Questo è il nono articolo della serie "La Relatività Generale al microscopio"

 

Questa parte è decisamente molto ostica e non tutto può essere ricavato nei limiti imposti al Circolo. Malgrado si debba prendere per buona una certa dimostrazione, la trattazione ha dei risvolti non banali, al limite della professionalità. Di meglio non riesco a fare...

Ricordiamoci una frase fondamentale: un tensore rappresenta una relazione tra vettori che deve mantenersi inalterata, qualsiasi sia il sistema di riferimento in cui viene considerato.

Tornando all'inizio di tutto, è come dire che se il valore dell'altezza della collina del campo di grano è di due metri, lei resta alta due metri in qualsiasi altro sistema di riferimento usassimo (i tensori sono tensori in qualsiasi sistema di riferimento e qualsiasi sia il loro rango).

Possiamo esprimere lo stesso concetto in termini matematici e dire che

se

W_mn (x) = V_mn( x)

deve valere sempre che:

W_mn(y) = V_mn(y)

qualsiasi sia il riferimento y

Consideriamo, adesso, uno stesso vettore V_m (è sempre un tensore) e assumiamo che quanto detto prima valga anche per lui, ossia:

V_m(x) = V_m(y)

Se applichiamo l'operazione di derivata otteniamo due nuovi tensori T_mn(x) e T_mn(y) . Vale ancora l'uguaglianza tra di loro? Ossia, l'operazione "derivata" svolta su uno stesso vettore, considerato in due sistemi differenti, rimane ancora uguale. In parole matematiche:

Se

T_mn(x) =  ∂V_m(x)/∂xⁿ

vale anche:

T_mn(y) = ∂V_m(y)/∂yⁿ

Purtroppo NO!

La seconda equazione non è valida.

E' necessario dimostrarlo per descrivere quale sia la loro differenza ...

Ipotesi: T_mn(x) =  ∂V_m(x)/∂xⁿ

Tesi: T_mn(y) ≠ ∂V_m(y)/∂yⁿ

Andiamo a recuperare l'equazione (5) (eliminando, ancora una volta,  il segno fastidioso della sommatoria, che viene comunque indicata dagli indici r e s), che descrive la trasformazione di un tensore. Utilizziamola per scrivere T_mn(y) come trasformazione di un tensore T_rs(x)

T_mn(y) = (∂x^r/∂y^m)(∂x^s/∂yⁿ) T_rs (x)

il tensore  T_rs (x) , cambiando gli indici m e n in r e s, è proprio quello che abbiamo posto uguale alla derivata del vettore Vr (x). Inseriamo allora questa sua espressione nella formula precedente

T_mn(y) =(∂x^r/∂y^m)(∂x^s/∂yⁿ) T_rs (x)  = (∂x^r/∂y^m)(∂x^s/∂yⁿ) (∂V_r(x)/∂x^s)

Analizziamo i termini segnati in rosso... essi ci dicono che abbiamo eseguito la derivata di una funzione di funzione, dato che compare la derivata di V_r rispetto a x^s moltiplicata per la derivata di x^s rispetto a yⁿ. Possiamo perciò "contrarre" questa parte e scriverla soltanto come ∂V_r(x)/∂yⁿ. Otteniamo:

T_mn(y) = (∂x^r/∂y^m) ∂V_r(x)/∂yⁿ

Ricordiamo ancora che vogliamo dimostrare che

T_mn(y) ≠ ∂V_m(y)/∂yⁿ

Per cui dobbiamo dimostrare che:

(∂x^r/∂y^m) (∂V_r(x)/∂yⁿ) ≠ ∂V_m(y)/∂yⁿ

Facciamo adesso un passaggio un po' "ostico".. Cosa rappresenta il secondo termine? La derivata di un vettore. Ma un vettore possiamo sempre scriverlo come tensore abbassato di rango, e deve valere comunque l'equazione (5) ridotta per l'occasione. In pratica la (5)

T_mn(y) = (∂x^r/∂y^m)(∂x^s/∂yⁿ) T_rs(x)             (5)

diventa soltanto

V_m(y) = (∂x^r/∂y^m)V_r (x)  (non serve più la derivata ∂x^s/∂yⁿ dato che vi è solo un indice di sommatoria)

Inseriamo questo vettore al posto di Vm(y) nel secondo membro e otteniamo:

∂V_m(y)/∂yⁿ  = ∂((∂x^r/∂y^m)V_r (x))/∂yⁿ

Il secondo membro, però, è il differenziale di un prodotto e quindi deve seguire la regola ben conosciuta:

d(AB)  = A dB + dA B

per cui si ha:

∂V_m(y)/∂yⁿ  = ∂((∂x^r/∂y^m)V_r (x))/∂yⁿ =(∂x^r/∂y^m) (∂V_r(x)/∂yⁿ) + ∂((∂x^r/∂y^m)/∂yⁿ) V_r(x)

∂V_m(y)/∂yⁿ = (∂x^r/∂y^m) (∂V_r(x)/∂yⁿ) + ∂((∂x^r/∂y^m)/∂yⁿ) V_r(x)

Noi volevamo dimostrare che

∂V_m(y)/∂yⁿ ≠ (∂x^r/∂y^m) (∂V_r(x)/∂yⁿ)

e ci siamo riusciti dato che per avere l'uguaglianza bisogna aggiungere il termine

∂((∂x^r/∂y^m)/∂yⁿ) V_r(x)

la parte che moltiplica il vettore Vr(x) viene contratta in un simbolo

Γ_mn^r  =  ∂((∂x^r/∂y^m)/∂yⁿ)

che è chiamato simbolo di Christoffel

Cosa abbiamo imparato? Che due vettori che sono uguali in un certo sistema di riferimento (e quindi devono esserlo in tutti), danno luogo a derivate diverse in sistemi diversi. Tuttavia, siamo riusciti a calcolare quanto vale questa differenza e quindi poterla quantificare.

Introduciamo ancora un nuovo simbolo che incorpori sia la normale derivata che il termine additivo che abbiamo appena definito, lo chiamiamo derivata covariante ∇ (abbiamo notato l'uso ormai abituale delle coordinate covarianti, come si vede dagli indici posti in basso).

Ricapitolando..

abbiamo dimostrato che

T_mn(y) ≠ ∂V_m(y)/∂yⁿ 

bisogna, allora, aggiungere un termine

∇_nV_m =  ∂V_m(y)/∂yⁿ + Γ_mn^r V_r(x)              .... (7)

Abbiamo introdotto un nuovo termine correttivo che ci permette di calcolare la derivata di un certo vettore in due sistemi di riferimento diversi. In altre parole, si deve derivare in modo un po' più elaborato...

In parole, spero più semplici, la derivata covariante permette di calcolare la derivata di vettori definiti su spazi localmente piani (spazi tangenti a spazi curvi) e, quindi, di estendere a spazi curvi l'ordinaria derivazione dello spazio euclideo.

A noi servirà, soprattutto, per  eseguire il trasporto parallelo di un vettore  su spazi curvi.

Vi sarete sicuramente accorti che abbiamo lavorato su derivate di vettori, che sono sì anche loro dei tensori, ma di rango uno. Non ci vuole molto a estendere lo stesso risultato a tensori di rango due. In altre parole invece di

∇_nV_m

vogliamo scrivere (usiamo un nuovo indice per non confondere quelli propri del tensore)

∇_pT_mn

Basta applicare la (7) e aspettarsi, ovviamente, che appaiano due termini aggiuntivi (uno per l'indice m e uno per  l'indice n)..

∇_pT_mn = ∂T_mn/∂y^p + Γ_pm^r T_rn  +Γ_pn^r T_mr        .... (8)

Anche questa non è altro che una trasformazione tra tensori in due sistemi di riferimento. Lo so, lo so, si comincia ad andare in "palla" con tutti questi indici ... ma è necessario farlo...

Il succo di tutto è riuscire a definire il simbolo di Christoffel in funzione del tensore metrico. Ciò che va fatto è ricordare che il tensore metrico è una costante nello spazio piano e che quindi la sua derivata deve essere zero. La sua derivata è anch'essa un tensore e, perciò, deve essere zero in qualsiasi sistema di riferimento. A questo punto prendiamo in mano l'equazione (8) e applichiamola proprio al tensore metrico g_mn, sapendo che la sua derivata (per covariante che sia) deve rimanere zero in qualsiasi sistema di riferimento.

La (8) diventa:

∇_pg_mn = ∂g_mn/∂y^p + Γ_pm^r g_rn  + Γ_pn^rg_mr = 0

Da questa equazione è possibile ricavare Γ, ma dobbiamo fidarci di chi è riuscito a farlo (si tratta di matematica veramente superiore). Si ottiene, comunque:  

Γ_bc^a (x) = 1/2 g^ad [∂g_dc/∂x^b + ∂g_db/∂x^c - ∂g_bc/∂x^d]                .... (9)

Ciò che si è ottenuto è di aver descritto il simbolo di Christoffel in funzione del tensore metrico e delle sue derivate prime.

Il simbolo non è propriamente un tensore, ma nuovamente un fattore di correzione, che diventa zero (derivate del tensore metrico uguali a zero) in uno spazio piano.

Perché questa faticosa  trattazione, quando nell'equazione di Einstein non compare assolutamente il simbolo di Christoffel? La ragione è che lui è legato strettamente al tensore di Ricci che vedremo più avanti. La parte precedente potrebbe anche essere brutalmente saltata e accettata per buona, ossia ci si può limitare a sapere che il simbolo è legato al tensore metrico e alle sue derivate prime.