30/01/19

NEW: Minkowski per tutti. 6: Achille, la tartaruga e tre giudici inaffidabili***

Questo quiz-non quiz fa parte della serie "Minkowski per tutti". Le soluzioni sono inserite in questo stesso articolo, ma sarebbe più interessante provare, prima di leggerle, a darle nei commenti, anche solo per esprimere le eventuali difficoltà incontrate.

Questo articolo era già apparso, ma il compito dei tre giudici non era stato definito molto bene e ne conseguivano soluzioni ambigue. Ringrazio Guido per avere sollevato il problema. In questa versione credo che i vari compiti siano decisamente ben stabiliti... comunque, se vi sono problemi... parliamone! Con Achille e la tartaruga non si sa mai dove si va a finire...

Ci ricordiamo bene il paradosso di Zenone relativo alla sfida tra Achille e la tartaruga. In quel caso si era di fronte a una battaglia tra matematica e fisica. Adesso, inserendo la relatività speciale e la velocità della luce, le cose si complicano ancora di più.

Ricordiamoci di tenere bene a mente che siamo interessati sia all'ordine cronologico di ciò che accade nei vari sistemi di riferimento sia a cosa vedono realmente Achille, la tartaruga e i giudici a seconda dei loro compiti effettivi . Un sistema di riferimento ha tutti i suoi orologi sincronizzati perfettamente. In altre parole, possiamo immaginare che un orologio del sistema di Achille sia sempre accanto alla tartaruga e viceversa. Per i giudici capita la stessa cosa. Ben diversa è la situazione quando siamo interessati a ciò che vedono realmente  Achille e la tartaruga. Non dimentichiamolo mai...

La sfida tra Achille e la tartaruga non finisce mai e assume risvolti sempre più ambigui. In questo caso, vi sono ben tre giudici che dovrebbero dare una valutazione imparziale anche se sappiamo che sia la tartaruga che Achille sono atleti che non mentono mai e che accettano la realtà dei fatti, qualunque essa sia. Lungi da loro cercare di barare!

Tutto dovrebbe, perciò, svolgersi in modo perfetto e, invece, non si riesce mai a trovare un accordo... E pensare che la gara viene svolta in tre modi diversi.

La tartaruga, dimenticando la furbizia di Zenone, ammette di non potere fronteggiare le poderose leve di Achille e accetta la gara solo se viene  favorita da un percorso uguale solo alla metà di quello di Achille. In altre parole, il traguardo della tartaruga dista dalla partenza la metà di quello di Achille. Achille non si preoccupa assolutamente e accetta senza alcun tentennamento, essendo sicuro di sé.

a) Fianco a fianco

La prima gara vede gli atleti partire insieme e correre nella stessa direzione verso i due traguardi, con quello della tartaruga posto a metà strada rispetto a quello di Achille. Vi è un giudice di partenza e un giudice per ogni traguardo. Lo schema è quello di Fig. 1, dove A è Achille, T la tartaruga, GP il giudice di partenza e GA e GT i giudici addetti ai traguardi di Achille e della tartaruga (e, quindi, indicano anche la posizione dei due traguardi).

Figura 1
Figura 1

Gli atleti partono insieme e si fermano immediatamente nel momento del loro arrivo.

Teniamo ben presente che i giudici GT e GA fanno partire i loro orologi sincronizzati con quello del giudice di partenza GP. Non hanno bisogno di veder partire gli atleti: quello è un compito che spetta al giudice di partenza GP. I giudici di arrivo devono solo schiacciare il cronometro quando i due atleti arrivano fisicamente vicini a loro.

1a. I due giudici di arrivo danno una perfetta parità, che è confermata anche dal giudice di partenza. Chi vince, invece, nei sistemi di Achille e della tartaruga? Disegnare il diagramma relativo.

I giudici e i due atleti sono molto imbarazzati e decidono di basarsi solo su ciò che vedono direttamente.

2a. Cosa concludono giudici e atleti? Disegnare il diagramma relativo.

Come si può notare le cose sono cambiate non di poco...

b) Occhio che non vede, cuore che non sente 

La tartaruga non è del tutto contenta di se stessa ed è convinta che aver visto Achille superarla subito le abbia causato una crisi psicologica che ha limitato le sue potenzialità atletiche. Propone, allora, di rifare la gara, ma mettendo i due traguardi (sempre alla stessa distanza di prima rispetto alla linea di partenza) in direzioni opposte, In tal modo, la tartaruga correrà nel verso opposto di Achille e non lo vedrà scappar via. Lo schema è quello di Fig. 2.

tartachi2
Figura 2

I giudici concludono nuovamente che nel loro sistema la gara è finita in parità, ma in quello della tartaruga  e di Achille le cose sono cambiate. L'accordo è ancora lontano...

1b. Cosa concludono Achille e la Tartaruga? Ovviamente, il diagramma relativo è obbligatorio...

Come già fatto prima, si ripiega sulla visione diretta, ma non si ottiene niente di meglio...

2b. Cosa concludono giudici e atleti? Senza dimenticare il diagramma relativo... 

c) Partenza separata 

Non resta che fare un terzo tentativo. Questa volta i due atleti partono separatamente, in modo tale che il traguardo comune mantenga le distanze relative ai due atleti, come mostra la Fig. 3 . Questa volta il giudice GP è in realtà un giudice di arrivo...  Gli altri due  si occupano, adesso,  della partenza dei due atleti.

Figura 3
Figura 3

1c. Cosa succede nei rispettivi sistemi di riferimento e nella visione diretta? Diagramma compreso, come sempre...

Mamma mia... sembra un miracolo! Ma è di breve durata... purtroppo. E' bastato, infatti, controllare le partenze e tutto è tornato nel caos, sia considerando i sistemi di riferimento sia passando alla visione diretta.

2c. Cosa succede nei rispettivi sistemi di riferimento e nella visione diretta, analizzando la partenza? Il diagramma è più che obbligatorio!

Amici miei, tra relatività speciale e velocità della luce forse era meglio farsi imbrogliare matematicamente da Zenone...

RISPOSTA

Chi vuole conoscere subito la risposta, non deve fare altro che schiacciare "mostra risposta" (invitiamo, però, chi conosce le basi della RR  a provare, prima, da solo...)

Sì, è proprio vero... molto meglio affidarsi a Zenone!

 

 

13 commenti

  1. Guido

    Ci sto lavorando...

  2. Guido

    Al momento posso lavorarci solo in modo discontinuo e poiché mi rendo conto di essere lento nell’elaborazione delle figure avrei deciso di postare la mia soluzione divisa in 3 parti via via che completo le figure. In tal modo chi volesse potrebbe anche trarre spunto dalla mia impostazione (che spero corretta) per proseguire mentre porto avanti il resto. Non mi riferisco a Paolo che sappiamo bene essere un esperto di Minkowski e di RR e che di certo ha già risolto il tutto.

    PARTE 1 – fianco a fianco

    Parto dalla considerazione che l’evento “arrivo al traguardo della tartaruga e di Achille” è simultaneo nel sistema di riferimento dei giudici (sistema in quiete). Quindi riporto sul classico grafico di Minkowski X-t (in nero) i punti che corrispondono all’arrivo della tartaruga e di Achille (istante t). Essi saranno posizionati all’istante Tarr sulle rispettive linee d’universo dei giudici GP, GT e GA (in verde), con la distanza tra GT e GA uguale alla distanza GP-GT come suggerisce lo schema del testo. Aggiungo nella figura che segue anche la linea della velocità della luce (in giallo) e inclinata di 45° come vuole Minkowski, che servirà dopo.

    Sia la tartaruga che Achille rappresentano invece sistemi in moto (uniforme) e pertanto occorre riportare gli assi X-t dei loro rispettivi sistemi di riferimento. La tartaruga è più lenta e quindi la “forbice” tra gli assi del suo sist. di riferimento è più aperta (assi viola) che nel caso di Achille (assi rossi). Vedi fig.1.

    fig1

    Trasporto ora il punto viola, cioè l’evento “arrivo della tartaruga” nel sistema di riferimento di Achille, tracciando la parallela all’asse XA (linea rossa tratteggiata) ed ottenendo il punto viola sull’asse dei tempi “achillei”. Poi riporto il punto rosso, cioè l’evento “arrivo di Achille” nel sist. di rif. della tartaruga tracciando la parallela all’asse XT (linea tratteggiata viola) ed ottenendo il punto rosso sull’asse dei tempi “tartarugheschi”. Vedi fig. 2.

    fig.2

    Quindi si vede che nel sist. di Achille vince Achille (la tartaruga arriva dopo) e nel sist. di rif. della tartaruga anche (Achille arriva prima), come indicano le rispettive posizioni dei punti rosso e viola.

    Per capire cosa vedono giudici ed atleti occorre considerare i percorsi della luce rispetto a chi percepisce le immagini. Giudice GP: traccio le perpendicolari alla linea gialla dai pti che rappresentano l’arrivo della tartaruga e di Achille ed ottengo i pti 1 e 2, il giudice GP vede arrivare prima la tartaruga e poi Achille.

    Giudice GT:  l’intersezione con la perpendicolare alla linea gialla dal pto che rappresenta l’arrivo di Achille fornisce la posizione del pto 3 mentre l’arrivo della tartaruga su questa linea d’universo è il pto viola, il giudice GT vede arrivare prima la tartaruga e poi Achille.

    Giudice GA:  l’intersezione con la parallela alla linea gialla dal pto che rappresenta l’arrivo della tartaruga fornisce la posizione del pto 4 mentre l’arrivo di Achille su questa linea d’universo è il pto rosso, il giudice GA vede arrivare prima Achille e poi la tartaruga. La stessa linea prolungata fino all’asse del tempo achilleo (tA) fornisce il pto 5, e quindi Achille vede la tartaruga tagliare il traguardo dopo di lui.

    L’intersezione tra la perpendicolare alla linea gialla condotta dal pto che rappresenta l’arrivo di Achille e l’asse del tempo tartarughesco (tT) fornisce il pto 6, e quindi la tartaruga vede Achille tagliare il traguardo dopo di lei. vedi fig.3.

    fig.3

    A seguire la parte la parte 2 (appena pronta).

     

  3. Guido

    ecco la parte 2.

    Rispetto al caso precedente occorre spostare GT con la sua linea d’universo a sin di GP, mantenendo invariata la distanza da GP stesso, come dice lo schema del testo. Gli assi del sistema tartarughesco ora devono essere ribaltati rispetto agli assi del sistema in quiete (in nero) poiché la tartaruga si sposta nel verso contrario a quello di Achille.

    Con la medesima procedura utilizzata in fig. 2 si ottengono ora il pto viola sull’asse rosso e pto rosso sull’asse viola che rappresentano, rispettivamente, gli eventi “arrivo della tartaruga” rispetto al sistema achilleo e “arrivo di Achille” rispetto al sistema tartarughesco. Vedi fig. 4

    Quindi si vede che nel sist. di Achille vince Achille (la tartaruga arriva molto dopo) mentre nel sist. di rif. della tartaruga vince la tartaruga (Achille arriva dopo), come indicano le rispettive posizioni dei punti rosso e viola.

    Per capire cosa vedono giudici ed atleti considero i percorsi della luce rispetto a chi percepisce le immagini, come prima.

    Giudice GP: traccio la perpendicolare alla linea gialla dal pto che rappresenta il momento in cui egli vede arrivare Achille ed ottengo il pto 2, l’intersezione con la parallela alla linea gialla è il pto 1 che rappresenta il momento in cui egli vede arrivare la tartaruga, quindi il giudice GP vede arrivare prima la tartaruga e poi Achille.

    Giudice GT:  con le medesime rette si ottiene l’intersezione 3 che rappresenta il momento in cui il giudice vede arrivare Achille mentre l’arrivo della tartaruga su questa linea d’universo è il pto viola, il giudice GT vede arrivare prima la tartaruga e poi Achille.

    Giudice GA:  l’intersezione con la parallela alla linea gialla dal pto che rappresenta l’arrivo della tartaruga fornisce la posizione del pto 4 mentre l’arrivo di Achille su questa linea d’universo è il pto rosso, il giudice GA vede arrivare prima Achille e poi la tartaruga. La stessa linea prolungata fino all’asse del tempo achilleo (tA) fornisce il pto 5 (mi finisce fuori grafico ma se mi rimetto a disegnare tutto si fa notte…), e quindi Achille vede la tartaruga tagliare il traguardo ben dopo di lui.

    L’intersezione tra la perpendicolare alla linea gialla condotta dal pto che rappresenta l’arrivo di Achille e l’asse del tempo tartarughesco (tT) fornisce il pto 6, e quindi la tartaruga vede Achille tagliare il traguardo dopo di lei. vedi fig. 5.

    [caption id="" align="alignnone" width="494"] fig.5[/caption]

    Ora vedo cosa riesco a cavar fuori per la terza ed ultima parte.

     

  4. Guido

    Lo sapevo, non m'è riuscito di inserire la fig. 4.

    [caption id="" align="alignnone" width="460"] fig. 4[/caption]

  5. Quando hai finito, fai uno schemino che indichi cosa dicono i tre giudici e Achille e la Tartaruga in ogni singolo caso. Così sarà più facile controllare il risultato...

     

     

  6. Guido

    Ecco la terza ed ultima parte. In fondo riassumo tutti i miei risultati.

    PARTE 3

    Rispetto al caso iniziale riposiziono l’origine dei rispettivi assi di riferimento concordemente con le partenze separate in GT e GA  . Achille inoltre si muove verso sin mentre la tartaruga verso ds, quindi ruoto gli assi del sistema di riferimento di Achille in senso opposto. Si vede che i 2 concorrenti arrivano in perfetta contemporaneità sull’asse t del sistema in quiete (pallino nero) nonché del giudice GF. Anche per i due sistemi di riferimento dei concorrenti tutto torna, c’è contemporaneità e quindi i pallini viola e rosso si sovrappongono a quello nero. L’osservazione diretta conferma tutto, infatti anche sulle linee d’universo dei giudici GT e GA i pallini, proiettati al solito modo secondo la linea gialla della luce, coincidono (punti 1 e 2) tanto per GA che per GT. Vedi fig. 6

     

    [caption id="" align="alignnone" width="451"] fig.6[/caption]

     

    Per controllare le partenze occorre riportare il punto GT della partenza della tartaruga nel sistema di riferimento di Achille (assi rossi), ottenendo il pto PT’ (pallino viola) e analogamente riportando il punto GA (partenza di Achille) nel sist. di rif. della tartaruga (assi viola) si ottiene il pto PA’ (pallino rosso).

    Per i 3 giudici l’evento della partenza è simultaneo, mentre nel sistema della tartaruga Achille è partito prima. Anche nel sistema di Achille la tartaruga è partita prima.

    Il giudice GF vede partire la tartaruga all’istante 3, il giudice GA all’istante 5 e Achille la vede partire all’istante 4.

    Il giudice GT vede la partenza di Achille all’istante 8, la tartaruga lo vede partire all’istante 7. Vedi fig. 7

     

    [caption id="" align="alignnone" width="486"] fig.7[/caption]

     

    RIASSUMENDO

    Se ho disegnato e ragionato correttamente dovremmo avere le seguenti riposte:

    PARTE 1

    Nel sistema di Achille vince Achille

    Nel sistema della tartaruga vince sempre Achille

    Verifica visiva: il giudice GP vede arrivare prima la tartaruga, il giudice GT vede arrivare prima la tartaruga e il giudice GA vede arrivare prima Achille. La tartaruga vede Achille arrivare dopo di lei, Achille la vede invece arrivare dopo di lui.

    PARTE 2

    Nel sistema di Achille vince Achille

    Nel sistema della tartaruga vince la tartaruga

    Verifica visiva: il giudice GP vede arrivare prima la tartaruga, il giudice GT vede arrivare prima la tartaruga e il giudice GA vede arrivare prima Achille. La tartaruga vede Achille arrivare dopo di lei, Achille la vede invece arrivare dopo di lui.

    PARTE 3

    Nel sistema di Achille, della tartaruga e dei 3 giudici l’arrivo dei 2 concorrenti è simultaneo, la verifica visiva conferma la simultaneità.

    Controllo partenze:

    Nel sistema di Achille la tartaruga è partita prima di lui.

    Nel sistema della tartaruga invece è stato Achille a partire prima di lei.

    Verifica visiva: il giudice GF vede partire prima la tartaruga, il giudice GT vede partire prima la tartaruga e il giudice GA vede partire prima Achille. La tartaruga vede Achille partire dopo di lei, Achille la vede invece partire dopo di lui.

  7. caro Guido...

    avevo valutato male i giudici... comunque controlla adesso la tua risposta con la mia e vediamo se tutto torna... potrei aver fatto anch'io un po' di confusione... adesso dovrebbe essere giusta la risposta...

  8. Guido

    Ho controllato con la risposta, mi sembra che tutto torni.

  9. Paolo

    Caro Enzo, prima di leggere i commenti e la soluzione, vorrei provare a rispondere anch'io alle domande del quiz.

    Come al solito per i sistemi di riferimento userò le linee di simultaneità (quando gli orologi sincronizzati di quel sistema segnano lo stesso tempo):

    nere e parallele all'asse x per i giudici;

    blu e parallele all'asse x' per la Tartaruga;

    rosse e parallele all'asse x'' per Achille,

    La prima figura risponde alla prima domanda, ossia chi vince nei vari sistemi ?

    Per il sistema dei giudici Achille e la Tartaruga arrivano insieme al traguardo al tempo tF (vedi linea di simultaneità nera).

    Per il sistema della Tartaruga, quando lei raggiunge il traguardo (t'T) Achille l'ha già raggiunto (tempo t'A, linea di simultaneità blu).

    Per il sistema di Achille, la tartaruga raggiunge il traguardo (t''T linea di simultaneità rossa) dopo che lui è già arrivato (t''A ).

    Quindi per entrambi vince Achille.

    Il disaccordo tra giudici e atleti, dipende ovviamente dal fatto che ogni sistema ha le sue linee di simultaneità!

    La seconda figura mostra che cosa vedono direttamente i vari personaggi.

    Questa volta, a differenza di prima, la Tartaruga vede Achille raggiungere il traguardo (t'lA) dopo di lei (t'T).

    Achille vede la Tartaruga raggiungere il traguardo (t''lT) dopo di lui (t''A).

    Due giudici (Gp e GT) vedono arrivare al traguardo prima la Tartaruga e poi Achille, mentre il terzo giudice (GA) vede arrivare prima Achille (tF) e poi la Tartaruga (tlT).

    Quindi, basandosi su ciò che si vede: per la Tartaruga ha vinto lei, per Achille ha vinto lui, per due giudici ha vinto la tartaruga e per un terzo giudice ha vinto Achille.

    C'è un totale disaccordo, ma d'altronde la visione diretta non tiene conto del tempo impiegato dalla luce per percorrere la distanza che ci separa dall'evento che si osserva.

    Nella figura ho anche mostrato la luce che parte dal punto di partenza, che mostra il ritardo con cui raggiunge prima il giudice GT e poi il giudice GA.

    La terza figura risponde alla terza domanda, ossia chi vince nei vari sistemi cambiando lo schema di partenza?

    Per il sistema dei giudici Achille e la Tartaruga arrivano insieme al traguardo (al tempo tF).

    Per il sistema della Tartaruga, Achille raggiunge il traguardo (t'A) dopo che lei è già arrivata (t'T).

    Per il sistema di Achille, la tartaruga raggiunge il traguardo (t''T) dopo che lui è già arrivato (t''A).

    Quindi per entrambi sono loro i vincitori.

    segue  :arrow:

  10. Paolo

    La quarta figura mostra che cosa vedono direttamente i vari personaggi, nel secondo schema di partenza.

    La Tartaruga vede Achille raggiungere il traguardo (t'lA) dopo di lei (t'T) ed Achille vede la Tartaruga raggiungere il traguardo (t''lT) dopo di lui (t''A).

    Due giudici (GT e GP) vedono arrivare al traguardo prima la Tartaruga e poi Achille, mentre il terzo giudice (GA) vede arrivare prima Achille (tF) e poi la Tartaruga (tlT).

    Quindi, basandosi su ciò che si vede: per la Tartaruga ha vinto lei, per Achille ha vinto lui, per due giudici ha vinto la tartaruga e per un terzo giudice ha vinto Achille.

    La quinta figura risponde alla quinta domanda, ossia cosa succede alla partenza nei vari sistemi cambiando lo schema?

    Tutti i sistemi (t; t'T; t''A) concordano che Achille e la Tartaruga si incontrano al traguardo (indicato come evento Z).

    Il disaccordo riguarda, invece, la partenza.

    Per il sistema dei giudici Achille e la Tartaruga partono (tP) e arrivano insieme al traguardo (tF).

    Per il sistema della Tartaruga, Achille è partito (t'A) prima di Lei (t'T).

    Per il sistema di Achille, la tartaruga è partita (t''T) prima di Lui (t''A).

    L'ultima figura mostra che cosa vedono direttamente i vari personaggi, nel terzo schema di partenza.

    La Tartaruga vede Achille partire (t'lA) dopo di lei (t'T) ed Achille vede la Tartaruga (t''lT) partire dopo di lui (t''A), ossia l'esatto contrario di ciò che misurano i loro sistemi di riferimento.

    Due giudici (GT e GF) vedono partire prima la Tartaruga e poi Achille, mentre il terzo giudice (GA) vede partire prima Achille (tP) e poi la Tartaruga (tlT).

    Ora vado a leggere la soluzione ed i commenti, anche per controllare di non aver commesso qualche errore.

    Paolo

  11. Paolo

    :oops: opps ho commesso un errore non ho considerato che Achille e la Tartaruga una volta raggiunto il traguardo si fermano... per cui tutto da rifare...

    Paolo

  12. caro Paolo,

    rileggi bene il nuovo testo... ho cambiato il compito dei giudici in modo da non creare situazioni un po' confuse.

    detto in parole povere i  giudici di partenza fanno partire gli orologi a un tempo stabilito (non possono guardare quando partono i concorrenti, ossia prendono per buona una partenza simultanea). Quando i concorrenti arrivano i due giudici di arrivo si occupano solo di cronometrare il tempo del proprio concorrente. E' solo il giudice di partenza che può anche GUARDARE cosa succede ai due concorrenti.

    La stessa cosa capita nell'ultimo caso: non si può mettere in discussione la partenza da parte dei due giudici di partenza, ma solo quella del giudice di arrivo che può  VEDERE la partenza...

    Ho semplificato la trattazione, altrimenti si creavano situazioni un po' ambigue... come potrai vedere da solo se ammetti che non TUTTI i giudici siano corretti...

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