7/08/19

Soluzione della Luna strana: baricentro o centro di massa ? *

Come anticipato, il problema è decisamente facile e ha il solo scopo di richiamare la differenza che esiste tra baricentro geometrico e centro di massa.

Spesso si legge che i due concetti sono del tutto equivalenti. Tuttavia ciò non è assolutamente vero. Il baricentro è qualcosa di puramente matematico definito come il punto di una certa figura geometrica tale da avere come coordinate la media aritmetica delle coordinate dei punti della figura. Per saperne di più potete andare QUI. Il centro di massa, invece è qualcosa di fisico e rappresenta una proprietà intrinseca di qualsiasi corpo e può essere definito come quel punto in cui è possibile concentrare tutta la massa ai fini del suo comportamento dinamico. Quando, però, il corpo in questione ha una densità costante, le due definizioni coincidono. In particolare la massa può essere sostituita dal volume.

Il problema sollevato dal quiz chiede il baricentro di una figura geometrica ottenuta eliminando una parte di essa. Tuttavia, si fa, fin da subito, riferimento a un cartoncino, da cui si ritaglia qualcosa. Queste poche parole fanno subito capire che siamo di fronte a un corpo fisico che possiede una caratteristica ben definita. La densità è la stessa in ogni parte del corpo e la massa non può solo essere sostituita dal volume, ma addirittura dalla superficie dei corpi in questione, dato che il suo spessore rimane costante (oltre a essere decisamente piccolo).

Conviene perciò risolverlo cercando il suo centro di massa che coinciderà perfettamente con il baricentro geometrico della figura, supposta bidimensionale. In poche parole, possiamo lavorare tranquillamente sul piano del foglio.

Ricordiamo la formula che ci regala il centro di massa:

rCM = ∑miri/Mtot                  .... (1)

Nella formula, Mtot è la massa totale, mi le masse delle varie parti in cui si può considerare diviso il corpo in esame e ri la distanza di ogni singolo centro di massa da un punto qualsiasi scelto come origine degli assi. Il risultato ci fornisce il valore della distanza del centro di massa dall’origine.

Nel nostro caso, le masse sono sostituite dalle aree dei corpi in esame e possiamo tranquillamente chiamarlo baricentro B… Consideriamo la Fig. 1

Figura 1
Figura 1

Noi conosciamo perfettamente dove stanno i baricentri (o centri di massa) del cerchio grande e del cerchio piccolo: esattamente nel loro centro O e O’. Eliminando il cerchio piccolo è ovvio che il baricentro della nuova figura deve trovarsi, per simmetria, lungo l’asse x, dalla parte sinistra rispetto al centro del cerchio maggiore. Chiamiamo questa distanza d. Essa non è altro che la posizione del baricentro rispetto all’origine delle coordinate che abbiamo scelto.

Scriviamo, allora la relazione (1), inserendo le aree al posto delle masse e le distanze dai baricentri delle due figure considerate, ossia il cerchio piccolo e la strana falce di Luna. In pratica, abbiamo ricostruito il cerchio iniziale, rimettendo al suo posto il cerchio ritagliato.

Ricordiamo, prima, anche le aree (masse) che andiamo a utilizzare:

ACP = πR2/4                         (area cerchio piccolo)

AL = πR2 - πR2/4 = 3πR2/4            (area "mezza luna")

ATOT = πR2                        (area cerchio grande)

x= (R/2 ACP + d AL)/ATOT

xO = (πR3/8 + d 3πR2/4)/ πR2 = R/8 + 3/4 x

Nel nostro sistema di coordinate cartesiane xO è proprio l’origine degli assi, ossia xO = 0. Per cui

R/8 + 3/4 d = 0

d = - 4R/(8∙3) = - R/6

Come previsto, il valore è negativo.

Come piccolo esercizio supplementare, possiamo anche cambiare sistema di riferimento, spostandolo sia in x che in y rispetto al centro del cerchio più grande.

Rifacciamo la Fig.1 con gli assi spostati (Fig. 2).

Figura 2
Figura 2

Ovviamente, cambiano le coordinate dei tre baricentri, che diventano O(R,R), O’(3R/2, R), B(g,f)

Calcoliamo prima l'ascissa (eliminiamo subito π e R2 che si semplificano tra numeratore e denominatore)

xB = R = 3R/8+ 3g/4

3g/4 = R – 3R/8 = 5R/8

g = 5∙4 R/(8∙3)

g = 5/6 R

e poi l’ordinata

yB = R = R/4 + 3f/4

3f/4 = R - R/4 = 3∙4R

f = R

Abbiamo, ovviamente, ottenuto lo stesso punto B di prima.

Era anche possibile lavorare direttamente con le distanze tra i baricentri e l'origine...

4 commenti

  1. Michele Celenza

    Centro di massa e baricentro fisico coincidono solo se il corpo ha una densità costante in tutti i suoi punti e il corpo è in un campo gravitazionale uniforme

  2. Michele Celenza

    Forse tra gli esempi più semplici (almeno per me) si possono considerare due punti aventi la stessa massa m ed uguale distanza dal centro della Terra il loro centro di massa coincide col baricentro fisico ed è situato a metà del segmento avente per estremi i due punti. Se spostiamo uno dei due punti ad una distanza maggiore dell'altro il centro di massa sarà situato sempre a metà del segmento che li unisce ma il baricentro fisico NO: le forze peso che agiscono su i due punti non sono uguali (in modulo) ma sul punto più lontano è minore (secondo Newton).
    Il baricentro fisico si trova su un punto interno al segmento di unione e tale che i momenti delle due forze peso rispetto ad esso siano opposti

  3. vuoi dire spostare un punto mettendolo più lontano dal centro della Terra? Beh... ovviamente. Ma quello diventa il baricentro fisico e non il centro di massa. Baricentro geometrico e centro di massa restano uguali...

    Insomma ci sono tre punti che possono coincidere oppure no: baricentro geometrico, centro di massa e baricentro fisico. Nel quiz si parla solo dei primi due.

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