Questo è il tredicesimo articolo della serie "La Relatività Generale al microscopio"

Parliamoci subito chiaro. Solitamente si parla di massa che deforma lo spaziotempo. In realtà sarebbe molto meglio parlare dell'energia che deriva da una distribuzione di massa, soggetta a pressione, stress, quantità di moto, massa a riposo, densità, ecc. E' tutto questo insieme di forme energetiche che genera il campo "gravitazionale" in grado di curvare lo spaziotempo. Il tensore che andremo a descrivere è proprio quello che governa questa deformazione.

Ecco perché vi è il segno di uguale nell'equazione di Einstein: da un lato la descrizione della curvatura, dall'altro la causa di questa curvatura e le due parti devono essere equivalenti. La densità e il flusso di energia e di quantità di moto sono nella teoria di Einstein l'equivalente che la sola densità aveva nella teoria newtoniana (quanta massa è contenuta in un certo volume di materia).

Avviciniamoci allora al tensore fondamentale di tipo fisico, attraverso il caso più semplice che corrisponde praticamente alla situazione newtoniana. Ci sarà poi tempo e capacità di spingerci oltre. Ricordiamo, infatti, che l'approccio di Newton spiega perfettamente il caso in cui le velocità in gioco siano estremamente piccole.

Dati due punti su un piano, la distanza minima tra di loro si ottiene percorrendo una retta. Se prendiamo due punti su una superfice sferica, sappiamo ormai molto bene che la distanza minima viene percorsa lungo la linea che, per la superficie sferica, è la più rettilinea possibile, ossia una circonferenza massima che passa per i due punti. In entrambi i casi vale la definizione che la linea di minimo percorso viene chiamata geodetica. Saranno proprio le geodetiche di uno spaziotempo curvo quelle che saranno seguite e saranno descritte. Sono loro che vengono percorse dalle masse (ma anche da oggetti senza massa) che si trovano immerse nel campo gravitazionale einsteiniano. Per far ciò è bene descrivere con la giusta terminologia cosa si intende per geodetica in senso generale e come è meglio descriverla per "darla in mano" alle operazioni legate alla curvatura descritta finora.

Definiamo il vettore tangente. Esso dipende -finalmente- dal tempo, in quanto indica di quanto ci si è spostati in un certo intervallo di tempo lungo un certo asse x^μ :

dx^μ/dτ

usiamo τ in quanto con esso di definisce il tempo proprio lungo una linea e sappiamo che esso è un invariante, ossia rimane lo stesso in qualsiasi sistema di riferimento. Per determinare la minima distanza percorsa dal vettore tangente è necessario che la sua derivata sia ZERO (potrebbe anche essere un massimo, ma a noi interessa solo il minimo). In altre parole, la derivata ci regala il percorso di minima distanza.

Per quanto abbiamo visto precedentemente eseguire derivate ordinarie in relatività generale è molto pericoloso e al loro posto devono essere usate la derivate covarianti, ossia:

∇ dx^μ/dτ

Tuttavia, ricordiamoci cosa ci ha fornito l'equazione (7)

∇_nV_m =  ∂V_m(y)/∂yⁿ + Γ_mn^r V_r(x) 

Applicandola al nostro caso e annullandola, si ha:

∇ dx^μ/dτ = ∂(∂x^μ/∂τ)/∂τ + Γ = 0

Alla derivata ordinaria va aggiunto il corrispondente simbolo di Christoffel che possiamo permetterci di lasciare solo indicato (la derivata ordinaria diventa, naturalmente, una derivata parziale). Abbiamo di fronte una derivata di una derivata che possiamo scrivere come derivata seconda:

∂(∂x^μ/∂τ)/∂τ = ∂²x^μ/∂τ²

che altro non è che un'accelerazione, ossia la variazione della variazione della distanza, da cui segue:

∂²x^μ/∂τ² = - Γ

una relazione diretta tra accelerazione e simbolo di Christoffel.

Non ci resta che tornare a Newton , sapendo molto bene che se le velocità sono piccole la sua teoria può essere applicata senza commettere errori rilevabili, ossia la relatività generale deve ottenere i suoi stessi risultati. Questa uguaglianza risolverà molti problemi... Punto fondamentale: Einstein non rifiuta la teoria di Newton, ma la usa proprio per ricavare informazioni decisive nel caso più semplice e poterle poi trasmettere in un ambito ben più generale che Newton non poteva affrontare.