (0,8 c)

    v è la velocità della prima astronave misurata dal sistema in “quiete” (0,6 c)

    c = 1

    u = (0,8 + 0,6)/(1 + 0,6 x 0,8/1²) = 1,4/1,48 = 0,9459 c

    Ossia il medesimo risultato (arrotondato) ottenuto graficamente. :roll: 

    Ora non resta che controllare che il risultato sia corretto...

    Paolo

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