Non riesco ancora a capire se il silenzio assoluto sia dovuto alla vostra inesperienza e/o timore di uscire allo scoperto oppure proprio allo scarso interesse verso questi problemi (troppo facili?). Nel secondo caso vi prego di farmelo sapere e smetterò di tediarvi...

Vogliamo calcolare il baricentro di una semicirconferenza estremamente sottile e di un semicerchio a densità costante. Vale la pena ricordare che la circonferenza è solo la linea che delimita il cerchio.

I due casi sono illustrati in Fig. 1.

SOLUZIONE

Semicirconferenza

Scegliamo il punto da cui calcolare le coordinate del baricentro. E’ abbastanza ovvio  scegliere, come origine degli assi x e y, il centro della circonferenza e come asse x il diametro. In tal modo risulta subito che la coordinata xG del baricentro è uguale a zero. Resta , perciò, da calcolare solo la yG.

Consideriamo la Fig. 2 e prendiamo un trattino ds infinitesimo della circonferenza. La sua distanza dall’origine è uguale a r. Chiamiamo ϑ l’angolo che questo raggio forma con l’asse delle x. Si ricava subito il valore di

y = r sin ϑ

Questo valore è relativo al baricentro del trattino ds. Notiamo che, trattandosi di trattini senza spessore, la loro massa è proprio la lunghezza  degli archetti ds

La formula che regala le coordinate del baricentro (in questo caso la sola componete yG) è data da:

y_G = ∫ds y/∫ds

Al posto della massa abbiamo inserito ds.

E' immediato calcolare la y in funzione dell'angolo ϑ:

y = r sin ϑ

y_G = ∫ds r sin ϑ/∫ds

Nell’integrale appare come variabile l’angolo ϑ per cui dobbiamo far comparire dϑ. Niente di più facile, dato che

ds = r dϑ

Abbiamo perciò:

y_G = ∫r sin ϑ r dϑ /∫r dϑ

I limiti degli integrali sono 0 e π, trattandosi di una semicirconferenza.

y_G = ∫^π₀ r² sin ϑ dϑ/∫ ^π₀ r dϑ

r è una costante e può uscire dagli integrali, semplificandosi:

y_G = r∫ ^π₀ sin ϑ dϑ/∫ ^π₀ dϑ

L’integrale al numeratore vale -cos ϑ, mentre quello al denominatore vale ϑ. Per cui:

y_G = r[- cos ϑ] ^π₀/[ ϑ] ^π₀

Sapendo che cos π = -1 e cos 0 = 1, possiamo scrivere:

y_G = r(- cos π  - (-cos 0))/ π = r(1 + 1)/ π

y_G = 2r/π

 

Semicerchio

Vi sono vari metodi per il calcolo del baricentro di un semicerchio (ma anche per quello della semicirconferenza). Ne presentiamo uno piuttosto laborioso, che aiuta, però, a prendere dimestichezza con gli integrali, e un altro molto più semplice e immediato.

(1) Anche per il semicerchio consideriamo come origine il centro del semicerchio e come asse x il diametro. Le coordinate del baricentro sono x_G = 0 e y_G, la sola che deve essere calcolata (Fig. 3).

Consideriamo una striscia dA del semicerchio di spessore infinitesimo dx e altezza y. Essa può essere considerata un rettangolo la cui area è y dx.  Il baricentro di questa area ha come coordinata ½y . Al posto delle masse consideriamo le aree (il semicerchio ha spessore infinitesimo) e la formula relativa alla coordinata y del baricentro vale:

∫1/2 y dA/∫dA

Il denominatore è la somma di tutte le aree e quindi vale πr²/2 (area del semicerchio)

Nell’integrale al numeratore al posto di dA, possiamo scrivere y dx per cui diventa:

∫1/2 y y dx = 1/2∫y² dx

In esso compare dx per cui possiamo scrivere y in funzione di x. Trattando con un semicerchio risulta:

x² + y² = r²

y² = r² – x²

1/2∫(r² – x²) dx = ½ (∫r² dx – ∫x² dx)

r² è una costante che può uscire dall’integrale

½ (r²∫dx - ∫x² dx)

Come limiti degli integrali possiamo considerare 0 e r, in modo da coprire la metà del semicerchio) e poi moltiplicare per 2.

½(r²∫^r₀dx - ∫^r₀x² dx) = ½ (r² r – r³/3) = ½(2/3)r³

Moltiplichiamo per 2 e otteniamo:

(2/3)r³

La coordinata y_G del baricentro vale perciò:

y_G = (2/3)r³/πr²/2

yG = 4r/(3π)

Vi è, però, un metodo molto più veloce … soprattutto dopo che abbiamo già ottenuto il baricentro della semicirconferenza.

Consideriamo un settore infinitesimo del semicerchio, come mostra la Fig. 4.

Possiamo approssimarlo a un triangolino isoscele di base ds e altezza r. Il baricentro di tale triangolo si trova a una distanza dal centro pari a 2/3 r (cosa ben nota). A questo punto possiamo sostituire i nostri triangolini con delle aree infinitesime posizionate tutte a una distanza 2/3 dal centro. Il nostro semicerchio si trasforma in una semicirconferenza di raggio 2/3 r. Ma noi conosciamo già quanto vale la coordinata y_G del baricentro di una semicirconferenza:

y_G = 2r/π

Al poso di r dobbiamo inserire 2/3 r, per cui otteniamo:

y_G = 4r/3π

Decisamente più semplice… Notiamo che lo stesso risultato poteva essere ottenuto introducendo l'angolo ϑ o lavorando solo sulla x, facendo variare y.