8/09/17

APRIAMO LA PORTA DEL BUCO NERO. 3: SUPERIAMO L’ORIZZONTE ***

Per una trattazione completa dell'entrata nel buco nero, si consiglia di leggere il relativo approfondimento, nel quale è stato inserito anche il presente articolo.

 

Non è che io voglia scoraggiarvi, ma la semplicità del diagramma di Penrose è solo apparente. Ricordiamoci che essa ingloba al suo interno la metrica di Schwarzschild. Inoltre, la prima reazione che si ha è quella di aver ottenuto ben poco da questa trasformazione, che mantiene solo le linee tipo luce. In realtà, invece, è più che sufficiente per poter descrivere la struttura causale dell’intero spaziotempo e trattare geometricamente buchi neri, buchi bianchi e orizzonti vari.

Non crediamo, però, che ogni punto della rappresentazione sia davvero un punto, né che una traiettoria sia una vera traiettoria, sia perché stiamo lavorando con uno spazio a una dimensione, sia per la stessa definizione della metrica. Noi cercheremo solo di descrivere i risultati più intuitivi e comprensibili escludendo i calcoli e i concetti decisamente più “pesanti”.

E’ un po’ come se leggessimo Pinocchio con la mente di un bimbo, fermandoci solo sulle avventure rocambolesche e sulla trama esteriore. Menti adulte dovrebbero capire che dietro quella semplice facciata da favola vi è una rappresentazione accurata, anche a volte esasperata, della vita reale con tutte le sue miserie, gioie e tristezze. Ecco, cerchiamo, perciò, di rimanere bambini: la lettura adulta è decisamente fuori della nostra portata.

Chi comanda tutto nel diagramma è la luce. Essa ci fa capire cosa può essere raggiunto oppure no nella struttura causale dello spaziotempo. Nella sua versione completa, ogni geodetica parte dall’infinito del tempo passato e termina nell’infinito del tempo futuro. Ogni “punto” di queste geodetiche deformate invia e riceve la luce e poco importa, in fondo, da quale traiettoria sia stata mandata, dato che lei viaggia sempre a 45°.

Tutto ciò che sta all’interno del quadrato, ossia tutti gli eventi di tipo tempo, prima o poi si faranno vedere, basta dargli… tempo.

La loro luce, al limite, ci raggiungerà nel punto all’infinito del tempo futuro. Analogamente, la nostra luce raggiungerà, prima o poi, qualsiasi altro punto all’interno del quadrato, qualsiasi geodetica (traiettoria tipo tempo) percorra. Poco importa la rappresentazione “reale” di queste traiettorie, l’importante è sapere che cosa è legato causalmente a noi (e viceversa). La luce, in queste condizioni, è la migliore maestra.

Evoluzione infinita di una stella 

Per prendere un po’ di dimestichezza con questo tipo di diagramma, disegniamo la storia di una stella qualsiasi, mettendola al centro. Lei nasce nell’infinito passato del tempo e termina nel suo infinito futuro. Poco ci interessa la sua evoluzione fisica… In qualche modo, la sua materia esiste da sempre e cesserà di esistere solo all’infinito. La stella ha certe dimensioni (non c’interessa cambiarle a seconda della sua fase di vita, ma si potrebbe anche fare) che individuano ciò che si vede nella Fig. 13.

Figura 13
Figura 13

Tanto per non dimenticare, nel diagramma di Minkowski, questa stella teorica sarebbe stata rappresentata da due rette parallele verticali. Se vi dà fastidio immaginare una stella priva di cambiamenti, possiamo anche mettere al suo posto un pianeta o qualsiasi altro corpo più o meno compatto.

Se il nostro oggetto è posto al centro, basta tracciare solo metà del diagramma, ad esempio quello di destra (un triangolo equilatero), dato che contiene tutte le informazioni di cui abbiamo bisogno. Ad esempio (Fig.  14 ), potremmo far partire un raggio di luce da molto lontano (dall’infinito) ed esso incontra la nostra stella o pianeta in un certo istante t della sua esistenza. A quel punto la luce si riflette o viene inviata verso lo spaziotempo e arriverà nuovamente fino all’infinito.

Figura 14
Figura 14

Diciamolo in silenzio… ma tutto ciò sembra di una banalità estrema. L’unica differenza che vediamo rispetto a Minkowski è la possibilità di tracciare raggi di luce che “toccano” l’infinito. D’altra parte, abbiamo il problema di dover disegnare il nostro corpo centrale con due estremi curvilinei che, tuttavia, non comportano un cambiamento delle dimensioni. Le cose, però, cambiano completamente quando la nostra stella ha una massa tale che, dopo aver tentato inutilmente di fermare la sua contrazione, non può che precipitare verso il collasso irrefrenabile fino a scomparire nella singolarità.

Una "strana" singolarità orizzontale

Da quanto sappiamo trattando con Minkowski, la singolarità sembrerebbe un punto che continua a vivere nel tempo. Tuttavia, questa rappresentazione ha poco senso, in quanto la singolarità capita a un certo istante: dopo non può più essere rappresentata dato che tutti i parametri divergono. Cosa succede, invece, nel diagramma di Penrose? La singolarità diventa un segmento orizzontale, proprio per rispettare il fatto che deve crearsi a un tempo ben determinato. Essa quindi diventa una regione di spazio bloccata a un tempo critico t. In qualche modo, si sta ribaltando lo spazio con il tempo (come si dice solitamente), ma nel diagramma di Penrose questo avviene senza creare salti improvvisi.

Teniamo, comunque, presente che il segmento che corrisponde alla singolarità potrebbe essere considerato il solito punto singolare. In realtà esso è definito come un punto del tempo e tutti gli altri "punti" del segmento non possono certo sopravvivere più a lungo e sono obbligati a fermarsi a quel tempo, diventando, quindi, molto speciali. In altre parole, se il tempo si ferma, anche i punti devono identificarsi in uno solo. D'altra parte se fosse un punto puramente spaziale, dovrebbe continuare a esistere nel tempo, cosa impossibile. Tutto ciò ci porta alla vecchia definizione: una singolarità appare come un muro contro cui si fermano tutte le geodetiche.

In ogni modo, questa rappresentazione non banalissima deriva matematicamente eseguendo la trasformazione di coordinate a partire dalla metrica di Schwarzschild.

Se ci fermassimo adesso, avremmo creato una “singolarità nuda”, raggiungibile senza nessun limite anche se invisibile. No, non preoccupiamoci.  Non è difficile disegnare l’orizzonte degli eventi: esso  è l’ultima linea tipo luce che può essere percorsa prima della caduta inesorabile verso la singolarità. Deve quindi essere un tratto inclinato di 45°, che finisce nell’infinito del tempo futuro, in contemporanea con la singolarità. Il tutto è rappresentato in Fig. 15

Figura 15
Figura 15

Spieghiamoci meglio. Facciamo uno “zoom” sulla parte più interessante (eliminando anche le dimensioni della stella vera e propria che ormai ha perso di significato nel nostro diagramma) e prendiamo quattro “punti” nel nostro spazio tempo (Fig. 16).

Figura 16
Figura 16

Il punto A manda la sua luce, ma essa non ha alcun problema: o va all’infinito o raggiunge la stella “da giovane” e quest’ultima può liberamente rimandare la sua luce che incontrerà nuovamente la sorgente o terminerà nell’infinito futuro della luce. Il punto B può fare lo stesso per la luce che va a destra ma non per quella che va a sinistra: essa colpisce la stella all’interno della zona proibita e qualsiasi raggio che mandi indietro non potrà che finire nella singolarità. Ancora peggiore è la situazione per il punto C: esso è dentro la prigione senza uscita e i suoi raggi non hanno altra via che finire nella singolarità. Molto interessante è, invece, il punto D. La parte sinistra della sua luce tocca la stella proprio nel punto critico, essa può tornare indietro descrivendo proprio l’orizzonte degli eventi. Ovviamente, essa incontrerà la sorgente iniziale che ha mandato il segnale solo nell’infinito futuro del tempo.

Beh, la nostra idea sul diagramma di Penrose deve essere completamente cambiata. Esso riesce quasi a “nascondere” il ribaltamento dello spazio con il tempo, attraverso la costanza “geometrica” dei coni di luce, ma, soprattutto, divide lo spaziotempo in due zone ben delimitate, la I e la II. La II è proprio relativa all’interno dell’orizzonte, mentre la I è lo spaziotempo “normale”. La zona II è adesso trattabile e analizzabile come se fosse uno spaziotempo normale. Vedremo, in seguito, a cosa può portare uno spaziotempo che, in qualche modo, riesce a descrivere altrettanto bene sia la parte esterna che quella interna all’orizzonte degli eventi.

Prima di fare qualche ulteriore esempio che ci aiuti nel comprendere appieno l’apparente semplicità della rappresentazione, puntualizziamo alcuni concetti che sono stati  introdotti parlando solo di luce. Chi attraversa l’orizzonte degli eventi può vedere la singolarità? Assolutamente no. Essa non può certo inviare la luce verso il passato, ossia da dove sta provenendo il visitatore. Né d’altra parte può mandare luce o informazione verso il futuro. Ecco il vero significato della linea orizzontale. Un qualcosa, però, che dipende essenzialmente dalla divergenza dei parametri fisici. Cosa può succedere realmente dentro e “oltre” la singolarità potrà essere risolto solo e soltanto dalla gravità quantistica: Einstein è costretto a fermarsi come le geodetiche.

Buttiamo lì, anche un altro pensiero… possiamo vedere l’orizzonte degli eventi? No, dato che l’unica sua luce che non cade verso la singolarità è quella che ci raggiungerà nell’infinito del tempo futuro. Sarà però visibile per chi l’ha superato. La sua luce potrebbe, infatti, teoricamente raggiungerlo. Sospendiamo, al momento, queste provocazioni che, magari, sfioreremo più avanti. Una volta di più, però, ci rendiamo conto che i buchi neri “fisici” possono farsi notare solo attraverso ciò che capita nelle loro vicinanze…

Come ripasso e come conferma della perfezione del diagramma, consideriamo, adesso, un pianeta che si avvii, senza problemi, verso il suo infinito (Fig. 17). La sua geodetica non viene intaccata dalla presenza del buco nero. L’astronave A che, a un certo istante, lo lascia e si dirige verso il buco nero può essere disegnata come la linea blu. Essa penetra senza problemi dentro l’orizzonte degli eventi e finisce sulla singolarità. Ricordiamoci che siamo nel sistema di riferimento del buco nero.

Figura 17
Figura 17

Immaginiamo, dapprima, che all’ultimo momento decida di cambiare rotta. Lo può fare sicuramente se non ha ancora passato l’orizzonte degli eventi. Basterà seguire le rotte indicate dalle curve blu tratteggiate, che lo portano senza grandi problemi al punto all’infinito del tempo futuro. Notiamo come lungo queste traiettorie di salvezza,  un segnale luminoso può essere sempre inviato al pianeta, prima che giunga al punto infinito del tempo. Se, invece, decidesse di tornare indietro, dopo aver passato l’orizzonte degli eventi, le sue fatiche sarebbero sprecate, dato che qualsiasi traiettoria possibile deve stare dentro al cono di luce futuro e quindi lo porterebbe direttamente nella singolarità. Notiamo che sia dentro che fuori dell’orizzonte degli eventi abbiamo mantenuto la visione causale delle cose: ogni traiettoria plausibile deve essere contenuta nel cono di luce futuro.

Stiamo attenti a non confondere ciò che stiamo vedendo nelle traiettorie di “salvezza” dell’astronave prima che entri nell’orizzonte, con ciò che vedrebbe il pianeta mentre l’astronave cade nel buco nero. In quel caso eravamo nel sistema di riferimento del pianeta, qui, invece, siamo in quello del buco nero. Le traiettorie tratteggiati sono reali tentativi di fuggire e non un’apparenza dovuta al rallentamento del tempo osservato da P.

Tuttavia, non è difficile capire cosa vedrebbe il pianeta anche in questa raffigurazione. Analizziamo come si comportano i segnali che manda l’astronave  a intervalli cadenzati in Fig. 18.

Figura 18
Figura 18

Sappiamo, dal diagramma di Minkowski, che essi arrivano sempre più tardi al pianeta di partenza. E’ questo fatto visibile nella nostra figura? Sicuramente: ogni segnale è una retta a 45° che incontra il pianeta sempre più vicino al punto all’infinito (ricordiamoci che le distanze temporali NON sono mantenute). Il che si traduce in intervalli di tempo sempre più lunghi fino ad essere un intervallo infinito. La nave, per il pianeta, non cadrà mai nel buco nero. L’ultimo segnale luminoso che teoricamente potrebbe ricevere è proprio quello che coincide con l’orizzonte degli eventi e che arriverebbe al punto del tempo infinito. In altre parole, il pianeta deve vivere un tempo infinito per vedere la sua astronave toccare l’orizzonte degli eventi.

L’astronave, nel frattempo, non ha avuto problemi a entrare e a continuare a mandare segnali al pianeta (non si sa mai…). I coni di luce sono sempre orientati nello stesso modo e ugualmente “larghi”, per cui i segnali sono paralleli tra loro e paralleli all’orizzonte degli eventi. Tuttavia, come si vede bene, essi terminano sulla singolarità, un muro invalicabile anche per la luce.

A questo punto tutto diventa un problema tra particelle infinitesime, i soliti nostri eroi quantistici… Cosa faranno? Per adesso “la risposta, amico mio, vola nel vento (stellare)”.

Ci siamo già accorti che qualsiasi difficoltà nel rappresentare ciò che capita fuori e dentro l’orizzonte degli eventi è praticamente sparita. Tutto si può descrivere, praticamente, nello stesso modo, senza singolarità intermedie “apparenti”. Tuttavia, il diagramma di Penrose diventa ancora più utile e interessante, quando si consideri un buco nero nato fin dall’inizio dei tempi… lo affronteremo la prossima volta, dopo le mie vacanze in Sardegna. Anch’essa è un luogo sicuramente “singolare”, ma solo per la sua bellezza!

Ancora sulla "realtà" fisica

Facciamo, ora, una piccola deviazione che può essere abbastanza provocatoria, anche se ci trascina un po’ fuori dal seminato.

Sappiamo che molto probabilmente, noi (come qualsiasi altra cosa) non proveniamo dall’infinito tempo passato. L’Universo è nato dal Big Bang, da una singolarità. Il che vuol dire che tutte le geodetiche (comprese le linee tipo luce) nascono da questa barriera (così come in un buco nero, tutte le geodetiche devono terminare nella singolarità) e non possono proseguire verso un  passato che non esiste o che, perlomeno, non sappiamo trattare fisicamente (chiedendo scusa alle particelle e alla loro meccanica quantistica).

Per ottenere questa situazione possiamo tagliare a metà il nostro quadrato di Penrose e considerare solo l’infinito futuro (a partire dal Big Bang). La Fig. 19 ci mostra cosa succede se noi siamo in T. Siamo riusciti a vedere tutto ciò che proviene da una “parte” del Big Bang. Ciò che rimane del Big Bang  sarà visto in un tempo infinito. Analogamente, noi non siamo ancora stati visti da tutti.

Figura 19
Figura 19

La linea orizzontale è proprio la singolarità (buco bianco?) da cui esce tutta la materia e radiazione, che non possono più tornare indietro. Esso è un vero e proprio muro che non può ricevere niente, ma solo rilasciare; se poi ciò che se ne va è capace di restare “abbracciato” (entangled) a qualcos’altro, è un discorso molto diverso. La singolarità è, ovviamente, una retta dato che corrisponde a un tempo ben determinato, t = 0.

Usando queste coordinate il nostro cono di luce non si può deformare e deve rimanere sempre delimitato da rette  a 45° rispetto all’asse del tempo. Il triangolo verde non è altro che il nostro cono di luce passato. Non ditemi che in questa rappresentazione ultra semplice non si vede l’espansione e/o l’inflazione. Per vedere tutto ciò bisognerebbe passare alle vere traiettorie, ma posso garantirvi che sarebbe possibile.

Abbiamo accennato (non prendetelo come un dato di fatto, ma solo come una similitudine molto azzardata e abbastanza virtuale) al Big Bang come a un buco bianco, con tanto di singolarità. Ma dov’è il suo orizzonte degli eventi? Beh… potremmo dire che non esiste dato che tutto lo spazio tempo non lo incontra mai. In altre parole, il Big Bang è una singolarità “nuda”. Potremmo, però, anche dire (mi si perdoni l’estrapolazione un po’ esagerata) che si riuscirà a incontrare solo nell’infinito futuro, ossia esso sarebbe tutto il triangolo compreso tra le linee dell’infinito futuro della luce. Cosa rappresenti non è difficile a capire e, devo ammettere, che è estremamente simile all’Universo infinito di Giordano Bruno.

Butto giù una frase un po’ provocatoria (che modifica un po' quanto avevo detto tempo fa) : “L’Universo (la realtà globale) è il cono di luce passato di ciò che esisterà al tempo infinito”. Estrapolando ancora… “La nostra realtà dipende da ciò che sarà il futuro ed è quindi inutile cercare di definirla adesso!”. Beh, un modo abbastanza “astuto” per rispondere alla domanda di qualche tempo fa… (QUI).

Fermiamoci qui, per adesso, ricordandoci che il Paese dei Balocchi che stiamo visitando deve restare un mondo di fantasia reale… senza alcun doppio senso. Di più non possiamo fare.

 

In attesa di essere riuniti in un unico approfondimento, QUI trovate tutti gli articoli della serie "Apriamo la porta del buco nero" finora pubblicati

2 commenti

  1. edoardo

    Caro  Vincenzo,

    trovo molto intrigante la frase  “L’Universo (la realtà globale) è il cono di luce passato di ciò che esisterà al tempo infinito”. Estrapolando ancora… “La nostra realtà dipende da ciò che sarà il futuro ed è quindi inutile cercare di definirla adesso!”, anche se non so ancora dove portera' il ragionarci sopra.

    Chiedo un chiarimento a proposito della figura 19.  Il punto T non si muove nello spazio. E' giusto dire che il suo movimento nel tempo e' quello dell'espansione dell'universo? Se e' cosi', il fatto che T venga raggiunto da IS in ITF presuppone che la velocita' dell'espansione sia maggiore di quella della luce?

    Grazie e buone vacanze.

  2. caro Edoardo,

    no, non possiamo vedere l'espansione in un diagramma come questo. Ricordiamoci che la scala delle linee tipo tempo non è mantenuta. Si mantengono solo gli angoli tra le linee tipo luce.  Vuole solo dire che  la luce che proviene dall'infinito  ci raggiungerà in un tempo infinito. Se tu tracci le curve tempo = cost. esse saranno iperboli sempre più vicine alle linee luce, ma si congiungeranno con loro solo al tempo infinito.

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