18/07/19

C’è parabola e parabola *

Sapete come sono fatto… ogni tanto mi sorgono dei dubbi sulle varie spiegazioni e temo che si possa creare qualche malinteso. Probabilmente è una mia paura infondata e nessuno ha bisogno di questo chiarimento. Al limite trascurate questo articolo (ne sarei, in fondo, ben lieto).

I problemi di cinematica appaiono sempre piuttosto facili, ma a volte riescono a creare qualche difficoltà se ben congegnati. Diamone allora una suddivisione piuttosto rozza: i problemi si svolgono su una retta (una sola dimensione) oppure su un piano (due dimensioni). Evitiamo di allargarci nelle tre dimensioni.

Moti rettilinei

Nel primo caso la rappresentazione grafica della traiettoria percorsa è piuttosto difficile, dato che lavorando su una retta è proibitivo disegnare il moto di una particella soggetta a velocità e/o ad accelerazioni. Molto più semplice è seguire la trattazione in termini di due variabili fondamentali: lo spazio e il tempo (senza bisogno di relatività…). Normalmente si pone l’asse del tempo come asse x e quello dello spazio come asse y.

E’ immediato (o quasi) tracciare le curve che rappresentano la legge oraria a secondo delle grandezze velocità e accelerazione. Per legge oraria si intende la funzione che lega lo spazio percorso con il tempo impiegato a percorrerlo. Non torneremo a spiegare nuovamente come si ricavano certe formulette (lo abbiamo fatto spesso e volentieri, anche utilizzando dei semplicissimi integrali per essere veramente precisi) e quindi ci basta richiamarle.

  1. Moto rettilineo uniforme

Beh… per far muovere qualcosa vi è bisogno di una certa velocità. Seguendo il principio d’inerzia o della “pigrizia” (come lo chiamo io) è questo il moto più desiderato dalla Natura e quello su cui ha basato la sua Relatività Ristretta il grande Einstein. In poche parole, stiamo parlando di un moto eseguito con velocità v0 costante. In natura è ben difficile da ottenere, ma teoricamente è quello che vorrebbero seguire tutti i corpi celesti, sia grandi che piccoli, se non fossero disturbati da vicini “rompiscatole”.

Per la stessa definizione di velocità costante, abbiamo che v0 =s/t da cui la funzione che lega lo spazio con il tempo non è altro che la retta:

s = v0 t

Abbiamo posto, per semplicità, che lo spazio percorso al tempo t = 0 sia anch’esso uguale a zero (ossia la retta passa per l’origine degli assi).

  1. Moto rettilineo uniformemente accelerato

Ecco che è arrivato qualche rompiscatole e ha impartito una certa accelerazione al nostro corpo “pigro”. I casi sono due o il corpo era fermo o era in movimento con velocità costante v0.

Nel primo caso, il più semplice, il corpo inizia a muoversi a causa dell’accelerazione, a, che imponiamo costante con una velocità che varia da istante a istante. In altre parole la velocità descrive una retta nel diagramma velocità-tempo (v = at). a è costante ed è uguale al rapporto tra velocità e tempo…

Nel secondo caso dobbiamo tener conto anche della velocità costante iniziale e otteniamo

v = v0 + at

Tuttavia, a noi importa soprattutto l’equazione oraria del moto uniformemente accelerato, ossia la funzione che lega lo spazio con il tempo, ben sapendo che v0 e a sono delle costanti. Con una piccola integrazione si ottiene la ben nota formula:

s = v0t + ½ at2

che si riduce a:

s = ½ at2

nel caso che la velocità costante iniziale del corpo pigro sia zero.

Volendo complicare il tutto possiamo anche mettere in conto che all’istante t = 0 lo spazio percorso non sia zero (semplice cambiamento di assi) e allora dovremmo anche tenere conto del suo valore iniziale s0.

In ogni modo, al limite, otterremmo la formula completa della legge oraria del moto uniformemente accelerato:

s = s0 + v0t + ½ at2

Questa equazione (nel diagramma spazio-tempo) rappresenta chiaramente una parabola della ben nota forma:

s = mt2 + nt + c

dove

m = ½ a

n = v0

c = s0

Abbiamo trovato la nostra prima parabola che corrisponde alla legge oraria del moto uniformemente accelerato. Tuttavia, stiamo bene attenti che questa è una parabola nel piano spazio-tempo e non certo nel piano a due dimensioni (x,y). La traiettoria nello spazio rimane una retta lungo cui il corpo in movimento si muove in modo più o meno variabile. Siamo ancora nella cinematica a una dimensione, dove lo spazio è tutto racchiuso in una retta. Non confondiamo, perciò, la traiettoria parabolica che viene descritta nello spazio-tempo, con una vera traiettoria parabolica descritta in uno spazio a due dimensioni (ossia quella che riusciamo a vedere con i nostri occhi).

Moti in due dimensioni

Passare ai moti su un piano a due dimensioni complica notevolmente la faccenda, dato che la velocità, pur essendo costante può essere diretta come si vuole nello spazio. Altrettanto può fare l’accelerazione. Ne segue che per descrivere la vera traiettoria del corpo nel piano dello spazio a due dimensioni bisogna legare insieme moti (anche rettilinei) che avvengono lungo diverse direzioni. Un caso classico è quello del moto circolare uniforme, dove abbiamo una velocità costante in modulo, costretta a cambiare continuamente direzione a causa di un’accelerazione costante diretta sempre verso uno stesso punto.

Per il momento, però, per il tipo di esercizi che stiamo affrontando, limitiamoci a un altro tipo di moto in uno spazio a due dimensioni: proprio quello che porta ad avere una traiettoria spaziale che descrive nuovamente una parabola. Attenzione, quindi a non far confusione tra queste due parabole.

Facciamo un esempio estremamente banale, ma molto indicativo: tiriamo un sasso verso l’alto, in modo perfettamente verticale, con una certa velocità costante v0. Siamo di fronte a un moto rettilineo uniforme, che si svolge su uno spazio a una sola dimensione. Se non ci fosse la Terra il sasso se ne andrebbe per sempre a zonzo per lo spazio, mantenendo sempre la sua velocità iniziale. Purtroppo la Terra gli gioca un brutto scherzo e gli impone un’accelerazione costante (in prima approssimazione, ma più che sufficiente per sassi, proiettili e cose del genere) diretta in verso contrario lungo la direzione impartita al sasso. Tutto si svolge sulla retta perpendicolare al suolo terrestre e abbiamo nient’altro che un moto uniformemente accelerato. Proprio quello che abbiamo trattato precedentemente e che ha una legge oraria del tipo:

s = s0 + v0t + ½ at2

Una bella parabola che, nel nostro caso diventa (ponendo s0 uguale a zero):

s = vot – ½ gt2

Dove g è l’accelerazione di gravità e il segno meno sta ad indicare che essa agisce in verso opposto al verso del lancio.

La traiettoria del sasso è di tipo rettilineo, ma presenta una salita verso l’alto sempre più rallentata fino a fermarsi e a tornare verso di noi con velocità crescente. Il tutto seguendo comportamenti simmetrici molto particolari. Da come è stata descritta su una sola retta sembra quasi di sentirci raccontare una traiettoria parabolica in uno spazio a due dimensioni. Peccato che si sia in uno spazio a una dimensione e ci si debba accontentare di una parabola descritta dalla sola legge oraria, ossia uno spazio espresso in funzione del tempo.

Lanciamo in diagonale

Ci vuol poco, però, per riprodurre qualcosa di simile in uno spazio a due dimensioni: basta lanciare il sasso in direzione più o meno inclinata rispetto alla verticale. Improvvisamente ci portiamo in uno spazio a due dimensioni dove il sasso è costretto a descrivere una traiettoria puramente spaziale. Come nel caso del moto circolare uniforme, anche in questo caso siamo di fronte a due moti, applicati allo stesso corpo, ma con direzioni diverse. Ne abbiamo uno puramente orizzontale e uno, più complicato, solamente verticale. L’unione dei due ci permette di tracciare la traiettoria spaziale del sasso. In particolare, il moto orizzontale è un moto uniforme, quello verticale è un moto uniformemente accelerato.

Siamo di fronte al moto di un proiettile sparato da un cannone. I parametri fondamentali da scegliere sono l’alzo α del cannone  (ossia l’angolo tra la direzione della velocità impartita al proiettile dal cannone e il suolo orizzontale) e la stessa velocità v0 del proiettile. Questo è quello che può fare l’artigliere. Poi subentra l’accelerazione di gravità che trasforma una traiettoria rettilinea a due dimensioni in una traiettoria curva a due dimensioni. Sappiamo molto bene che la traiettoria finale del proiettile è nuovamente una parabola, ma che niente ha a che fare con la parabola della legge oraria del moto uniformemente accelerato. Ovviamente le due cose sono legate, ma il concetto è completamente diverso.

Normalmente, si considera a priori che la traiettoria sia proprio una parabola, ma ben difficilmente si dimostra che ciò è vero. Non è certo difficile farlo, considerando il moto lungo l’asse x e quello lungo l’asse y e poi eliminare il tempo. Particolarmente interessante, però, è determinare l’equazione della traiettoria y = f(x), avendo come termini noti quelli dell’artigliere, ossia la velocità del proiettile v e l’alzo α del cannone.

Potrebbe essere un piccolo quiz trigonometrico, ma senza andare a spulciare in giro per il web…

Scusatemi se vi ho tediato con concetti arcinoti e ben compresi da tutti, ma, nel dubbio, ho preferito essere pedante…

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