17/02/16

La Dinamica Relativistica. 1: Cambiamo la quantità di moto. 6

Per una trattazione completa dell’argomento, si consiglia di leggere il relativo approfondimento nel quale è stato inserito anche il presente articolo

 

Qualche grafico...

La quantità di moto relativistica si può scrivere come (m è la massa a riposo):

qR = mw/(1 - w2/c2)1/2  = m w(c/c)/(1 - w2/c2)1/2  = mc (w/c)/ (1 - w2/c2)1/2

Non è difficile riportare, in Fig. 7, la quantità di moto relativistica (in unità di mc), in funzione del rapporto w/c, confrontandola con quella classica.

Figura 7
Figura 7

Se preferite, possiamo anche vedere, in Fig. 8, come varia la massa relativistica data da:

mW = m0/(1 - w2/c2)1/2

in funzione dello stesso rapporto w/c e in unità della massa a riposo m0.

Figura 8
Figura 8

e una sorpresa: la massa non si conserva!

Continuiamo a considerare la massa come una grandezza che cresce con la velocità, pur sapendo i possibili limiti di questa definizione. In realtà, è la quantità di moto che cambia e la variazione viene imputata alla massa. Una massa relativistica diventerà fisicamente “sensata” solo quando si vedrà il suo legame con l’energia. Per adesso, limitiamoci a dimostrare come quanto abbiamo ottenuto finora possa portare a situazioni apparentemente assurde.

Consideriamo un urto perfettamente anelastico tra due palline di uguale massa m che si urtino frontalmente con la stessa velocità di modulo w, ma di segno opposto, come mostrato in Fig. 9 (in alto).

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Figura 9

Da quanto abbiamo ricavato le due masse che si muovono a velocità w, devono possedere una massa:

mw = m0/(1 – w2/c2)1/2

Tuttavia, la quantità totale di moto prima dell’urto è uguale a zero e tale deve essere anche dopo l’urto.

Ovviamente:

mww – mww = 0    (prima dell'urto)

M 0 = 0           (dopo l'urto)

Eseguiamo una piccola variazione all’esperimento (Fig. 9, in basso), imprimendo anche una infinitesima velocità u ortogonale a w. Notate che stiamo usando simboli che niente hanno a che fare con la trattazione dei capitoli scorsi. Le due masse si muovono praticamente a velocità w, per cui la loro massa prima dell’urto deve essere praticamente mw. La massa dopo l’urto è una certa massa M, che immaginiamo di non conoscere. La quantità di moto verticale prima dell’urto è dato da:

mWu + mWu = 2mwu

quella orizzontale è:

mww – mww = 0

Quella orizzontale si conserva dopo l’urto anelastico dato che le due masse si uniscono, formando M, e si fermano nella direzione di w (massa M con velocità uguale a zero). Succede la stessa cosa del caso precedente: entrambe le quantità di moto orizzontali sono uguali a zero.

Quella verticale,  dopo l'urto, dà luogo a Muu, ossia a un movimento verso l’alto con velocità u della massa M. 

Per la conservazione deve essere:

Muu = 2mwu

Tuttavia, u è talmente piccolo che possiamo considerare Mu = M0. Ne segue che:

M0 = 2mw

“Magnifico!”, diciamo, “Abbiamo appena verificato la conservazione della massa. La massa dopo l’urto è esattamente uguale a due volte la massa di ogni singola pallina!”.

Magnifico… proprio per niente!

Per la conservazione della quantità di moto relativistica, la massa M0, che è quella di un oggetto praticamente fermo, deve essere uguale a due volte la massa di due oggetti in rapido movimento (mw). Massa, quest’ ultima, che deve essere decisamente superiore a quelle dell’oggetto fermo (m0). In parole povere, ma non certo -apparentemente- logiche:

M0 > 2m0

Ripetiamo ciò che abbiamo dimostrato: siamo partiti con due masse a riposo (m0). Le abbiamo scagliate a grande velocità una contro l’altra, producendo un urto perfettamente anelastico. Abbiamo, perciò, ottenuto una nuova massa a riposo (M0), che è decisamente maggiore della somma di quelle di partenza!

In altre parole, le masse  non si conservano, se vogliamo conservare la quantità di moto relativistica.

In realtà, la conservazione delle masse  continua a essere valida, ma solo se vi è un “abbraccio” molto stretto tra massa relativistica ed energia. Ricordiamo, infatti, che in urto anelastico non si conserva l'energia cinetica, ma se mettiamo insieme massa ed energia le cose potrebbero cambiare in meglio! Ma questo è un  discorso su cui torneremo molto presto… In pratica: le due leggi di conservazione della fisica classica (di massa ed energia) si uniscono in una sola legge, dato che massa ed energia diventano la stessa cosa...

10 commenti

  1. Daniela

    Una domanda: la u che introduci nella prima espressione dell'articolo è la stessa u di cui parli dopo (velocità ortogonale a w)?

  2. no, no, è solo un errore di sbaglio :oops:  Volevo mettere sempre w, come velocità qualsiasi del corpo di massa m.

    Notate che la seconda parte dell'articolo è un esperimento nuovo e non vi è relazione con i simboli usati nei capitoli precedenti. Ho anche aggiunto qualche breve frase per spiegare meglio la seconda parte...

    Se non risulta chiaro, fatemelo sapere...

  3. Daniela

    Meno male che quella u era un errore... non capivo da dove saltasse fuori e pensavo di essermi persa qualcosa d'importante!! :)

  4. Sai Daniela, se non infilo qualche errore... che gusto ci sarebbe??? :mrgreen: E, poi, magari qualcuno potrà dire che parlo bene e razzolo male... :roll:

    Grazie, come sempre, per la prontissima verifica... Se non è collaborazione questa :-P

  5. Fabrizio

    Un dubbio rispetto all'esercizio del 13 febbraio, dove abbiamo trattato, anche li, un urto anelastico. In quel caso abbiamo utilizzato tra le ipotesi la conservazione  della massa relativistica. Era solo un caso particolare non applicabile in generale?

  6. caro Fabrizio,

    in un caso abbiamo conservato le masse relativistiche, nell'altro abbiamo dimostrato che le masse a riposo non si conservano. La differenza tra i due risultati è legato proprio alla uguaglianza tra massa ed energia come vedremo in seguito... La massa relativistica si conserva proprio perché non è solo... massa.... Ma è meglio aspettare prima di andare a fondo :wink:

  7. Paolo

    Caro Enzo leggo solo ora questo articolo.... molto interessante.

    Vediamo se ho capito..

    Nella fisica classica la somma di due masse uguali dovrebbe dare come risultato:

    M = m + m = 2m

    Qui però le masse viaggiano a velocità relativistiche, per cui

    mw = m0/√(1 – w²/c²)...la massa relativistica è “cresciuta” rispetto a quella a riposo

    Se M0 = 2mw.............e  mw > m0

    M0> 2m0

    La Massa totale è cresciuta più delle due masse a riposo, poiché queste hanno viaggiato a velocità relativistiche.......quello che mi chiedo è: non è l'inghippo sta proprio qui?

    Ogni pallina è partita con un energia cinetica nulla (le masse erano a riposo), ma ha viaggiato con un energia cinetica tutt'altro che nulla (masse in movimento mw)....

    Dopo l'urto le palline sono diventate un unico corpo di massa M, con energia cinetica nulla, dato che sono ferme... ma dove è finito tutto quel surplus di energia?

    Paolo

  8. appunto Paolo.... dov'è finito! E = mc2

    La dinamica relativistica è una meraviglia di semplicità e di genialità!

    :wink:

  9. Paolo

    Come pensavo... :-D     però una cosa è aver intuito il problema altro è quantificarlo ed arrivare alla famosa formula E=mc² …. e per quanto mi riguarda per arrivarci non resta che leggere le prossime puntate.. :wink: 

    Paolo

  10. ormai ci siamo quasi... ancora qualche riflessione e poi partiamo con la lancia in resta!

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:wink: :twisted: :roll: :oops: :mrgreen: :lol: :idea: :evil: :cry: :arrow: :?: :-| :-x :-o :-P :-D :-? :) :( :!: 8-O 8)

 

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