Questo quiz-non quiz fa parte della serie "Minkowski per tutti". La soluzione è inserita in questo stesso articolo, ma sarebbe più interessante provare, prima di leggerla, a darla nei commenti, anche solo per esprimere le eventuali difficoltà incontrate.
Questo esercizio è, probabilmente, un po’ più difficile, in quanto chiede anche di analizzare il ragionamento di un … treno. A prima vista sembrerebbe un paradosso, ma poi tutto si sistema, come capita sempre, nella Relatività Ristretta.
Siamo all’interno della lunghissima galleria che collega la Francia con la gran Bretagna passando sotto la Manica. Due treni perfettamente uguali stanno viaggiando in direzione opposta, andando alla stessa velocità v. A un certo momento si spengono tutte le luci della galleria che rimane completamente al buio. Un bel guaio anche se i treni possono viaggiare tranquillamente in quelle condizioni.
Per un osservatore appartenente al sistema di riferimento della galleria (e quindi in quiete), ad esempio un capostazione, all’istante t1 viene riattivata la luce attraverso lampade presenti sul soffitto della galleria. Come spesso capita, quando si fanno le cose in fretta, la riparazione non è perfetta e la luce manca di nuovo al tempo t2. Cerchiamo di essere ancora più precisi: al tempo t1 i primi fotoni raggiungono il tetto dei treni e al tempo t2 lo fanno gli ultimi fotoni. In altre parole, i fotoni colpiscono i tetti dei treni nell'intervallo di tempo t2 -t1. Poi nuovamente buio completo. Immaginiamo che vi sia una serie continua di lampade, poste alla stessa distanza tra di loro. In altre parole ogni x centimetri o millimetri vi è una lampada che invia la sua luce verso il basso e che colpisce i tetti dei treni. Possiamo anche pensare a una striscia continua di luce. In ogni modo, si ha una quantità di luce al secondo direttamente proporzionale alla lunghezza del tratto di galleria considerato.
Chi appartiene al sistema in quiete non può che assumere una simmetria perfetta: i treni hanno la stessa lunghezza e viaggiano alla stessa velocità, anche se in senso opposto. Ne consegue, ovviamente, che nel periodo in cui la luce ha colpito i tetti dei treni (t2 – t1) entrambi i convogli hanno ricevuto la stessa quantità di luce.
Il treno A, però, non è assolutamente d’accordo (come anche il treno B).
A giudica diversa la quantità di luce ricevuta da lui rispetto a quella ricevuta dal treno B (e viceversa). La faccenda sembra proprio un paradosso. Ecco il ragionamento del treno A:
"Io mi sento ovviamente fermo con una certa lunghezza propria (misurata perfettamente in modo simultaneo) LA. Ad ogni istante ricevo un numero i fotoni NA che è proporzionale alla mia lunghezza LA. Il treno B, invece, è decisamente più corto di me, dato che è contratto e ha una lunghezza LB < LA. Anche lui riceve un numero di fotoni NB proporzionale alla sua lunghezza LB (e poco importa che viaggi a velocità altissima, dato che tutta la galleria è ugualmente illuminata). Ne segue che, se LB < LA deve anche essere NB < NA. La quantità di luce che ricevo non è altro che il numero di fotoni per unità di tempo (proporzionale alla lunghezza) moltiplicato per l'intervallo di tempo t2 - t1, che è quello che è per entrambi i treni. In parole molto semplici non è altro che uno spazio moltiplicato un tempo. Non c'è alcun dubbio, che nell'intervallo di tempo t2 - t1, io abbia ricevuto una quantità di luce maggiore di quella del treno B (Fig. 1)".
Figura 1. All'istante t0, si accende la luce, ma ancora non è arrivata al tetto dei treni; all'istante t1, i primi fotoni colpiscono entrambi i treni; all'istante t2, arrivano gi ultimi fotoni dato che la luce si è spenta; all'istante t3 è tornato il buio.
Non ci stupiamo di certo che il treno B ribalti completamente la situazione...
Le conclusioni sembrano veramente paradossali: il capostazione dice che entrambi hanno ricevuto la stessa quantità di luce; il treno A dice che ne ha ricevuto più lui e la stessa cosa (invertita) la dice il treno B. Non possiamo accettare questo risultato, dato che la quantità di luce ricevuta dai due treni è un fenomeno fisico che deve essere lo stesso in tutti i sistemi inerziali.
La domanda è molto semplice: chi sbaglia e perché ?
Il diagramma di Minkowski è obbligatorio!
Possiamo risolvere in modo puramente grafico il problema, considerando solo il sistema del treno A (per B la faccenda è perfettamente simmetrica) e quello del capostazione fermo in galleria
RISPOSTA
Chi vuole conoscere subito la risposta, non deve fare altro che schiacciare "mostra risposta" (invitiamo, però, chi conosce le basi della RR a provare, prima, da solo...)
Il capostazione non può che avere ragione, data la simmetria perfetta della situazione: treni di lunghezza uguale e loro momenti di entrata e uscita dalla luce simultanei (nel suo sistema di riferimento, la simultaneità è data dalle rette parallele all'asse x ). La lunghezza propria dei treni, nei loro sistemi di riferimento, sono date dai segmenti rossi e blu più spessi che danno luogo a una lunghezza contratta nel sistema del capostazione uguale, per entrambi i treni. Disegniamo la Fig. 2 mettendo in evidenza i quattro eventi fondamentali relativi al treno A: arrivo della luce nella testa del treno (TA); arrivo della luce nella coda del treno (CA); sparizione della luce dalla testa del treno (TA'); sparizione della luce dalla coda del treno (CA'). Facciamo lo stesso per il treno B (TB,CB,TB',CB'). Per semplificare la figura sono stai fatti coincidere TA con TB e CA' con CB', ma la scelta di t1 e t2 risulta del tutto arbitraria.
Figura 2
Ovviamente, come già detto, il tempo dei 4 eventi (TA, CA, TB, CB) è proprio t1 per tutti e lo stesso avviene in t2.
Vediamo adesso dove sbaglia il treno A (per B basta ribaltare il ragionamento). Gli otto eventi rimangono quelli che sono (intersezione dei treno con i tempi t1 e t2 del sistema del capostazione), ma le loro coordinate cambiano drasticamente nel suo sistema di riferimento. In altre parole gli otto eventi accadono in tempi diversi (la celebre mancanza di simultaneità) nel sistema di riferimento del treno A. A ha, invece, perfettamente ragione a dire che il treno B si accorcia. Lasciamo indicati gli otto eventi con i loro pallini colorati e vediamo come la teste e la coda dei treni vengono toccati dalla luce.
Utilizziamo la Fig. 3.
Figura 3
Il treno B è indicato dal segmento LB (misura simultaneamente nel sistema del treno A), mentre il treno A è indicato dalla sua lunghezza propria LA. LA è nettamente più lungo di LB (lo possiamo dire perché stiamo lavorando in un solo sistema di riferimento). Il primo evento che accade nel sistema di A è l'entrata della coda di B, ossia CB (la testa si trova in H). E' il primo punto dei treni a essere illuminato. Poi, finalmente, ecco che anche la testa del treno A viene illuminata (TA) mentre la sua coda è ancora in K. Nello stesso istante, però, il treno B è completamente illuminato dato che anche TB è investita dalla luce, mentre la coda si trova già in M.
Notiamo un fatto importantissimo: tutto il treno B è completamente illuminato quando solo la testa del treno A è toccata dalla luce. Il treno B appare più corto, è vero, ma viene illuminato prima di A!I due treni continuano a viaggiare fino a che la coda del treno A viene illuminata (CA), nel frattempo però, il treno B (RQ) si gode completamente la luce già da un pezzo. Ora la luce investe entrambi i treni, fino a che la testa del treno A entra nel buio (TA'), mentre la sua coda è giunta in N. il treno B non se ne cura e continua a essere completamente illuminato (ST). Il treno A continua a entrare gradualmente nel buio fino a che si immerge completamente nell'oscurità, dato che anche la coda cessa di essere illuminata (CA'). Solo in quel momento, il treno B inizia a entrare nel buio (coda in CB') e per rimanere anch'esso completamente al buio, la sua testa deve giungere in TB'. Abbiamo notato sicuramente che il treno A (più lungo nel suo sistema) viene illuminato per minor tempo di quanto non lo sia il treno B (più corto).
Ricordiamo quanto detto all'inizio. la quantità di luce ricevuta non è altro che la differenza di tempo moltiplicata per la lunghezza del treno. Non vale più la disuguaglianza di Fig. 1, perché, adesso, t2 - t1 non è più lo stesso, ma dipende dal sistema di riferimento di A. Facciamo bene attenzione che per confrontare lunghezze spaziali e temporali dobbiamo metterci in un unico sistema di riferimento . Usando quello di A, abbiamo che la lunghezza del treno A è LA, ma la durata in piena luce è per lui data dall'intervallo temporale che va da CA a N. Per il treno B, nel sistema di A, la lunghezza è minore (LB), ma la durata della luce completa va da K a CB' = CA'. Cosa analoga capita per il periodo in cui la luce illumina gradualmente il treno. Per il treno A va da K a CA e , in uscita, da N a CA'. Per il treno B, questi intervalli di tempo sono da O a K e da CA' a F (i tempi devono essere misurati sull'asse t' del sistema del treno A).
Potrei dirvi, senza timore di smentita, che tanto guadagna in lunghezza il treno A tanto perde nella durata dei tempi in cui viene illuminata la galleria, in modo che la quantità di luce ricevuta rimanga esattamente la stessa. L'effetto della contrazione è completamente cancellato dal fatto che il treno B spende più tempo nella luce di quanto non faccia il treno A. In altre parole, la luce all'interno della galleria non si accende e si spegne simultaneamente nei sistemi di riferimento dei due treni.
Ricapitoliamo il risultato, mettendoci completamente nel sistema di A.
Treno A
La lunghezza di A è data dal segmento spaziale LA .
L'intervallo di tempo in cui è immerso completamente nella luce è il segmento temporale che va da CA a N.
Gli intervalli di tempo in cui si immerge e esce gradatamente dalla luce sono i segmenti temporali da K a CA e da N a CA' (i tempi vanno misurati su t').
Treno B
La lunghezza di B è data dal segmento spaziale LB (misurato sull'asse spaziale x' di A).
L'intervallo di tempo in cui è immerso completamente nella luce è il segmento temporale che va da K a CA'.
Gli intervalli di tempo in cui si immerge gradatamente nella luce e ne esce sono i segmenti temporali da O a K e da CA' a F (i tempi vanno sempre misurati sull'asse t').
A questo punto abbiamo sia la lunghezza del treno che gli intervalli di tempo in cui essi vengono colpiti totalmente dalla luce.
Come già detto:
LB < LA , ma (t'N - t'CA) < (t'CA' - t'K)
Abbiamo visto fin dall'inizio che la quantità di luce è proprio data dal prodotto tra la lunghezza del treno e il tempo di durata della luce. Questo prodotto lo possiamo fare tranquillamente perché siamo in un solo sistema di riferimento e le misure sono eseguite con orologi sincronizzati e distanze unitarie costanti.
Ma, allora, dovremmo trovare che:
LA (t'N - t'CA) = LB (t'CA' - t'K) ... (1)
In realtà non è vero... dato che ciascun treno viene ancora parzialmente e gradualmente illuminato in entrata e in uscita dalla fascia luminosa. Possiamo però assumere che la parte di treno che viene illuminata gradualmente in entrata sia uguale a quella che viene gradualmente illuminata in uscita. Ne segue, ad esempio, che per il treno A, nel tempo tra K e CA, viene praticamente illuminato mezzo treno, così come nell'intervallo di tempo da N a CA'. Considerando solo uno di questi intervalli di tempo aggiungeremmo una copertura luminosa totale del treno (il triangolo K-CA-TA è uguale al triangolo N-CA'-TA'). Analogo discorso vale per il treno B, dove l'intervallo di tempo da aggiungere per avere la copertura totale del treno va da O a K (uguale all'intervallo che va da CA' a F).
Le lunghezze sono sempre le stesse, ma cambiano i tempi da considerare per avere la quantità di luce totale immagazzinata dai due treni.
Per il treno A dobbiamo aggiungere (t'CA - t' K) e per il treno B dobbiamo aggiungere (t'K - t'O). Deve, perciò valere:
L'uguaglianza si può verificare graficamente (Fig. 4), accettando gli errori delle misure.
Figura 4
Ovviamente, il tutto potrebbe essere ottenuto analiticamente, calcolando le misure dei vario segmenti coinvolti.
Volendo, con maggiore approssimazione grafica, si potrebbe anche applicare il metodo a un treno fermo nella stazione... Ovviamente, sarebbe più corretto passare al calcolo diretto, ma in questa serie vogliamo dedicarci solo alla grafica di Minkowski.
