23/05/19

Minkowski per tutti. 9: Due treni in disaccordo ***

Questo quiz-non quiz fa parte della serie "Minkowski per tutti". La soluzione è  inserita in questo stesso articolo, ma sarebbe più interessante provare, prima di leggerla, a darla  nei commenti, anche solo per esprimere le eventuali difficoltà incontrate.

Questo esercizio è, probabilmente, un po’ più difficile, in quanto chiede anche di analizzare il ragionamento di un … treno. A prima vista sembrerebbe un paradosso, ma poi tutto si sistema, come capita sempre, nella Relatività Ristretta.

Siamo all’interno della lunghissima galleria che collega la Francia con la gran Bretagna passando sotto la Manica. Due treni perfettamente uguali stanno viaggiando in direzione opposta, andando alla stessa velocità v. A un certo momento si spengono tutte le luci della galleria che rimane completamente al buio. Un bel guaio anche se i treni possono viaggiare tranquillamente  in quelle condizioni.

Per un osservatore appartenente al sistema di riferimento della galleria (e quindi in quiete), ad esempio un capostazione, all’istante t1 viene riattivata la luce attraverso lampade presenti sul soffitto della galleria. Come spesso capita, quando si fanno le cose in fretta, la riparazione non è perfetta e la luce manca di nuovo al tempo t2. Cerchiamo di essere ancora più precisi: al tempo t1 i primi fotoni raggiungono il tetto dei treni e al tempo t2 lo fanno gli ultimi fotoni. In altre parole, i fotoni colpiscono i tetti dei treni nell'intervallo di tempo t2 -t1.  Poi nuovamente buio completo. Immaginiamo che vi sia una serie continua di lampade, poste alla stessa distanza tra di loro. In altre parole ogni x centimetri o millimetri vi è una lampada che invia la sua luce verso il basso e che colpisce i tetti dei treni. Possiamo anche pensare a una striscia continua di luce. In ogni modo, si ha una quantità di luce al secondo direttamente proporzionale alla lunghezza del tratto di galleria considerato.

Chi appartiene al sistema in quiete non può che assumere una simmetria perfetta: i treni hanno la stessa lunghezza e viaggiano alla stessa velocità, anche se in senso opposto. Ne consegue, ovviamente, che nel periodo in cui la luce ha colpito i tetti dei treni (t2 – t1) entrambi i convogli hanno ricevuto la stessa quantità di luce.

Il treno A, però, non è assolutamente d’accordo (come anche il treno B).

A giudica diversa la quantità di luce ricevuta da lui rispetto a quella ricevuta dal treno B (e viceversa). La faccenda sembra proprio un paradosso. Ecco il ragionamento del treno A:

"Io mi sento ovviamente fermo con una certa lunghezza propria (misurata perfettamente in modo simultaneo) LA. Ad ogni istante ricevo un numero i fotoni NA che è proporzionale alla mia lunghezza LA. Il treno B, invece, è decisamente più corto di me, dato che è contratto e ha una lunghezza LB < LA. Anche  lui riceve un numero di fotoni NB proporzionale alla sua lunghezza LB (e poco importa che viaggi a velocità altissima, dato che tutta la galleria è ugualmente illuminata). Ne segue che, se LB < LA deve anche essere NB < NA. La quantità di luce che ricevo non è altro che il numero di fotoni per unità di tempo (proporzionale alla lunghezza) moltiplicato  per l'intervallo di tempo t2 - t1, che è quello che è per entrambi i treni. In parole molto semplici non è altro che uno spazio moltiplicato un tempo. Non c'è alcun dubbio, che nell'intervallo di tempo t2 - t1, io abbia ricevuto una quantità di luce maggiore di quella del treno B (Fig. 1)".

All'istante t0, si accende la luce, ma ancora non è arrivata al tetto dei treni; all'istante t1, i primi fotoni colpiscono entrambi i treni; all'istante t2, arrivano gi ultimi fotoni dato che la luce si è spenta; all'istante t3 è tornato il buio. Non ci stupiamo di certo che il treno B ribalti completamente la situazi
Figura 1. All'istante t0, si accende la luce, ma ancora non è arrivata al tetto dei treni; all'istante t1, i primi fotoni colpiscono entrambi i treni; all'istante t2, arrivano gi ultimi fotoni dato che la luce si è spenta; all'istante t3 è tornato il buio.

Non ci stupiamo di certo che il treno B  ribalti completamente la situazione...

Le conclusioni sembrano veramente paradossali: il capostazione dice che entrambi hanno ricevuto la stessa quantità di luce; il treno A dice che ne ha ricevuto più lui e la stessa cosa (invertita) la dice il treno B. Non possiamo accettare questo risultato, dato che la quantità di luce ricevuta dai due treni è un fenomeno fisico che deve essere lo stesso in tutti i sistemi inerziali.

La domanda è molto semplice: chi sbaglia e perché ?

Il diagramma di Minkowski è obbligatorio!

Possiamo risolvere in modo puramente grafico il problema, considerando solo il sistema del treno A (per B la faccenda è perfettamente simmetrica) e quello del capostazione fermo in galleria

RISPOSTA

Chi vuole conoscere subito la risposta, non deve fare altro che schiacciare "mostra risposta" (invitiamo, però, chi conosce le basi della RR  a provare, prima, da solo...)

Volendo, con maggiore approssimazione grafica, si potrebbe anche applicare il metodo a un treno fermo nella stazione... Ovviamente,  sarebbe più corretto passare al calcolo diretto, ma in questa serie vogliamo dedicarci solo alla grafica di Minkowski.

 

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