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20/06/15

Composizione relativistica delle velocità. 2: caso generale ***

Per una trattazione completa dell’argomento, si consiglia di leggere il relativo approfondimento

 

La volta precedente avevamo trovato la formula:

u = (u’ + v)/(1 + vu’/c2)

Essa ci diceva come andavano sommate le velocità in ambito relativistico. Il caso, però, era decisamente semplificato. La v era la velocità con cui il sistema S’ si muoveva rispetto a S, mentre u’ era la velocità con cui un certo punto P’ si muoveva nel suo sistema S’. Si era scelta come direzione di u’ la stessa di v. In altre parole, lo spazio poteva essere considerato solo la retta che conteneva sia x che x’ e anche la traiettoria descritta da P’.

Passiamo adesso a un caso un po’ più generale che ci conduce velocemente anche a quello nelle tre dimensioni spaziali. Immaginiamo che il sistema S sia un piano cartesiano x,y e che S’ sia un piano cartesiano x’,y’ (da una siamo passati a due dimensioni spaziali), Consideriamo, come sempre, gli assi coincidenti. Possiamo anche considerare la velocità v, con cui si muove S’ rispetto a S, sempre diretta lungo x = x’. L’unica vera, GRANDE, differenza è che adesso la velocità u’ di P’ è qualsiasi nel piano x’,y’, ossia è descritta attraverso le sue due componenti secondo x’ e y’. La stessa cosa vale, quindi, anche per il piano x,y.

Aggiungiamo perciò i relativi pedici alle due componenti della velocità u’, ossia ux’ e uy’.

La formula precedente, riferendosi alla sola componente x, diventa allora:

ux = (u’x + v)/(1 + vu’x/c2)

Fin qui non è ancora cambiato assolutamente niente…

Dobbiamo, adesso, ricavare la componente uy relativa alla velocità u’ di P’ rispetto a S.

Per costruzione, sappiamo che:

y = y’ e, quindi: Δy = Δy’

E’, perciò, immediato scrivere il valore della componente uy della velocità:

uy = Δy/Δt

Conosciamo molto bene quanto vale Δt, dato dalla trasformazione di Lorentz (giù usato la volta scorsa):

Δt = γ(Δt’ + vΔx’/c2)

Sostituendo:

uy =  Δy’/(γ(Δt’ + vΔx’/c2)) = Δy’(1 – v2/c2)1/2/(Δt’ + vΔx’/c2)

Notiamo che attraverso la relazione tra t e t’ siamo costretti a portarci dietro la differenza tra x e x’… anche se lavoriamo solo con la componente in y.

Dividiamo numeratore e denominatore per Δt’ e ricordiamo che Δy’/Δt’ = u’y e che Δx’/Δt’ = u’x:

uy = u’y (1 – v2/c2)1/2/(1+ v u’x /c2)

Il risultato è stato ottenuto con estrema semplicità…

Diventa del tutto ovvio ricavare anche la componente uz nel caso delle tre dimensioni, dato che vale anche z = z’. Basta, perciò, sostituire y con z e tutto diventa tale e quale alla descrizione precedente.

In conclusione:

uz = u’z (1 – v2/c2)1/2/(1+ v u’x /c2)

Non ci resta che riassumere le tre componenti nel sistema S di una velocità qualsiasi di P’ nel sistema S’:

ux = (u’x + v)/(1 + vu’x/c2)

uy = u’y (1 – v2/c2)1/2/(1 + v u’x /c2)

uz = u’z (1 – v2/c2)1/2/(1 + v u’x /c2)

che ci permettono di trovare la velocità u, nel sistema S, del punto P’ che si muove con velocità u’ nel sistema S’, a sua volta in movimento con velocità v rispetto a S.

Con queste relazioni si possono ottenere tutti i casi particolari che si vogliono, compreso quello analizzato da Alvy…

Adesso, però, fermiamoci qui e cerchiamo di dedicarci anima e corpo al diagramma di Minkowski, prima, e ai risvolti più “fisici” della relatività speciale, dopo.

P.S.: un consiglio generale che non vale certo solo per Alvy... Vedo spesso il "bisogno" di tradurre le relazioni in tabelle. Niente di male... ma il mio "spirito" matematico si ribella un po'. D'accordo che pubblicare figure non è facile (solo Paolo ci riesce benissimo), ma è proprio il concetto in se che mi trova in parziale disaccordo. Le tabelle indicano una qualche relazione empirica tra grandezze, necessarie quando NON si conosce il legame fisico o anche solo matematico tra le grandezze in gioco. In qualche modo, servono proprio per cercare di individuare questo legame valido a livello generale.

Noi abbiamo la fortuna di avere a disposizione la relazione matematica e allora perché tornare indietro? Una relazione dice molto di più che una o più tabelle e, al limite, può essere espressa da un diagramma che la sintetizzi graficamente per effettuare confronti immediati e visivi. E' un modo di pensare che può sembrare contro le abitudini normali, ma a furia di trattare con relazioni e con lo studio di funzioni dovremmo piano piano comprendere che la tabella non ha assolutamente interesse quando si ha una formula immediata e sintetica. D'altra parte,  qualsiasi valore particolare si voglia considerare, per le varie grandezze note, la relazione matematica ci offre immediatamente il risultato numerico.

Cercate di capire che non è una mia "fissazione", ma il giusto approccio per lo studio e la comprensione della fisica in generale! Il linguaggio matematico ha bisogno di frasi con senso compiuto, così come il linguaggio letterario. Se descrivete la battaglia di Waterloo (cade a proposito) non raccontate ogni singolo contatto tra i singoli soldati, ma la descrivete attraverso gli episodi globali e i movimenti dei vari battaglioni...

18 commenti

  1. Alvermag

    Intanto ti ringrazio per ....l'approfondito approfondimento.
    Io ho proposto un piccolo scavo, piuttosto superficiale. Tu ti sei presentato con la trivella ..... :mrgreen:

    Riguardo alle tabelle Enzo, devi sempre considerare che tu ragioni con la mente del matematico ed io con quella dell'uomo della strada (direi anzi con quella di uno neanche troppo sveglio! :oops: ).
    Capisco che stai cercando di portarci ad un diverso e superiore livello di analisi e comprensione ma .... abbi pazienza, piano piano arriveremo a dama.

    Ieri sera RAI-movie ha trasmesso la prima puntata di una serie dedicata alla vita di Einstein. In perfetta sintonia con lo scienziato, l'uomo deve aver valutato la relatività dei legami affettivi decidendo di abbandonare la moglie (Mileva Maric) in favore della cugina Elsa.
    Oddio, a giudicare dalle foto mi pare che nè l'una nè l'altra fossero particolarmente avvenenti; caro Albert, posso capire la scelta della Maric (scienziata e mente brillante) ma come puoi averla lasciata per la cuginetta!!!! E dai .....

  2. eppure dicono che Albert era molto sensibile al fascino femminile e che ha mietuto parecchie vittime... Mah... chissà qual'è la verità? A meno che non sia una verità molto RELATIVA!! :mrgreen:

  3. Gaetano

    Meglio non scavare nella vita privata di Albert: il primo figlio abbandonato (dato in adozione alla nascita!) e di cui non si è più saputo niente. Chi sa se hanno scavato sulla data di nascita per vedere se è diventato uno scienziato :mrgreen:

  4. umberto

    non avevo letto questo articolo e mi sembra molto importante.Di solito si tratta la composizione solo di moti nella stessa direzione. l'ho applicato considerando come U la velocità della luce nell"orologio a luce, dunque U'x zero e U'y uguale a c e si vede come la luce abbia due componenti, V e c/gamma che sommate con Pitagora danno proprio c. in pratica ho trovato una giustificazione ad un fatto (aberrazione?) che non avevo mai capito ma ricorrendo alle trasformazioni di Lorentz. ha senso?

  5. in un certo senso direi di sì! Lo vedremo meglio applicandola alla quantità di moto... L'importante è capire bene che anche la vy deve dipendere dalla velocità tra i due sistemi. Questo è il punto essenziale. :wink:

  6. caro Umberto,

    ho letto meglio il tuo commento e mi sorge un dubbio: tu parli di non aver capito l'aberrazione della luce in generale o quella relativistica? Se vuoi la prima puoi andare QUI. Se vuoi un'idea dell'altra puoi andare nell'articolo successivo.

    In ogni modo, penso di aver capito ciò che hai fatto e sto cercando di descriverlo meglio attraverso l'orologio di luce come dici tu, rammentando l'esempio fatto da Feynman per legare le due velocità vy e vy'...

    La faccenda può essere utile per avere una visione immediata del fattore di contrazione della velocità ortogonale :wink:

  7. fermi tutti... adesso ho capito cosa hai fatto esattamente e la cosa è perfetta. Hai sfruttato il triangolo dell'orologio di luce con cateti u e (c2-u2) che danno come risultato c per l'ipotenusa. In pratica tu dici, giustamente, che la componente verticale della velocità della luce risulta accorciata di gamma rispetto al valore c che la velocità ha lungo l'ipotenusa. La stessa cosa (ossia lo stesso fattore) deve applicarsi anche a un corpo materiale che viaggi a velocità inferiore.

    L'aberrazione sfrutta la stessa figura, ma solo per individuare l'angolo formato tra cateto orizzontale e ipotenusa.

    Scusa... ma oggi sono un po' preso e saltello tra quantità di moto e lavori di casa e giardino (ho una perdita nella pozza biologica... uffa!). Alla fine penso di esserci arrivato... :roll:

  8. caro Umberto,

    per chiederti scusa del ritardo, vorrei inserire il geniale ragionamento fatto da Feyman per estrapolare il risultato ottenuto per la luce a qualsiasi corpo materiale che si muova in senso verticale rispetto al moto:

    "We found that the vertical component of the velocity in the fixed system is less than that of light by the factor (1 -u²/c²)½  (come dice giustamente Umberto). But now suppose that we let a material particle go back and forth in this same “clock,” but at some integral fraction 1/n of the speed of light . Then when the particle has gone back and forth once, the light will have gone exactly n times. That is, each “click” of the “particle” clock will coincide with each nth “click” of the light clock. This fact must still be true when the whole system is moving, because the physical phenomenon of coincidence will be a coincidence in any frame. Therefore, since the speed cy is less than the speed of light, the speed vy of the particle must be slower than the corresponding speed by the same square-root ratio! That is why the square root appears in any vertical velocity."

  9. Per tutti,

    scusate questo colloquio diretto con Umberto... ma non voglio assolutamente togliere qualcosa agli altri... Solo che la trattazione della contrazione delle velocità in senso ortogonale è già stata spiegata a suo tempo e sarà ripresa nuovamente con la dinamica relativistica. Umberto ha soltanto utilizzato l'orologio di luce (già trattato) per trovare il fattore correttivo (gamma), indicando una via più veloce per arrivare alla contrazione della componente ortogonale. Una via che lo stesso Feynman aveva utilizzato... e dico poco... :roll:

  10. umberto

    Grazie di tutto, essendo arrivato qui in luglio non avevo letto l'articolo (ce ne sono tanti !) fortuna che è tornato fuori!  Forse Feyman che aveva  chiaramente capito che la luce è una particella aveva fatto l'analogia più velocemente. Io continuo sempre a pensare che la luce sia un onda , e non riesco a togliermelo dalla testa; è per quello che ho sempre fatto fatica a capire l'orologio a luce.

  11. avrai fatto fatica, ma sei riuscito a usarlo perfettamente! :wink:

  12. umberto

    ho fatto i calcoli seguendo il ragionamento del Feyman per trovare il rapporto fra il tempo misurato e il tempo proprio nel caso di una particella materiale qualsiasi usando sempre la composizione relativistica. Tale rapporto é sempre  lo stesso non dipende dalla velocità ortogonale, ma solo dalla V fra i due sistemi. Avevo sempre pensato fosse un peculiarità della luce., invece come dicevi nell'articolo sull'orologio per ogni fenomeno periodico c'è una spiegazione

  13. umberto

    troppo buono..io continuo a pensare di capire poco, anche perché non mi immagino neppure come si potrebbe fare per il battito cardiaco..ma forse lì può solo aiutarci l'astrazione dei risultati precedenti

  14. Umberto, non dire così...

    per il battito cardiaco, devi solo pensarlo come un orologio che, visto da un sistema diverso, rallenta. Così come per la barba, che avevo usato proprio in un articolo sulla simultaneità relativistica facilitata... Se cerchi lo trovi...

    Sia io  che il mio amico in moto abbiamo il cuore che batte nello stesso modo. Ma se io guardo lui vedo che tutti i suoi movimenti, cuore compreso, sono rallentati. Lo stesso capita per lui nei miei riguardi. Sembrerebbe una disquisizione matematica e nulla più. Invece, dato che viviamo in un certo sistema, ciò che vediamo negli altri è la nostra realtà! Come ci insegna il muone...

    Dire che il rallentamento di chi si muove è un'apparenza è sbagliato. Per il nostro mondo che rappresenta un certo sistema è profondamente giusto e concreto.

  15. umberto

    vedi che alla fine riesco a dire sempre qualche stupidaggine.Vorrei che gli altri membri del circolo non tenessero conto di quello che sto per scrivere, non vorrei creare confusione.So che l'orologio a luce viene introdotto per dimostrare la dilatazione dei tempi; ora nell'orologio a luce si fa una dimostrazione, calcolando il tempo che la luce impiega ad andare dalla sorgente al ricevitore; questo è il tempo di eventi che accadono nello stesso luogo (il tempo vero e proprio), perchè ricevitore e sistema sono in quiete. Se però lo guardiamo dall'altro sistema, la luce percorre l'altra traiettoria, e con la costanza della velocità si dimostra il rapporto. Questo è il tempo, misurato e differisce dal tempo proprio.In questi commenti, usando la composizione relativistica, abbiamo esteso questa relazione a particelle con velocità < c, e visto che il rapporto rimane lo stesso. So che non si dovrebbe ragionare così, (e che può sembrare infantile rispetto alla definizione di tempo proprio) ma quello che volevo dire è se c'era una ragione puramente cinematica per il diverso ritmo del cuore osservato da un altro sistema. Stamattina ci ho pensato sopra, e io pensavo di schematizzare sul piano x,y il cuore con un cerchio, che per semplicità si espande da raggio zero a R (tornando poi da R a zero) con velocità Uy; se considero un punto sul diametro trasversale, tale punto si muove anch'esso con velocità Uy Nel sistema non solidale ricadiamo nell'esempio della particella precedentemente analizzato. Il rapporto fra i tempi è sempre gamma.Non volevo dire che il cuore batte di più o di meno a seconda del sistema di riferimento, ma solo dare una spiegazione dell'assurdità.

  16. scusa Umberto, ma non riesco a seguirti. Secondo me basta pensare che il nostro cuore visto da un altro sistema si vede rallentare, dato che cambia il tempo. E' come vedere qualcosa al rallentatore... Non riesco a vederci l'assurdità...

  17. umberto

    Non importa. Sei stato anche troppo paziente e gentile.Probabilmente sono solo mie paturnie personali di voler dare una spiegazione  meccanicistica per ogni fenomeno visto da un altro sistema in movimento. Non voglio  appesantire ulteriormente il discorso.

    Comunque grazie.

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