Dic 6

Una nuova media... circolare (con QUIZ trigonometrico) ***

Abbiamo da poco parlato di corde (del cerchio) e di quanto possono essere utili per determinare le aree di figure curvilinee anche molto strane. Nel nostro piccolo, possiamo  trovare una relazione tra due corde qualsiasi e la loro corda "media". Una formula semplicissima, all'interno di quella meravigliosa figura geometrica che è il cerchio... Ma voi potreste fare anche di più! Questa volta io mi prendo la parte più semplice e a voi "regalo" la parte più difficile.

Prendiamo un cerchio e tracciamo due corde a e b a partire da un punto P qualsiasi del cerchio. Tracciamo poi la bisettrice dell'angolo tra le due corde. Vogliamo ricavare la lunghezza della corda bisettrice (Fig. 1)

Figura 1
Figura 1

E' sicuramente un gioco molto semplice, ma dovrebbe essere interessante per chi ama la musica e le note. Io sono completamente ignorante in materia e se qualcuno vuole dire qualcosa a proposito è il benvenuto! Occupiamoci, per adesso, solo della parte puramente geometrica...

Sia P il punto da cui tracciare le due corde e la relativa bisettrice. Siano invece A,B e M i corrispondenti punti alle loro estremità opposte. Conoscendo PA = a e PB = b, vogliamo determinare il valore di PM = m. In qualche modo è come volessimo fare una media "particolare" tra PA e PB. L'angolo tra le corde e la bisettrice sia θ.

Agiamo nel modo più intuitivo, congiungendo B con A in Fig. 2.

Figura 2
Figura 2

Gli angoli ABM e BAM  sono angoli alla circonferenza e devono entrambi essere uguali a θ, dato che devono essere uguali agli angoli APM e BPM, relativi agli stessi archi di circonferenza. Ne segue che il triangolo ABM deve essere isoscele (due angoli uguali) e quindi si ha che:

AM = MB

N.B. : Che AM e MB  fossero uguali si poteva anche dedurre dal fatto che i due archi AM e BM sottendono lo stesso angolo al centro (2θ)

L'uguaglianza è quanto basta per considerare separatamente i due triangoli PAM e PBM e applicare ad entrambi il teorema di Carnot,

Dal primo abbiamo:

AM2 = a2 + m2 - 2am cosθ

Dal secondo

BM2 = b2 + m2 - 2bm cosθ

Ma AB2 = BC2

per cui:

a2 + m2 - 2am cos θ = b2 + m2 - 2bm cosθ

Semplificando e raccogliendo:

a2 - b2 = 2m(a - b) cosθ

m = (a2 - b2)/(2(a -b) cosθ)

Ricordando il solito "prodotto notevole" (a2 - b2) = (a + b)(a - b), si ha:

m = ((a + b)/2 )(1/cos θ)

In parole molto povere, non dobbiamo fare altro che fare una normale media delle due corde ((a + b)/2) e moltiplicarla per un fattore che  va da 1 (θ = 0) a un valore che tende a infinito per θ che tende al valore massimo degenere di 90°.

La relazione la possiamo vedere molto bene, costruendo due triangoli rettangoli "ad hoc"...

Prolunghiamo, in Fig. 3, la corda m e poi da A tracciamo un segmento perpendicolare ad a che incontri il prolungamento in K. Facciamo lo stesso a partire da B con il punto d'incontro in H.

Figura 3
Figura 3

Ci vuol poco a scrivere che:

PK = a /cosθ

PH = b/cosθ

Facendo la media tra PK e PH otteniamo:

(PK + PM)/2 = ((a + b)/2)(1/cosθ) = m

 

Da cui risulta chiaro che HM = MK.

ADESSO TOCCA VOI (quiz)

Devo dirvi la verità? Il metodo che ho usato non mi è piaciuto molto e preferisco un approccio diverso. Non solo diverso, ma capace di risolvere il caso generale, ossia con la corda centrale NON bisettrice (vedi Fig. 4).

Figura 4
Figura 4

Oltretutto, questo caso potrebbe anche essere più interessante per i musicisti.

Riassumendo: Trovare la relazione che lega la lunghezza della corda c alle due corde a e b e ai due angoli α e β.

P.S.: non cercate nel web e, soprattutto, non fidatevi dei ... cinesi!

 

2 commenti

  1. Fabrizio

    A me viene una espressione di questo tipo:

    m=\frac{a \sin{\left( \beta \right) }+b \sin{\left( \alpha \right) }}{\sin{\left( \beta +\alpha \right) }}

    Per trovarla ho introdotto in figura il diametro d che passa per il punto P.

    Se chiamo \gamma l'angolo tra questo diametro ed m, dovrei avere m=d \cos(\gamma)

    Analogamente avrei

    a=d \cos(\alpha-\gamma)=d\, \left( \sin{\left( \alpha \right) } \sin{\left( \gamma \right) }+\cos{\left( \alpha \right) } \cos{\left( \gamma \right) }\right)

    b=d\, cos(\beta+\gamma)=d\,\left( \cos{\left( \beta \right) } \cos{\left( \gamma \right) }-\sin{\left( \beta \right) } \sin{\left( \gamma \right) }\right)

    Da queste ultime si può ricavare \cos(\gamma) in funzione di \alpha,\,\beta,\, a,\,b. Nonostante le apparenze è un sistema lineare con due equazioni e due incognite.

    \cos{\left( \gamma \right) }=\frac{a \sin{\left( \beta \right) }+b \sin{\left( \alpha \right) }}{d \cos{\left( \alpha \right) } \sin{\left( \beta \right) }+d \sin{\left( \alpha \right) } \cos{\left( \beta \right) }}=\frac{a \sin{\left( \beta \right) }+b \sin{\left( \alpha \right) }}{d \sin{\left( \beta +\alpha \right) }}

    Che sostituita nella espressione precedente di m porta al risultato.

     

     

  2. Bene Fabry,

    io l'ho risolto in altro modo... forse ancora più veloce... ma sempre meglio dei ... cinesi (a tempo debito capirai perché... :-P )

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