Un problema che si risolve molto elegantemente lavorando solo con i vettori (e i versori), ricordando una classica operazione tra di loro.

La risposta di Umberto è quella che più si avvicina al calcolo vettoriale e ai versori che volevo richiamare con questo esercizio (vedi QUI per una trattazione completa)

Un vettore può essere sempre scritto come somma di due vettori unitari (versori) lungo gli assi x e y (i e j) moltiplicati per le sue componenti lungo x e y.

In un moto parabolico abbiamo che:

v = v₀ + at

Attraverso i versori:

v = v₀ i + at j

Nel nostro caso (Fig. 1):

v₁ = u₁ i - gt j

v₂ = - u₂ i - gt j

Se due vettori sono perpendicolari, il loro prodotto scalare deve essere nullo, ossia:

v₁ x v₂ = ( u₁ i - gt j) x (- u₂ i - gt j) = -u₁u₂ +g²t² = 0

(N.B.: Basta  ricordare che il prodotto scalare è uno scalare e che  i x i = j x j = 1 e i x j = j x i = 0)

Da cui:

t² = u₁u₂/g²

t = √(u₁u₂)/g        .... (1)

Utilizzando sempre i vettori, siano r₁ e r₂ i vettori posizione dei due punti in cui le velocità sono perpendicolari tra loro.

r₁ = u₁t i - 1/2 gt²j

r2 = - u2t i - 1/2 gt²j

Facendo la differenza e prendendo il valore assoluto trattandosi di una distanza:

r₁₂ = |r₁ - r₂| = (u₁ + u₂)t

Sostituendo t con la (1):

r12 = (u1 + u2)√(u₁u₂)/g

Ovviamente, sono giusti anche gli approcci "scalari" di Arturo e Leandro (le loro soluzioni le trovate QUI, nei commenti), ma ho preferito richiamare un po' i vettori e i versori e le loro operazioni.

Per vedere l'animazione preparata da Arturo, andate QUI e divertitevi a cambiare la configurazione iniziale.