8/06/15

Composizione relativistica delle velocità **

Per una trattazione completa dell’argomento, si consiglia di leggere il relativo approfondimento

 

Il problema era:

Sia v la velocità con cui il sistema S’ si muove rispetto a S. Sia u’ la velocità con cui  un punto P’ si sposta nel sistema S’Vogliamo sapere quanto vale la velocità u del punto P’ nel sistema S.

Come già detto, la relatività galileiana non avrebbe avuto problemi a scrivere:

u = u’ + v

Andiamo con ordine…

Come possiamo scrivere la velocità u’ nel sistema S’? Nessun problema, dato che stiamo lavorando in un sistema che può essere considerato fermo come ormai sappiamo molto bene. Il significato di velocità è sempre lo stesso, per cui avremo:

u’ = Δx’/Δdt’

La cosa non cambia nemmeno se ci riferiamo al sistema S:

u = Δx/Δt

Ciò che veramente cambia è la relazione che esiste tra x e x’ e tra t e t’. Ci viene in aiuto la ormai ben nota trasformazione di Lorentz. Scriviamola per un valore qualsiasi di x e di t

x = γ(x’+ βct’ ) = γ(x’+vt’)

t = γ(t’ + βx’/c) = γ(t’+vx’/c2)

Questa relazione vale per qualsiasi x e t e quindi si ha, per due qualsiasi valori x2, x1 e t2 e t1:

x2 = γ(x2’+vt2’)

x1 = γ(x1’+vt1’)

t2 = γ(t2’+vx2’/c2)

t1 = γ(t1’+vx1’/c2)

Indichiamo

Δx = x2 – x1

e

Δt = t2 – t1

da cui

Δx = γ(Δx’ + vΔt’)

E, analogamente:

Δt = γ(Δt’ + vΔx’/c2)

E’ immediato allora scrivere la velocità u:

u = Δx/Δt = γ(Δx’ + vΔt’)/ γ(Δt’ + vΔx’/c2) = (Δx’ + vΔt’)/(Δt’ + vΔx’/c2)

Non ci resta, adesso, che dividere numeratore e denominatore per Δt’:

u = (Δx’/Δt’ + v)/(1 + vΔx’/Δt’c2)

ma, sappiamo che:

u’ = Δx’/Δdt’

Da cui:

u = (u’ + v)/(1 + vu’/c2)

Come al solito, è facilissimo ricavare u’ in funzione di u (basta inserire –v al posto di v)

u’ = (u - v)/(1 - vu/c2)

Non ci resta che provare che per v molto piccola si ritorna a Galileo…

Beh… nel denominatore si ha il rapporto v/c2 che tende ovviamente a zero, da cui:

u = u’ + v

Controlliamo, anche, che valga sempre la costanza della velocità della luce. Sia, ad esempio, u’ = c (il famoso fotone lanciato nel sistema S’). Si ottiene:

u = (c + v)/(1 + vc/c2) = (c + v)/(1 + v/c) = (c + v)/(c + v)/c = c

Anche nel sistema S il fotone viaggia alla velocità c, indipendentemente da quale sia la velocità relativa tra S e S’.

Lo stesso risultato lo otterremmo se imponessimo che anche v sia la velocità della luce (un esercizio che avevamo toccato nelle discussioni sulla relatività della simultaneità… ricordate? Avevamo fatto viaggiare il treno a velocità c e avevamo acceso la lampadina su di lui).

u = (c + c)/(1 + cc/c2) = 2c/2 = c

Come vedete ho ridotto al minimo le formule, ma, come sempre, la matematica permette di utilizzare approcci apparentemente diversi che portano, comunque, allo stesso risultato fisico.

Bene, adesso siamo pronti ad affrontare il paradosso dei gemelli “in diretta" e mostrare senza bisogno della relatività generale che sia il viaggiatore che il terrestre sono pienamente d’accordo su chi invecchia di meno.

Un consiglio: andatevi a rileggere i primi capitoli sul diagramma di Minkowski (da 1 a 4), dove si ricavano gli assi trasformati, le loro equazioni e quelle che forniscono l’unità di misura e, ovviamente anche questo… Ne avremo bisogno per fare un po’ di geometria analitica! Rette per un punto o poco di più… (andate anche a rileggervi "tutto ciò che vorremmo sapere su una retta" QUI ).

Ah … dimenticavo! Ricordate di mettervi una bella tuta spaziale e di munirvi di un trasmettitore di segnali elettromagnetici per scambiare informazioni con chi sta a terra… Le informazioni viaggeranno un po’ lentamente, ma sarete sicuri che la loro velocità di propagazione sarà uguale per chi sta a terra e per chi sfida lo spazio! Ah… se non ci fosse stato Albert!

20 commenti

  1. Daniela

    Scusa Prof., forse mi si sono intrecciati gli occhi, ma è possibile che ci sia un errore di trascrizione nella formula di t?
    Il secondo fattore dentro la parentesi non dovrebbe essere vx'/c^2 anziché vt'/c^2?

    P.S.
    Ora ho capito perché mi tornava un risultato improponibile... invece di usare i simboli Delta(x) e Delta(t) - scusa ma non trovo il simbolo del delta sulla tastiera! - avevo lasciato Xa-Xb, Ta-Tb ecc... !!
    Comunque sono stra-felice di avere ragionato nel modo giusto... altro che parole crociate, questo sì che è linfa vitale per il cervello :mrgreen:

  2. cara Dany! Hai perfettamente ragione... in questo periodo dovrei andare con maggiore calma... accidenti! Ho scritto male la prima volta e poi ho fatto il solito copia e incolla trascinandomi dietro l'errore!!!
    Comunque... è servito a farti capire che hai capito!!!!! :mrgreen:

    Abbi pazienza e GRAZIE mille! Questi sono gli amici che servono al circolo!!!

    Vedrai come ti divertirai con il paradosso... basta solo disegnare e tutto viene in modo perfetto!

  3. Daniela

    Di' la verità, Prof., l'hai fatto apposta per mettere alla prova la nostra attenzione! :-P

  4. poteri dire di sì, ma sarebbe una... sacrosanta bugia!!!! :mrgreen:

  5. claudio

    Spero che il blog vada avanti così com'è, non sopporterei la pubblicità . La pubblicità permea ogni luogo e ogni istante come i fotoni , solamente che questi ultimi pur essendo un numero infinito non rompono i c...... i . Meno male che non li hanno inventati gli uomini altrimenti avrebbero messo dentro ciascuno di essi un messaggio pubblicitario . Scusate lo sfogo .

  6. caro Claudio,
    se riusciamo a mandarlo avanti con l'aiuto di SMA, stai tranquillo che non vedrai mai pubblicità!!! Poi, in realtà, pensavo che per mantenere un sito costasse molto di più... A certe cifre, non mi venderei mai per ospitare pubblicità, a meno che non volessi guadagnarci sopra. Ma che senso ha aprire un sito divulgativo e poi volerci guadagnare? Almeno per me sono concetti e motivazioni proprio agli antipodi! :wink:

  7. Alvermag

    Beh, visto che il blog “non sparisce” inoltro questo mio commento.

    Essendo molto curioso di sapere cosa accade quando un corpo è in moto rispetto al sistema S’ (a sua volta in moto rispetto ad S) lungo una direzione ortogonale a quella del moto di S’ rispetto ad S, ho cercato di impostare un ragionamento che renda conto di tale situazione.

    Ho cercato, compatibilmente con le mie limitate conoscenze, di analizzare la questione nella sua interezza. Ho diviso la trattazione in due parti: se Enzo riterrà corretto l’approccio e le relative conclusioni pubblicherò successivamente la seconda parte delle mie elucubrazioni.

    Si tratta del caso che Enzo, per non complicare le cose, ha escluso dalla sua trattazione. A me sembra giusto parlarne perché rende completa la trattazione della composizione delle velocità; inoltre, se non ho preso fischi per fiaschi, l’approccio è abbastanza semplice. Mancano figure esplicative che non sono capace di produrre con i mezzi informatici: a questo, se vuole, può però riparare Paolo.

    Enzo troverà il modo di evidenziare qualche aspetto specifico che a me è sfuggito; gli chiedo, fin da ora, di dedicare un articolo della serie RR all’approfondimento di detta questione.

    Bene, partiamo con la prima parte.

    Il sistema S’ si muova con velocità v rispetto al sistema S considerato immobile. La velocità v sia parallela alla direzione x’ di S’, coincidente con l’asse x del sistema S.
    Il punto P’ si muova, rispetto al sistema S’, lungo la direzione y’ ortogonale a x’. Tale moto avvenga con velocità u’ (sempre rispetto a S’). Il moto di P’ lungo l’asse x=x’ sia solidale al moto del sistema S’.

    In pratica P’ si muove, se visto da S, con velocità v lungo l’asse x e con velocità u lungo l’asse y. v ed u sono quindi le due componenti ortogonali del vettore velocità di P’ rispetto ad S.

    Si vuole esprimere u’ in funzione di u, essendo quest’ultima la componente della velocità di P’ nella direzione y, rispetto al sistema S.

    Scrivo le trasformazioni di Lorentz nei seguenti casi:

    1. Coordinate del punto P’ riferito al sistema S’:
    x’’ = x’
    y’’ = (y’-u’*t’)/√(1-u’^2/c^2)
    t’’ = (t’-y’*u’/c^2)/√(1-u’^2/c^2)
    con x’’, y’’ e t’’ coordinate del sistema solidale a P’.

    2. Coordinate del sistema S’ riferito al sistema S:
    x’ = (x-v*t)/√(1-v^2/c^2)
    y’ = y
    t’ = (t-x*v/c^2)/√(1-v^2/c^2)

    3. Moto del punto P’ riferito al sistema S:
    x/t = v (componente lungo l’asse x)
    y/t = u (componente lungo l’asse y)

    Nel calcolo di u pongo ora y’’=0; considero cioè un osservatore solidale al punto P’ (per lui scorre il tempo ma non muta la posizione).

    Dalla seconda delle equazioni 1): y’’= 0 = y’-u’*t’ ovvero:
    y’ = y = u’*t’

    Sostituisco ora nella terza delle 2):
    t’ = (t-x*v/c^2)/√(1-v^2/c^2)

    In quest’ultima equazione pongo inoltre:
    x = v*t

    Ottengo quindi:
    y = u’*(t-v*v*t/c^2)/√(1-v^2/c^2)

    Svolgendo i calcoli:
    y/t = u = u’*√(1-v^2/c^2)

    Con le unità di misura normalizzate:
    u = u’*√(1-v^2)

    Se u’ = 0 → u = 0 com’era da attendersi.
    Se v = 0 → u = u’ com’era da attendersi.

    - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
    Si può giungere alla stessa formula in modo più immediato, scrivendo direttamente:

    2. Coordinate sistema S’ riferito al sistema S:
    x’ = (x-v*t)/√(1-v^2/c^2)
    y’ = y
    t’ = (t-x*v/c^2)/√(1-v^2/c^2)

    da cui:
    u’ = y’/t’ = y/t’ = y*√(1-v^2/c^2)/[t-(v*x/c^2)]

    ponendo x=v*t si ottiene:
    u’ = (y/t)*√(1-v^2/c^2)/[1-(v^2/c^2)]

    semplificando:
    u’ = u/√(1-v^2)

    ovvero:
    u = u’*√(1-v^2)

    Riporto qualche esempio (per semplicità, u’=v):
    u’ v u √(u^2+v^2)
    0,10 0,10 0,0995 0,1411
    0,20 0,20 0,1960 0,2800
    0,30 0,30 0,2862 0,4146
    0,40 0,40 0,3666 0,5426
    0,50 0,50 0,4330 0,6614
    0,60 0,60 0,4800 0,7684
    0,70 0,70 0,4999 0,8602
    0,80 0,80 0,4800 0,9330
    0,90 0,90 0,3923 0,9818
    0,95 0,95 0,2966 0,9952
    0,99 0,99 0,1397 0,9996
    1,00 1,00 0,0000 1,0000

    Si nota come il valore relativistico di u raggiunga il massimo per v=u’=√0,5=0,7071.

    Lascio ora u’=cost, ad esempio pari a 0,7:
    u’ v u √(u^2+v^2)
    0,70 0,10 0,6996 0,7067
    0,70 0,20 0,6859 0,7145
    0,70 0,30 0,6677 0,7320
    0,70 0,40 0,6416 0,7561
    0,70 0,50 0,6062 0,7858
    0,70 0,60 0,5600 0,8207
    0,70 0,70 0,4999 0,8602
    0,70 0,80 0,4200 0,9035
    0,70 0,90 0,3051 0,9503
    0,70 0,95 0,2186 0,9748
    0,70 0,99 0,0987 0,9949
    0,70 1,00 0,0000 1,0000

    Si nota come il valore relativistico di u diminuisca regolarmente fino a raggiungere lo zero quando v=1,0.

    L’aumento di v ha quindi l’effetto di diminuire il modulo della componente trasversale della velocità quando osservato dal sistema S.

    Il modulo della velocità totale osservata dal sistema S aumenta invece all’aumentare di v fino a raggiungere il massimo (velocità della luce) quando v=c=1.

    Faccio ora il confronto tra la composizione galileiana e quella relativistica:
    G E GALILEO EINSTEIN
    u’ v u u √(u²+v²) √(u²+v²)
    0,10 0,10 0,10 0,0995 0,1414 0,1411
    0,20 0,20 0,20 0,1960 0,2828 0,2800
    0,30 0,30 0,30 0,2862 0,4243 0,4146
    0,40 0,40 0,40 0,3666 0,5657 0,5426
    0,50 0,50 0,50 0,4330 0,7071 0,6614
    0,60 0,60 0,60 0,4800 0,8485 0,7684
    0,70 0,70 0,70 0,4999 0,9899 0,8602
    0,80 0,80 0,80 0,4800 1,1314 0,9330
    0,90 0,90 0,90 0,3923 1,2728 0,9818
    0,95 0,95 0,95 0,2966 1,3435 0,9952
    0,99 0,99 0,99 0,1397 1,4000 0,9996
    1,0 0 1,00 1,00 0,0000 1,4142 1,0000

    G E GALILEO EINSTEIN
    u’ v u u √(u²+v²) √(u²+v²)
    0,70 0,10 0,70 0,6996 0,7071 0,7067
    0,70 0,20 0,70 0,6859 0,7280 0,7145
    0,70 0,30 0,70 0,6677 0,7616 0,7320
    0,70 0,40 0,70 0,6416 0,8062 0,7561
    0,70 0,50 0,70 0,6062 0,8600 0,7858
    0,70 0,60 0,70 0,5600 0,9219 0,8207
    0,70 0,70 0,70 0,4999 0,9899 0,8602
    0,70 0,80 0,70 0,4200 1,0630 0,9035
    0,70 0,90 0,70 0,3051 1,1402 0,9503
    0,70 0,95 0,70 0,2186 1,1800 0,9748
    0,70 0,99 0,70 0,0987 1,2125 0,9949
    0,70 1,00 0,70 0,0000 1,2206 1,0000

    Si nota come la composizione relativistica si differenzi da quella galileiana (u=u’) per la comparsa del termine √(1-v^2/c^2) al numeratore.
    Inoltre per Galileo i valori di u’ e v non sono limitati da c ma possono raggiungere qualunque valore.

    Qui termina la prima parte della trattazione. Attendo il commento di Enzo per l’approvazione o meno di quanto scritto per pubblicare eventualmente il seguito dell'avventura.

  8. Alvermag

    Purtroppo le tabelle si sono ingarbugliate. Proverò a riscriverle in modo comprensibile.

  9. Alvermag

    Ho provato a separare i numeri interponendo dei trattini nelle tabelle. Speriamo bene.

    Essendo molto curioso di sapere cosa accade quando un corpo è in moto rispetto al sistema S’ (a sua volta in moto rispetto ad S) lungo una direzione ortogonale a quella del moto di S’ rispetto ad S, ho cercato di impostare un ragionamento che renda conto di tale situazione.

    Ho cercato, compatibilmente con le mie limitate conoscenze, di analizzare la questione nella sua interezza. Ho diviso la trattazione in due parti: se Enzo riterrà corretto l’approccio e le relative conclusioni pubblicherò successivamente la seconda parte delle mie elucubrazioni.

    Si tratta del caso che Enzo, per non complicare le cose, ha escluso dalla sua trattazione. A me sembra giusto parlarne perché rende completa la trattazione della composizione delle velocità; inoltre, se non ho preso fischi per fiaschi, l’approccio è abbastanza semplice.

    Enzo troverà il modo di evidenziare qualche aspetto specifico che a me è sfuggito; gli chiedo, fin da ora, di dedicare un articolo della serie RR all’approfondimento di detta questione.

    Bene, partiamo con la prima parte.

    Il sistema S’ si muova con velocità v rispetto al sistema S considerato immobile. La velocità v sia parallela alla direzione x’ di S’, coincidente con l’asse x del sistema S.
    Il punto P’ si muova, rispetto al sistema S’, lungo la direzione y’ ortogonale a x’. Tale moto avvenga con velocità u’ (sempre rispetto a S’). Il moto di P’ lungo l’asse x=x’ sia solidale al moto del sistema S’.

    In pratica P’ si muove, se visto da S, con velocità v lungo l’asse x e con velocità u lungo l’asse y. v ed u sono quindi le due componenti ortogonali del vettore velocità di P’ rispetto ad S.

    Si vuole esprimere u’ in funzione di u, essendo quest’ultima la componente della velocità di P’ nella direzione y, rispetto al sistema S.

    Scrivo le trasformazioni di Lorentz nei seguenti casi:

    1. Coordinate del punto P’ riferito al sistema S’:
    x’’ = x’
    y’’ = (y’-u’*t’)/√(1-u’^2/c^2)
    t’’ = (t’-y’*u’/c^2)/√(1-u’^2/c^2)
    con x’’, y’’ e t’’ coordinate del sistema solidale a P’.

    2. Coordinate del sistema S’ riferito al sistema S:
    x’ = (x-v*t)/√(1-v^2/c^2)
    y’ = y
    t’ = (t-x*v/c^2)/√(1-v^2/c^2)

    3. Moto del punto P’ riferito al sistema S:
    x/t = v (componente lungo l’asse x)
    y/t = u (componente lungo l’asse y)

    Nel calcolo di u pongo ora y’’=0; considero cioè un osservatore solidale al punto P’ (per lui scorre il tempo ma non muta la posizione).

    Dalla seconda delle equazioni 1): y’’= 0 = y’-u’*t’ ovvero:
    y’ = y = u’*t’

    Sostituisco ora nella terza delle 2):
    t’ = (t-x*v/c^2)/√(1-v^2/c^2)

    In quest’ultima equazione pongo inoltre:
    x = v*t

    Ottengo quindi:
    y = u’*(t-v*v*t/c^2)/√(1-v^2/c^2)

    Svolgendo i calcoli:
    y/t = u = u’*√(1-v^2/c^2)

    Con le unità di misura normalizzate:
    u = u’*√(1-v^2)

    Se u’ = 0 → u = 0 com’era da attendersi.
    Se v = 0 → u = u’ com’era da attendersi.

    - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
    Si può giungere alla stessa formula in modo più immediato, scrivendo direttamente:

    2. Coordinate sistema S’ riferito al sistema S:
    x’ = (x-v*t)/√(1-v^2/c^2)
    y’ = y
    t’ = (t-x*v/c^2)/√(1-v^2/c^2)

    da cui:
    u’ = y’/t’ = y/t’ = y*√(1-v^2/c^2)/[t-(v*x/c^2)]

    ponendo x=v*t si ottiene:
    u’ = (y/t)*√(1-v^2/c^2)/[1-(v^2/c^2)]

    semplificando:
    u’ = u/√(1-v^2)

    ovvero:
    u = u’*√(1-v^2)

    Riporto qualche esempio (per semplicità, u’=v):
    u’ v u √(u^2+v^2)
    0,10 - 0,10 - 0,0995 - 0,1411
    0,20 - 0,20 - 0,1960 - 0,2800
    0,30 - 0,30 - 0,2862 - 0,4146
    0,40 - 0,40 - 0,3666 - 0,5426
    0,50 - 0,50 - 0,4330 - 0,6614
    0,60 - 0,60 - 0,4800 - 0,7684
    0,70 - 0,70 - 0,4999 - 0,8602
    0,80 - 0,80 - 0,4800 - 0,9330
    0,90 - 0,90 - 0,3923 - 0,9818
    0,95 - 0,95 - 0,2966 - 0,9952
    0,99 - 0,99 - 0,1397 - 0,9996
    1,00 - 1,00 - 0,0000 - 1,0000

    Si nota come il valore relativistico di u raggiunga il massimo per v=u’=√0,5=0,7071.

    Lascio ora u’=cost, ad esempio pari a 0,7:
    u’ v u √(u^2+v^2)
    0,70 - 0,10 - 0,6996 - 0,7067
    0,70 - 0,20 - 0,6859 - 0,7145
    0,70 - 0,30 - 0,6677 - 0,7320
    0,70 - 0,40 - 0,6416 - 0,7561
    0,70 - 0,50 - 0,6062 - 0,7858
    0,70 - 0,60 - 0,5600 - 0,8207
    0,70 - 0,70 - 0,4999 - 0,8602
    0,70 - 0,80 - 0,4200 - 0,9035
    0,70 - 0,90 - 0,3051 - 0,9503
    0,70 - 0,95 - 0,2186 - 0,9748
    0,70 - 0,99 - 0,0987 - 0,9949
    0,70 - 1,00 - 0,0000 - 1,0000

    Si nota come il valore relativistico di u diminuisca regolarmente fino a raggiungere lo zero quando v=1,0.

    L’aumento di v ha quindi l’effetto di diminuire il modulo della componente trasversale della velocità quando osservato dal sistema S.

    Il modulo della velocità totale osservata dal sistema S aumenta invece all’aumentare di v fino a raggiungere il massimo (velocità della luce) quando v=c=1.

    Faccio ora il confronto tra la composizione galileiana e quella relativistica:
    G E GALILEO EINSTEIN
    u’ v u u √(u²+v²) √(u²+v²)
    0,10 - 0,10 - 0,10 - 0,0995 - 0,1414 - 0,1411
    0,20 - 0,20 - 0,20 - 0,1960 - 0,2828 - 0,2800
    0,30 - 0,30 - 0,30 - 0,2862 - 0,4243 - 0,4146
    0,40 - 0,40 - 0,40 - 0,3666 - 0,5657 - 0,5426
    0,50 - 0,50 - 0,50 - 0,4330 - 0,7071 - 0,6614
    0,60 - 0,60 - 0,60 - 0,4800 - 0,8485 - 0,7684
    0,70 - 0,70 - 0,70 - 0,4999 - 0,9899 - 0,8602
    0,80 - 0,80 - 0,80 - 0,4800 - 1,1314 - 0,9330
    0,90 - 0,90 - 0,90 - 0,3923 - 1,2728 - 0,9818
    0,95 - 0,95 - 0,95 - 0,2966 - 1,3435 - 0,9952
    0,99 - 0,99 - 0,99 - 0,1397 - 1,4000 - 0,9996
    1,00 - 1,00 - 1,00 - 0,0000 - 1,4142 - 1,0000

    G E GALILEO EINSTEIN
    u’ v u u √(u²+v²) √(u²+v²)
    0,70 - 0,10 - 0,70 - 0,6996 - 0,7071 - 0,7067
    0,70 - 0,20 - 0,70 - 0,6859 - 0,7280 - 0,7145
    0,70 - 0,30 - 0,70 - 0,6677 - 0,7616 - 0,7320
    0,70 - 0,40 - 0,70 - 0,6416 - 0,8062 - 0,7561
    0,70 - 0,50 - 0,70 - 0,6062 - 0,8600 - 0,7858
    0,70 - 0,60 - 0,70 - 0,5600 - 0,9219 - 0,8207
    0,70 - 0,70 - 0,70 - 0,4999 - 0,9899 - 0,8602
    0,70 - 0,80 - 0,70 - 0,4200 - 1,0630 - 0,9035
    0,70 - 0,90 - 0,70 - 0,3051 - 1,1402 - 0,9503
    0,70 - 0,95 - 0,70 - 0,2186 - 1,1800 - 0,9748
    0,70 - 0,99 - 0,70 - 0,0987 - 1,2125 - 0,9949
    0,70 - 1,00 - 0,70 - 0,0000 - 1,2206 - 1,0000

    Si nota come la composizione relativistica si differenzi da quella galileiana (u=u’) per la comparsa del termine √(1-v^2/c^2) al numeratore.

    Inoltre per Galileo i valori di u’ e v non sono limitati da c ma possono raggiungere qualunque valore.

    N.B.:
    nelle ultime due tabelle ho scritto G (Galileo) sopra la terza colonna (valore galileiano di u) ed E (Einstein) sopra la quarta colonna (valore relativistico di u).
    Ancora G sopra la quinta colonna (composizione classica delle velocità) ed E sopra la sesta colonna (composizione relativistica delle velocità).

    Qui termina la prima parte della trattazione. Attendo il commento di Enzo per l’approvazione o meno di quanto scritto.

  10. Alvermag

    Uffa, riporto - sempre separate dal trattino - le lettere che stanno sopra le tabelle.

    1^ e 2^ tabella:

    u’ - v - u - √(u^2+v^2)

    3^ e 4^ tabella:

    u’ - v - u - u - √(u²+v²) - √(u²+v²)

    Nelle ultime due tabelle ho scritto G (Galileo) sopra la terza colonna (valore galileiano di u) ed E (Einstein) sopra la quarta colonna (valore relativistico di u).
    Ancora G sopra la quinta colonna (composizione classica delle velocità) ed E sopra la sesta colonna (composizione relativistica delle velocità).

  11. peppe

    complimenti alvy sei in formissima....
    :mrgreen: :mrgreen:

  12. Alvermag

    Un accidente, caro Peppe, mi trovo sempre in difficoltà nello scrivere le tabelle.

    A questo proposito, visto che state cercando un sistema migliore per scrivere i commenti, perchè non ne trovate uno che faccia apparire le tabelle come vengono impostate?

    Il programma che stiamo usando è veramente impossibile! Sul foglio di word ho i numeri incolonnati alla perfezione poi nel commento .... puff viene fuori una porcheria inenarrabile!!!

  13. caro Alvy,
    c'è qualcosa che non mi torna. In questo caso, la velocità u' misurata nel riferimento in moto S' ha solamente la componente y' che è definita come lo spostamento dy' lungo y' nell'intervallo di tempo dt'. Al contrario, nel sistema S, il corpo avrà una componente della velocità anche lungo l'asse x.
    La formula finale si ottiene molto semplicemente facendo un rapporto tra l'incremento dy' = dy e dt'. Il risultato finale non mi sembra proprio quello da te prospettato... A meno che non mi stia sbagliando da qualche parte (non capisco il bisogno di introdurre y", ecc...). Forse dipende dal punto 1)...
    Purtroppo sto lavorando a spizzico e non posso scrivere i passaggi come vorrei nei commenti (io non sono molto bravo con i simboli...). Nel giro di pochi giorni dovrei tornare a regime (incrociando le dita). Per adesso, eliminando il tempo del viaggio e quello delle altre faccende "casalinghe", il tempo che mi rimane è risicato, tranne la mattina molto presto. Ti prometto che al ritorno di Barbara scriverò qualcosa, magari come appendice.

    Probabilmente inseriremo anche le componenti in x e y della composizione relativistica, ma dovendo trattare solo con Minkowski (e ne avanza, direi...), potremmo anche tralasciare le altre due coordinate. Per adesso, direi che è meglio proseguire con l'utilizzo del diagramma. Tu prova pure, ma ti prego di rivedere un po' i conti... :wink:

  14. peppe

    sei fortunato alvy
    ecco qui la barra degli strumenti con la tabella da poter inserire nei commenti
    premi sul terz'ultimo pulsante per estendere a tutti i pulsanti

    http://immacreazioni.altervista.org/busta-porta-soldi-un-matrimonio-speciale/

  15. o povero me! Ma quale sarebbe il terz'ultimo pulsante?????
    Niente da fare... io ho bisogno di spiegazioni più semplici, anche perché non ho seguito quanto detto nei commenti al blocco del sito...

    Purtroppo domattina devo andare a Cuneo già alle 5 (cinque...) e non avrò tempo per dedicarmi a simboli vari e ad Alvy. Se ci riesco, al ritorno , provo a scrivere l'appendice sulla componente in y... Ma non è una vera promessa, solo un "forse"...

    Per Alvy,
    prova un po' a non esplicitare la componete in x e scrivere solo la componente in y con la componente in x solo indicata. Vediamo se riesco a inserirmi meglio nei tuoi conti...

  16. peppe

    colpa mia
    rimediamo :-)
    immacreazioni.altervista.org/scatola-esplosiva-porta-soldi-il-pensierino-originale-per-ogni-cerimonia/#comment

    allora nello spazio dove inserire il commento, c'è sopra vari pulsanti....se è visibile una sola riga di pulsanti, bisogna cliccare il pulsante prima di fx per attivare la seconda riga di pulsanti....li si trova anche il pulsante della tabella

  17. peppe

    sto cercando il modo di mantenere attiva tutti i pulsanti senza cliccare su quel bottone maledetto. :evil:

  18. Alvermag

    Forse ho ingarbugliato un pò troppo le cose. Cerco di semplificare.

    Scrivo le relazioni canoniche della RR che intercorrono tra due sistemi in moto relativo con velocità v parallela all'asse delle x (S' si muova con velocità v rispetto ad S considerato fermo):

    x’ = (x-v*t)/√(1-v^2/c^2)
    y’ = y
    t’ = (t-x*v/c^2)/√(1-v^2/c^2)

    Consideriamo ora un corpo che si muova di conserva con S' lungo l'asse x e con velocità u' lungo l'asse y' (sempre se osservato da S').

    Posso definire:
    u’ = dy’/dt’ =dy/dt’

    Dal momento che sto lavorando con velocità costanti posso passare dai differenziali agli intervalli finiti, scrivendo:
    u'=dy/dt’=y/t'.

    Se nella terza delle equazioni "canoniche" pongo x=v*t (cosa senz'altro vera), ottengo:
    t'=t*√(1-v^2/c^2)

    Posso dunque scrivere:
    u'=y/t'=y/[t*√(1-v^2/c^2)]=(y/t)*√(1-v^2/c^2)

    D'altra parte dy/dt=y/t è proprio la componente della velocità osservata da S e parallela ad y. Chiamo questa componente u.

    Sostituendo nella formula precedente posso scrivere:

    u = u' * √(1-v^2/c^2)

    Ho espresso la componente della velocità lungo y mettendo in relazione il valore osservato da S' con quello osservato da S.

    Aggiungo (anche se non dovrei) che dopo aver impostato il ragionamento e svolto i calcoli ho verificato il risultato sul web (sono troppo pigro per aprire i miei libri) per accertarmi di non aver scritto fesserie; mi sembra che il risultato sia corretto, a meno di aver preso lucciole per lanterne.... :roll:

    Attendo lucciole, pardon, lumi ....

  19. Alvermag

    Concludo riprendendo una giusta precisazione di Enzo.

    Il corpo, se osservato da S, ha ANCHE una componente di velocità lungo x (tale componente vale proprio v).

    Io però ho ricavato la sola componente lungo y.

    Se osservato da S' la velocità ha componente SOLO rispetto ad y'.

  20. caro Alvy,
    scusami, ma avevo interpretato male quanto volevi fare (ieri ero un po' TANTO agitato). tu hai imposto solo la componente u'y e non sia u'y che u'x. per cui, alla fine hai ragione dato che per te la u'x va a zero. Io pensavo alla velocità di un moto qualsiasi nel piano x'y' di S', da cui la tua soluzione è solo un caso particolare. Ti accontento e vado a scrivere il caso generale, da cui il tuo si ricava facilmente... OK? E scusa ancora se avevo interpretato male il tuo approccio... :wink:

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