Ott 22

Soluzione degli urti numerici (prima parte) ** e completamento del quiz ****

La prima parte, ossia quella relativa a cosa "saltava fuori" era decisamente facile, anche se molto noiosa...

Con m1 uguale 1 si hanno 3 urti         (d =1)

Con m1 = 100 si hanno 31 urti            (d = 2)

Con m1 = 10000 si hanno 314 urti         (d = 3)

Con m1 = 1000000 si hanno 3141 urti           (d = 4)

ecc., ecc....... PROVARE PER CREDERE.
In poche parole (come ha risposto esattamente Francesco) saltano fuori le cifre significative del pi greco e  aumentando la massa  (ossia aumentando d) se ne aggiunge sempre una in più approssimando pi greco PER DIFETTO. Basterebbe solo mettere la virgola al posto giusto e avremmo un modo fisico (dinamico) per determinare pi greco. Bellissimo... sì, ma perché otteniamo questo risultato?

Francesco ha già dato il via esprimendo ogni urto successivo attraverso la conservazione dell'energia delle due masse (che rimane sempre la stessa sia dopo l'urto tra le masse sia dopo l'urto di m2 con la parete) e della quantità di moto (che si conserva solo nell'urto tra le due masse, ma non dopo l'urto contro la parete che cambia la velocità di m2). Tuttavia si è poi fermato... Bene... proviamo ad andare avanti su questa strada, ricordando che in fondo l'ellisse può avere come caso particolare la ... circonferenza ed è facile trasformare qualsiasi ellisse in una circonferenza... basta manipolare qualcosa...

Ho già detto tanto... adesso continuate voi...

4 commenti

  1. Francesco

    Come anticipato a Vincenzo ho provveduto a tracciare in un piano v1 (ascisse),v2 (ordinate)l’equazione della conservazione dell’energia e quella della conservazione della quantità di moto.

    La curva di conservazione dell'energia, 1/2*m1*v1^2+1/2*m2*v2^2=costante, nel piano v1, v2 è un'ellisse, mentre la curva della quantità di moto è la retta m1*v1+m2*v2=costante

    Figura 1

    L’ellisse rossa è la curva della conservazione dell’energia: ½*m1*v1^2+ ½*m2*v2^2=cost; le linee blu sono le rette della conservazione della quantità di moto di m1 e m2 al loro urto: m1*v1+m2*v2=cost; le linee verdi sono gli urti tra m2 e la parete (inversione del moto da v2 verso sinistra a v2 verso destra).

    Ogni retta (verde o blu che sia) nei punti di intersezione con l’ellisse rossa rappresenta le due condizioni di velocità v1 e v2 prima e dopo l’urto.

    Quindi ogni segmento blu rappresenta un urto tra le masse ed ogni segmento verde l’urto tra m2 e la parete: contando i segmenti si ottiene il numero di urti (nel caso del disegno sono 10 urti, che dal programmino corrispondono ad un rapporto tra le masse pari a 10 o 11). Ovviamente anche in forma grafica si tratta di un’operazione iterativa.

    Inoltre, i grafici sono tracciati in maniera casuale, senza un preciso rapporto tra m1 e m2.

    Il primo urto avviene con v2=0 e v1 massimo verso sinistra (negativo), nel punto A. Il punto B rappresenta le velocità delle masse dopo il primo urto: v1B è diminuito in modulo rispetto a v1A, perché parte della sua energia cinetica è stata data a m2 che parte con velocità v2B negativa (cioè verso la parete).

    Dall’analisi grafica si vede subito quando m1 torna verso destra (cioè quando la velocità v1 da negativa diventa positiva), poi ad ogni urto aumenta fino a quando supera in modulo quella di v2, che, a meno di un ulteriore urto con la parete, non lo raggiungerà più.

    Ora il passaggio successivo che mi ha fatto fumare il cervello. Il ragionamento è stato il seguente.

    Se la curva dell’energia fosse una circonferenza, allora si potrebbe legare l’angolo tra ogni segmento verde ed il successivo segmento blu con la lunghezza dell’arco (che sono sempre uguali, legati all’inclinazione della retta della quantità di moto, cioè al rapporto tra le masse) e giocando sulle proprietà trigonometriche si potrebbe individuare la correlazione che ci interessa: trattandosi di ellisse, gli archi non sono sempre uguali, anche se gli angoli tra i due urti successivi lo sono.

    La nostra ellisse però può essere facilmente trasformata in una circonferenza (facilmente mi è venuto dopo, prima il cervello ha fumato). Infatti, se sostituiamo al piano v1,v2 un piano X=v1*rad(m1),Y=v2*rad(m2), l'eqz di conservazione dell'energia cinetica diventa una circonferenza (X^2+Y^2=cost) e quella di conservazione della quantità di moto resta una retta Y=cost-rad(m1/m2)*X (con coefficiente angolare diverso da prima)

    Graficando le due equazioni sul piano XY abbiamo

    Figura 2

    L’angolo β tra le rette rappresentative l’urto tra le masse e l’urto tra m2 e parete è ovviamente π/2 -rad(m1/m2) ed è pari alla metà dell’angolo al centro che sottende il solito arco BD. Tali archi BD sono tutti di lunghezza uguale, perché sottendono tutti lo stesso angolo al centro 2β:

    urto AB, arco AB=2β; urto BC, arco AC=2β; urto CD, arco BD=2β; eccetera.

    Resta escluso l’arco dell’urto finale: infatti l’urto successivo tra m2 e m1 è impossibile per vari motivi (ad esempio, v2<v1 entrambi positive, e quindi m2 non raggiunge m1; oppure, l’urto porterebbe an un punto di energia cinetica esterna alla circonferenza e quindi non esiste).

    Figura 3

    La condizione limite di urto finale è quando v2, dopo l’urto con la parete, appartiene alla retta passante per il punto v1=-v1iniziale, v2=0: l’angolo al centro della retta è sempre 2β.

    Figura 4

    Quindi se l’ultimo urto di m2 con la parete porta la velocità v2 all’interno dell’arco 2β, la velocità v2 non le permetterà più di raggiungere m1 e quindi gli urti si arrestano.

    Da qui in poi è come l'avevo pensata io (Vincenzo in privato mi ha mostrato una soluzione più "pulita" e anche corretta): la nostra circonferenza sarà coperta da un numero di archi pari al numero di urti

    2β+2β+2β+…+2β=2π a meno dell’ultimo arco inferiore a 2β (il nostro resto).

    Quindi Nurti*β=π, che può essere scritto in altro modo, Nurti=intero(pigreco*rad(m1/m2)).

    Vincenzo mi ha evidenziato che se β è sufficientemente piccolo (cioè il nostro rapporto iniziale tra m1 e m2, sotto radice, sufficientemente grande) tale angolo può essere approssimato con la sua arctg (commettendo un errore di tre ordini di grandezza inferiore)

    Nella seguente tabella metto m1, m2, beta, arctan(beta), differenza tra beta e arctan(beta) e numero urti N

    100 - 1 - 0.1 - 0.099 - 3*10^-4 - 31

    100^2 - 1 - 0.01 - 0.0099 - 3*10^-7 - 314

    100^3 - 1 - 0.001 - 0.00099 - 3*10^-10 - 3142

    Questo mi fa pensare che se l'errore è di tre ordini di grandezza inferiore al valore, gli errori che commettiamo a sommare tutti gli N beta non riescono a superare il valore di 2beta che mi farebbe ricadere nell'angolo limite della figura 4, e quindi il numero di urti resterebbe uguale.

    Credo che Vincenzo qui debba spiegare meglio.

    Ciao

  2. Ottimo Francesco,

    sì -forse- qualche ritocco qua e là, ma l'idea è quella giusta. Sbaglierò, ma l'ellisse non dovrebbe essere ruotata di 90° se m1>m2 ?

  3. Francesco

    Hai ragione, non ho fatto nessuna attenzione a questo. In giornata la metto a posto

  4. Francesco

    Ciao Vincenzo

    per mail ti ho inviato l'immagine con due casi: m1=m2 (e in questo caso l'eqz della conservazione dell'energia è una circonferenza) ed il caso m1=10m2.

    I due grafici non sono in scala.

    Ciao

     

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