10/03/16

La dinamica relativistica. 3: Massa ed energia. 3 **

Per una trattazione completa dell’argomento, si consiglia di leggere il relativo approfondimento nel quale è stato inserito anche il presente articolo

 

Cosa abbiamo fatto finora? Siamo partiti dall’energia cinetica e, applicandole la “nuova” quantità di moto, siamo arrivati fino a quella relativistica, senza troppa difficoltà. Abbiamo toccato gli integrali, ma ben poca cosa. Insomma, è stato più facile del previsto. Tuttavia, abbiamo anche visto che trafficando con le serie e con il fattore gamma siamo riusciti a ottenere la vecchia formula newtoniana.

Non è, perciò, assurdo pensare che potremmo ottenere la celebre formula partendo solo dalla massa relativistica.

Consideriamo  la formula che ci descrive la massa relativistica (ormai dovremmo conoscerla a memoria):

m = m0 γ = m0/(1 – v2/c2)1/2

La trattazione attraverso la serie utilizzata prima ci porta facilmente a:

m =  m0γ = m0(1 + (v/c)2/2) =  m0 + m0(v/c)2/2

Come può essere interpretata questa formula?

Presto detto: la massa relativistica è uguale alla massa a riposo più una quantità che cresce con la velocità v. Niente di speciale, ma estremamente importante per una mente fuori dal comune.

Scriviamola un po’ meglio:

m = m0 + ½ m0 v2 (1/c2      …. (5)

questo vuol dire che la differenza di massa è uguale all’energia cinetica divisa per c2. Un modo molto semplice e fisico per descrivere la variazione di massa. Tuttavia, se moltiplichiamo tutto per c2, al secondo membro otteniamo proprio l’energia cinetica:

mc2 = m0c2 + ½ m0 v2

Stiamo, allora, parlando proprio di energia e il primo termine può essere interpretato come l’energia totale di un corpo in movimento e il secondo, dopo l’uguale, un’energia che il corpo possiede anche da fermo. La differenza tra queste due energie è proprio l’energia dovuta soltanto al movimento. Questa trattazione è possibile solo mettendosi nel caso di velocità molto basse, tali da poter esprimere il fattore γ come sviluppo in serie e troncandolo rapidamente. Una visione, in qualche modo “parziale”, ma sufficiente a far comprendere il risultato più generale.

Einstein ha espresso il semplice ragionamento ipotizzando un esperimento reale, estremamente fisico e non matematico.

Lui ha considerato una certa massa di gas contenuta in un recipiente. Immaginiamo di riscaldarlo. Ne segue che le molecole del gas cominciano a muoversi più velocemente e, di conseguenza, la massa del gas deve crescere. La (5) ci dice che l’aumento della massa dovuta al movimento delle molecole è data proprio da m0(v/c)2/2 (abbiamo fatto una semplice differenza). Quando la temperatura aumenta, la velocità delle molecole aumenta in modo proporzionale, per cui si può dire che l’aumento della massa è dovuta all’aumento della temperatura. Tuttavia, ricordando la formula newtoniana dell’energia cinetica possiamo concludere che l’aumento della massa non è altro che l’aumento dell’energia cinetica divisa per c2. In poche parole

∆m = ∆K/c2

La differenza di massa è un’energia divisa per c2. Da cui l’intuizione vincente che la massa non è altro che un’energia divisa per c2. E’ quindi sufficiente moltiplicare la (5) per c2 per ottenere l’energia totale e come essa si suddivide:

E = mc2 = m0c2 + K     …. (6)

L’ energia totale è uguale all’energia a riposo più l’energia cinetica.

Sembra di girare in tondo, ma Einstein aveva solo bisogno di applicare a un fenomeno naturale la sua idea di fondo. In questo modo tutto tornava perfettamente anche dal punto di vista fisico..

Come abbiamo visto, Einstein sapeva già cosa voleva e non si era certo meravigliato di trovare la sua formula partendo da lontano… In qualche modo mi ricorda ciò che aveva fatto il grande Giuseppe Colombo, meccanico celeste padovano di levatura immensa. Mentre la NASA preparava le prime missioni su Mercurio, lui aveva avuto l'ispirazione. un'ispirazione puramente fisica: una navicella può sfruttare la gravità di un pianeta per acquistare velocità e risparmiare carburante. In poche parole, aveva ideato l'effetto fionda . Ebbene, era talmente sicuro della sua intuizione che aveva chiesto ai collaboratori di fare i calcoli, dato che per lui il risultato era già evidente e confermato. Ovviamente, la NASA bloccò subito la missione in attesa che Colombo le fornisse la nuova traiettoria. Intanto, in Italia, avevano cancellato la cattedra di Meccanica Celeste a Padova per scarso interesse applicativo...

Va bene torniamo a noi...

In ogni modo, non facciamoci ingannare dalla semplicità della formula:

E = mc2

Essa deve essere spiegata e capita molto bene. La relazione vale se la massa m è quella relativistica. Se volessimo usare la massa a riposo (quella con cui abbiamo normalmente a che fare) dovremmo trasformare la celebre formula di Einstein in:

E = m0c2/(1 – v2/c2)1/2      …. (7)

Se volessimo, invece, descrivere l’energia a riposo E0, ossia l’energia posseduta da un corpo per il solo fatto di avere una massa, allora dovremmo scrivere:

E0 = m0c2

Sembrano finezze e cavilli inutili… ma spesso l’uso un po’ troppo spavaldo della formula porta a confusioni e fraintendimenti anche gravi.

Ragioniamo sopra alla (7).

Con questa definizione di energia, Einstein unifica i due concetti di massa ed energia, che avevano costituito due capisaldi separati nella storia della Scienza a causa delle due leggi di conservazione ad essi collegati. L’unificazione delle due leggi presuppone la conservazione simultanea di massa ed energia e non di ciascuna di esse considerate singolarmente.

Ciò significa che si debbano avere sia processi di produzione di energia con scomparsa di una frazione di massa del sistema, sia processi di generazione di materia con scomparsa di energia. Come sempre, per il grande Albert, le conferme arriveranno nel tempo, sia attraverso le reazioni nucleari sia attraverso la creazione di particelle e antiparticelle. Tutta la teoria della relatività era troppo avanti per la tecnologia dei tempi in cui è stata descritta. Di conseguenza, nessun Nobel… Questa è la punizione con chi si diverte con velocità simili a quelle della luce…

9 commenti

  1. Umberto

    ti faccio una domanda che spero non sia stupida. Possiamo misurare la massa di gas nel recipiente prima e dopo averlo scaldato per verificare l'aumento di massa? Ovvero posso pensare di farlo con una bilancia? (chiaramente teoricamente, non so se le quantità in gioco sono rilevabili con la tecnologia attuale)

  2. caro Umberto,

    forse oggi è anche possibile notare la differenza... non so, però... A quei tempi era un esperimento ideale... :roll:

  3. Umberto

    Si, questo penso di averlo capito. Non vorrei fare un discorso che faccia confusione agli altri: quando si pesa qualcosa, ci sono diversi modi per farlo; di solito la bilancia misura una massa, però confronta alla fine pesi (forze) che hanno la stessa g; so che forse vado fuori strada (RG) ma per calcolare il peso del gas con g, quale massa dobbiamo considerare? Quella relativistica? O quella a riposo? Cioè l'eguaglianza fra massa gravitazionale e massa inerziale si riferisce solo alla massa a riposo?

  4. Beh no... non possiamo introdurre la gravità e quindi sistemi accelerati. La massa andrebbe calcolata in alto modo, ma non so come, in realtà... Inoltre, senza gravità non ha più senso parlare di massa gravitazionale... Conviene considerarlo come un esperimento ideale, ma estremamente utile se ragioniamo in termini di microsistemi.

  5. Paolo

    Caro Enzo, volevo solo soffermarmi un attimo sull'evitare di confondere E con Eo.

    Vediamo se ho capito...

    Se prendo la relazione (6):

    E = mc² = m0 + K

    dato che Eo = m0 c², ottengo:

    E = Eo + K

    Ovviamente se non vi è alcun movimento, K=0, per cui solo in tal caso

    E = Eo, d'altronde non vi alcun movimento.

    Nulla cambia usando la relazione:

    E = m0c²/√(1 – v²/c²)

    se v= 0 ossia non vi è alcun movimento:

    E = m0c²/√(1 – 0) = m0c²/√1 = m0

    Solo in questo caso E = Eo, d'altronde non vi è alcun movimento.

    Ovviamente, quando il corpo non è fermo (a riposo) la sua Energia Totale è sempre diversa da Eo, ossia E ≠ Eo.

    Paolo

  6. Paolo

    Un po' per prova un po' per curiosità, ho provato ad approssimare la funzione γ, fino all'undicesimo termine.... la mia solita curiosità... :roll: 

    L'intenzione era quella di verificare fino a quale velocità una tale approssimazione era valida.... confrontando graficamente funzione originale e funzioni approssimate, rispettivamente al secondo e all'undicesimo termine..

    Invece di v/c ho usato β e dopo varie semplificazioni tra frazioni ho approssimato la funzione γ fino all'undicesimo termine.

    Da tale approssimazione ho ricavato un confronto tra il valore di γ ottenuto con le diverse funzioni, per diversi valori di β² e di β:

    http://www.astrobin.com/full/235081/C/

    L'approssimazione all'undicesimo termine, sembra seguire bene la funzione originale γ fino a velocità di poco superiori a 0,6 C.... come mostra il diagramma... 

    A sinistra sull'asse delle ascissa c'è β²= v²/c², a destra c'è β= v/c.

    http://www.astrobin.com/full/235081/D/

    Se i calcoli ed il ragionamento sono corretti, la curva verde che mostra la funzione approssimata al secondo termine è assolutamente inadeguata anche solo per velocità pari a frazioni di quella della luce... man mano che la velocità aumenta, la curva rossa che rappresenta la funzione originale γ cresce sempre più velocemente..... per velocità superiori a 0,7 C l'approssimazione all'undicesimo termine (curva blu) non è più sufficiente … per velocità che tendono a quelle della luce, la funzione tende a infinito... e per approssimarla, bisognerebbe usare infiniti termini..

    Fin qui mi sembra che i risultati siano corretti... il grafico, però, mi sembra possa essere utilizzato anche per descrivere l'Energia.

    Questa dovrebbe essere uguale a E= m c² = moγ = (mo c²) 1/√(1- β²)

    L'Energia a risposo, invece vale: Eo = mo

    Sull'asse delle Ordinate ho messo l'Energia E, usando come unità di misura: mo c², ossia Eo, poiché l'intenzione è quella di vedere di quanto e come cresce l'energia rispetto a quella iniziale, con l'aumento della velocità, ossia di β..... spero sia corretto :?:

    In ultimo ho anche indicato la funzione approssimata al secondo termine (curva verde), poiché a mio avviso rende perfettamente i limiti della visione “classica”, dato che essa non è altro che: E= m c² = mo c² + ½ mo v² = Eo + K

    http://www.astrobin.com/full/235081/E/

    La curva verde (visione classica) potrebbe proseguire oltre l'asintoto che rappresenta la velocità della luce, ma ovviamente ciò è impossibile... non a caso la curva rossa invece prosegue sempre più ripida, ma per raggiungere la velocità della luce serve una Energia infinita...

    Infine, la funzione γ è anche quella che lega la massa relativistica alla massa a risposo: m= mo γ... per cui ho posto sull'asse delle ordinate la massa m = mo γ, usando come unità di misura mo, per vedere come cambia la massa al variare della velocità.

    http://www.astrobin.com/full/235081/F/

    Nella visione “classica” la massa non cambia, ossia m = mo, come la linea tratteggiata blu.

    La curva rossa indica che più aumenta la velocità più aumenta la massa... e se la velocità tende a quella della luce, la massa tende a infinito...

    E' corretto questo ragionamento? :?:  :?: 

    Paolo

  7. caro Paolo (il commento era stato messo in attesa... probabilmente perché troppo ricco di figure),

    tutte le variazioni sul tema, le figure, le relazioni, servono sicuramente a inquadrare sempre meglio il problema e, quindi, sono utili. L'importante è capire sempre quali siano realmente efficaci e quali aggiungano ben poco al concetto di base. Non mi dilungo nel commento (a parte problemi di influenza ancora non del tutto superati...) e preferisco inserire il capitolo successivo che ben si ricollega ai tuoi sperimenti... :wink:

  8. Paolo

    Caro Enzo, se ci son più di 3 immagini il messaggio si blocca in automatico in attesa di moderazione…

    I grafici, ma soprattutto l’uso delle seria di Maclaurin, mi servono anche per non perdere la mano…. Senza pratica è facile dimenticare ciò che si è appreso. .. :roll:

    ... comunque visto che hai l’influenza se mi passi i dati posso fare il grafico della temperatura… :mrgreen:

    Paolo

  9. caro Paolino,

    mi spiace, ma non è più ... relativistica... :mrgreen:  (per adesso, almeno...)

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