Categorie: Matematica
Tags: bisettrice cerchio corda qualsiasi corde geometria musica quiz relazioni tra corde
Scritto da: Vincenzo Zappalà
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Una nuova media... circolare (con QUIZ trigonometrico) ***
Abbiamo da poco parlato di corde (del cerchio) e di quanto possono essere utili per determinare le aree di figure curvilinee anche molto strane. Nel nostro piccolo, possiamo trovare una relazione tra due corde qualsiasi e la loro corda "media". Una formula semplicissima, all'interno di quella meravigliosa figura geometrica che è il cerchio... Ma voi potreste fare anche di più! Questa volta io mi prendo la parte più semplice e a voi "regalo" la parte più difficile.
Prendiamo un cerchio e tracciamo due corde a e b a partire da un punto P qualsiasi del cerchio. Tracciamo poi la bisettrice dell'angolo tra le due corde. Vogliamo ricavare la lunghezza della corda bisettrice (Fig. 1)
![Figura 1](http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/wp-content/uploads/2019/12/bise1-600x570.png)
E' sicuramente un gioco molto semplice, ma dovrebbe essere interessante per chi ama la musica e le note. Io sono completamente ignorante in materia e se qualcuno vuole dire qualcosa a proposito è il benvenuto! Occupiamoci, per adesso, solo della parte puramente geometrica...
Sia P il punto da cui tracciare le due corde e la relativa bisettrice. Siano invece A,B e M i corrispondenti punti alle loro estremità opposte. Conoscendo PA = a e PB = b, vogliamo determinare il valore di PM = m. In qualche modo è come volessimo fare una media "particolare" tra PA e PB. L'angolo tra le corde e la bisettrice sia θ.
Agiamo nel modo più intuitivo, congiungendo B con A in Fig. 2.
![Figura 2](http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/wp-content/uploads/2019/12/bise2-600x511.png)
Gli angoli ABM e BAM sono angoli alla circonferenza e devono entrambi essere uguali a θ, dato che devono essere uguali agli angoli APM e BPM, relativi agli stessi archi di circonferenza. Ne segue che il triangolo ABM deve essere isoscele (due angoli uguali) e quindi si ha che:
AM = MB
N.B. : Che AM e MB fossero uguali si poteva anche dedurre dal fatto che i due archi AM e BM sottendono lo stesso angolo al centro (2θ)
L'uguaglianza è quanto basta per considerare separatamente i due triangoli PAM e PBM e applicare ad entrambi il teorema di Carnot,
Dal primo abbiamo:
AM2 = a2 + m2 - 2am cosθ
Dal secondo
BM2 = b2 + m2 - 2bm cosθ
Ma AB2 = BC2
per cui:
a2 + m2 - 2am cos θ = b2 + m2 - 2bm cosθ
Semplificando e raccogliendo:
a2 - b2 = 2m(a - b) cosθ
m = (a2 - b2)/(2(a -b) cosθ)
Ricordando il solito "prodotto notevole" (a2 - b2) = (a + b)(a - b), si ha:
m = ((a + b)/2 )(1/cos θ)
In parole molto povere, non dobbiamo fare altro che fare una normale media delle due corde ((a + b)/2) e moltiplicarla per un fattore che va da 1 (θ = 0) a un valore che tende a infinito per θ che tende al valore massimo degenere di 90°.
La relazione la possiamo vedere molto bene, costruendo due triangoli rettangoli "ad hoc"...
Prolunghiamo, in Fig. 3, la corda m e poi da A tracciamo un segmento perpendicolare ad a che incontri il prolungamento in K. Facciamo lo stesso a partire da B con il punto d'incontro in H.
![Figura 3](http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/wp-content/uploads/2019/12/bise3-600x504.png)
Ci vuol poco a scrivere che:
PK = a /cosθ
PH = b/cosθ
Facendo la media tra PK e PH otteniamo:
(PK + PM)/2 = ((a + b)/2)(1/cosθ) = m
Da cui risulta chiaro che HM = MK.
ADESSO TOCCA VOI (quiz)
Devo dirvi la verità? Il metodo che ho usato non mi è piaciuto molto e preferisco un approccio diverso. Non solo diverso, ma capace di risolvere il caso generale, ossia con la corda centrale NON bisettrice (vedi Fig. 4).
![Figura 4](http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/wp-content/uploads/2019/12/bise4a-600x570.png)
Oltretutto, questo caso potrebbe anche essere più interessante per i musicisti.
Riassumendo: Trovare la relazione che lega la lunghezza della corda c alle due corde a e b e ai due angoli α e β.
P.S.: non cercate nel web e, soprattutto, non fidatevi dei ... cinesi!
2 commenti
A me viene una espressione di questo tipo:
Per trovarla ho introdotto in figura il diametro d che passa per il punto P.
Se chiamo
l'angolo tra questo diametro ed m, dovrei avere ![m=d \cos(\gamma)](http://latex.codecogs.com/gif.latex?m=d&space;\cos(\gamma))
Analogamente avrei
Da queste ultime si può ricavare
in funzione di
. Nonostante le apparenze è un sistema lineare con due equazioni e due incognite.
Che sostituita nella espressione precedente di m porta al risultato.
Bene Fabry,
io l'ho risolto in altro modo... forse ancora più veloce... ma sempre meglio dei ... cinesi (a tempo debito capirai perché...
)