Dic 27

Soluzione del triangolo impossibile ***

L'esercizio va risolto solo con la trigonometria. Ciò non toglie che alla fine si ottenga un'equazione di quarto grado, la quale, però riesce a essere risolta con estrema facilità. Un bravo a Fabrizio...

Iniziamo con la figura che illustra la situazione e indica gli angoli e i segmenti conosciuti e non conosciuti.

triangolo

Il segmento x è ciò che vogliamo trovare. Sapendo che il triangolo BRV è equilatero di lato 1, abbiamo subito che i suoi angoli sono di 60°. Il triangolo RR'V è per costruzione un triangolo isoscele, con l'angolo in R pari a 120° (180° - 60°), da cui segue che RVR' = 30 °. Sarà ugualmente uguale a 30° anche l'angolo R''VV', in quanto opposto al vertice. Infine, BVR'' risulta essere un angolo retto, dato che  180° = BVR" + 30° + 60°.

Consideriamo il triangolo rettangolo BVR''. Chiamiamo a il lato VR'' (incognito) e α l'angolo in B (incognito). Possiamo scrivere, applicando il teorema dei seni:

x/sen (90) = a/sen α

x = a/sen α           .... (1)

Consideriamo, adesso, il triangolo VR''V' e applichiamo nuovamente il teorema dei seni, chiamando δ l'angolo in V' (incognito):

1/sen(30) = a/sen δ

a = 2 sen δ           .... (2)

Sostituendo la (2) nella (1), otteniamo:

x = 2 sen δ/sen α            .... (3)

Passiamo al triangolo BRV' e facciamo la somma dei suoi angoli:

180° = α  + 60 + 60 + δ

α + δ = 60 °

δ =  60 - α         .... (4)

Inseriamo la (4) nella (3) e otteniamo :

x = 2 sen (60 - α)/sen α           ... (5)

Ricordando la formula relativa al seno della differenza, possiamo scrivere:

x = 2 sen δ/sen α = 2 sen(60 – α)/sen α = 2(sen 60 cos α – cos 60 sen α )/sen α = 2 ((√3/2) cos α – ½ sen α )/sen α x = √3 cos α/sen α - 1             .... (6)

Passiamo nuovamente al triangolo rettangolo BVR " e applichiamogli il teorema di Pitagora:

x2 = 1 + a2

a = √(x2 – 1)          .... (7)

Ma possiamo anche scrivere:

tan α = a/1

a = sen α/cos α

cos α/sen α = 1/a = 1/√(x2 – 1)    .... (8)

Ricordiamoci la (6) e sostituiamo cos α/sen α con quanto dice la (8)

x = √3 cos α/sen α - 1  = √3 /√(x2 – 1) - 1

x  =  √3 /√(x2 – 1) - 1             .... (9)

(x +1) (x2 – 1) = 3

Quadrando ambo i membri si ha:

(x +1)2 (x2 – 1) = 3

(x2 + 1 + 2x)(x2 – 1) = 3

x4 + x2 + 2x3 – x2 - 1 – 2x = 3

x4 + 2x3 – 2x – 4 = 0

Sembrerebbe -anzi è-  un'equazione di quarto grado, che, però, non è difficile rendere facilmente trattabile:

x3(x + 2) - 2(x + 2) = 0

(x + 2)(x3 - 2) = 0

L'equazione è uguale a zero quando è zero una delle due parentesi di sinistra...

Tuttavia, dato che siamo in un piano euclideo non possiamo certo accettare una soluzione negativa, ossia x = - 2. Rimane solo la possibilità:

x3 = 2

che porta alla sola soluzione accettabile

x = 21/3 ≈ 1.26

Ovviamente, ci saranno altri procedimenti che portano allo stesso risultato, ma l'importante è aver trovato un triangolo veramente preparato!

QUI trovate il quiz

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