Mag 14

Disuguaglianza di Bell parte 3 - Interpretazione standard

Questo articolo è stato inserito nella pagina d'archivio dedicata alla Disuguaglianza di Bell

LA DISUGUAGLIANZA DI BELL
Interpretazione
Standard

In questo articolo iniziamo ad esplorare come la teoria standard interpreta i fatti che abbiamo visto nei due articoli precedenti (parte prima e parte seconda).

Prima di procedere li riassumo, così li abbiamo presenti più agevolmente.

La disuguaglianza di Bell evidenzia l'impossibilità che teorie locali possano produrre previsioni sempre uguali alla interpretazione standard. In questo modo è possibile invalidare una delle due teorie. Una delle grandezze che manifesta questa impossibilità è ottenibile da misure sulla polarizzazione di coppie di fotoni entangled.

Negli articoli precedenti abbiamo visto come la polarizzazione dei fotoni può essere evidenziata e gli effetti della polarizzazione sul passaggio dei fotoni attraverso cristalli polarizzatori.

La polarizzazione dei fotoni può essere evidenziata da strumenti che impiegano un particolare cristallo e una coppia di contatori che rivelano i fotoni e possono fornire misure quantitative.

Figura 3.1

I fotoni che in ingresso al cristallo provengono da una direzione scelta opportunamente, in uscita sono rivelati da contatori posizionati su due diverse direzioni.

I fotoni rivelati dal medesimo contatore hanno tutti la stessa direzione di polarizzazione.

La direzione di polarizzazione dei fotoni rivelati da un contatore è perpendicolare a quella dei fotoni rivelati sull'altro contatore.

Il numero di fotoni rivelati in uscita è, idealmente, uguale a quello dei fotoni entranti.

Le direzioni di polarizzazione dei fotoni rivelati dipendono dall’orientamento del cristallo, ma non dipendono dalla direzione di polarizzazione dei fotoni entranti.

Dalla polarizzazione dei fotoni entranti invece dipende il numero di fotoni rivelati dai contatori con ciascuna delle due possibili polarizzazioni. L'esperimento per ottenere questa relazione può essere realizzato con un apparato simile a quello della figura sopra alimentato da una sorgente di fotoni polarizzati.

  • abbiamo la certezza che un fotone sarà rivelato esclusivamente da uno dei due contatori solo quando il fotone entrante ha la stessa polarizzazione dei fotoni rivelati su quel contatore.

  • in generale il numero di fotoni rivelati nei due contatori dipende dalla differenza δ tra gli angoli di polarizzazione del fotone entrante e del fotone rivelato dal contatore. La frazione di fotoni rivelata dal contatore B è pari a cos(δ)² e quella rivelata dal contatore A è cos(γ)²=sin(δ)². Questa relazione è nota come legge di Malus.

Figura 3.2

  • il risultato non dipende dal segno dell’angolo. Il risultato è lo stesso se l’angolo di polarizzazione del fotone entrante precede in senso orario quello del fotone rivelato o lo segue. La sua espressione matematica è: cos(δ)²=cos(-δ)².

  • possiamo quindi precisare l’affermazione del punto precedente. Il numero di fotoni rivelati nei due contatori dipende dal valore assoluto della differenza tra gli angoli

  • il numero di fotoni rivelati nei due contatori è, almeno idealmente, pari al totale dei fotoni entranti. L’espressione matematica di questo fatto è data dalla somma delle due funzioni: cos(δ)² + cos(γ)² = cos(δ)² + sin(δ)²=1.

Questi sono i fatti. Ora possiamo passare alle teorie che li interpretano e li spiegano.

Vediamo come questi fenomeni sono descritti dalla interpretazione standard della meccanica quantistica (MQ), quella più diffusa.

Nella interpretazione standard gioca un ruolo centrale lo stato del sistema. Dallo stato del sistema si possono ricavare tutte le informazioni sulle grandezze osservabili. Lo abbiamo già incontrato nell’articolo introduttivo, senza però arrivare alla sua espressione matematica. Ora vediamo di cosa si tratta.

La forma matematica dello stato di una sistema in MQ è un vettore. Questa è una affermazione generale.

Nel caso della polarizzazione il vettore con il quale abbiamo a che fare ha una forma che a chi frequenta questo circolo è già capitato di vedere in altri articoli, uno dei tanti esempi è qui. Corrisponde a quello che viene insegnato nelle lezioni di fisica delle scuole superiori e nei primi anni dell’università.

Alcune informazioni essenziali sui questi vettori si possono trovare nella scheda presente al termine dell’articolo precedente.

Normalmente la Meccanica Quantistica (MQ) utilizza un concetto ampliato di vettore, che però non è strettamente necessario per trattare la polarizzazione dei fotoni, almeno nella forma semplificata che vediamo in questo articolo.

Chi volesse comunque avere un’idea di cosa siano questi ampliamenti del concetto di vettore può leggere questa appendice. Una visione più ampia dell'argomento si può ottenere da questo articolo di Umberto.

 

Cosa sono questi box gialli sparsi negli articoli?

La polarizzazione dei fotoni si presta a essere illustrata utilizzando concetti estremamente semplificati rispetto a quelli più generali utilizzati in MQ. Certamente questo è un vantaggio per l’obiettivo di arrivare a esprimere la disuguaglianza di Bell e vederne il suo significato nei fenomeni che sono stati utilizzati più spesso nelle sperimentazioni.

Per contro, potrebbe risultare fuorviante ancorarsi a questa visione semplificata, anche se è sostanzialmente corretta nel caso della polarizzazione. In particolare, per coloro che in futuro verranno approfondire le loro conoscenza della MQ questo caso può essere un buon trampolino di lancio. Ma dal trampolino di lancio bisogna presto staccarsi.

La scopo dei box gialli è proprio quello di avvertire dove il distacco può avvenire. Chi volesse limitare la lettura a quanto strettamente necessario per arrivare alla disuguaglianza di Bell applicata alla polarizzazione dei fotoni potrebbe saltarli. Consiglierei comunque di leggerli, non si sa mai.

Torniamo allo stato di polarizzazione del fotone secondo la teoria standard. Lo possiamo rappresentare con un vettore bidimensionale di lunghezza unitaria orientato come la direzione di polarizzazione del fotone. In effetti la lunghezza del vettore che rappresenta uno stato in MQ non è significativa da un punto di vista fisico.

Per fissare le idee immaginiamo un fotone che viaggia orizzontalmente ed abbia una direzione di polarizzazione inclinata di 45° rispetto ad un piano che prendiamo come riferimento. Per brevità riassumo tutto questo dicendo che il fotone ha una direzione di polarizzazione di 45° o, ancora più brevemente, una polarizzazione di 45°.

Il vettore di stato di polarizzazione può essere rappresentato da questa immagine.

Tabella 3.1

Questa figura ha un colore di fondo diverso dalle precedenti. Questo colore vuole ricordare che l'immagine riguarda vettori di stato.

Il vettore di stato della polarizzazione del fotone appare molto simile a quello che indica la direzione di polarizzazione nella figura 3.2.

Per noi questo è un vantaggio perché ci permette di trattare e visualizzare più agevolmente le caratteristiche di questo vettore di stato. Ad esempio, se due fotoni hanno polarizzazioni tra loro perpendicolari, possiamo immediatamente trasferire questa affermazione nei rispettivi vettori di stato. Questa stretta analogia non deve trarci in inganno. Vale per la polarizzazione lineare dei fotoni, ma non vale in generale.

I due vettori sono totalmente diversi. Uno si trova nel nostro spazio fisico e l'altro si trova in uno spazio astratto degli stati. Frase che isolata forse non significa molto, ma ci avvisa che in generale non è possibile desumere cosi direttamente caratteristiche geometriche dal vettore di stato.

Cerco di chiarire con due esempi, senza entrare nei dettagli. Se avessimo utilizzato elettroni, invece di fotoni, il corrispondente della polarizzazione sarebbe stata una proprietà chiamata spin. Lo spin ha una direzione ed un verso nello spazio fisico. Per gli elettroni, i vettori di stato dello spin ortogonali nello spazio degli stati corrispondono a spin con la stessa direzione e senso opposto nello spazio fisico. La situazione sarebbe stata ancora più divergente se avessimo utilizzato grandezze collegate alla posizione e velocità delle particelle. Queste grandezze sono definite con vettori tridimensionali nello spazio fisico. I vettori di stato dai quali sono derivabili hanno invece normalmente dimensioni infinite. Si, i matematici si sono inventati anche vettori con infinite dimensioni ed i fisici ne hanno presto approfittato.

L’interpretazione standard stabilisce che la misura effettuata sul fotone ne cambia lo stato.

Questo è un punto caratteristico della interpretazione standard della MQ. Normalmente siamo abituati a pensare una misura come misura di una grandezza preesistente alla misura stessa. Se misuro la temperatura di una stanza penso di avere misurato la temperatura esistente nella stanza. Sono portato a pensare che la temperatura sarebbe, almeno idealmente, quella della stanza anche se non avessi fatto la misura. In MQ, almeno nella interpretazione standard, non è così. Il risultato di una singola misura ci da il valore della grandezza misurata dopo la misura, non ci può dire quasi nulla sulla grandezza prima della misura. Strano, ma è cosi.

La manifestazione di questo nuovo stato l’abbiamo vista nelle misure ideali dello scorso articolo e riassunte sopra.

Supponiamo di inserire un cristallo inclinato di 15° tra il fotone considerato sopra, con polarizzazione a 45°, e i contatori. Avremmo la configurazione in figura.

Figura 3.3

Nella prossima figura sono rappresentati i vettori di stato dei fotoni rivelati dai due contatori. Ricordiamo che le possibili polarizzazioni dei fotoni misurati è determinata dalla posizione del cristalli.

Tabella 3.2

Lo stato dei fotoni nelle due figure sopra evidentemente differisce per la polarizzazione. C'è anche un'altra differenza importante che deve essere evidenziata. I fotoni sono trovati in due posizioni differenti. L’elemento particolarmente interessante è che in una posizione troviamo fotoni con una polarizzazione delle due ammesse e nell’altra posizione troviamo fotoni con l’altra polarizzazione ammessa. Qui per posizioni intendo le sezioni intercettate da ciascuno dei due contatori.

In realtà, ciò che viene fatto nei contatori è proprio la misura della posizione del fotone.

Vediamo come possiamo includere anche la posizione nello stato, almeno una idea minima della posizione. Un vettore di stato che specifica anche la posizione è di quelli non rappresentabili con una semplice freccia, ma è pur sempre un vettore rappresentabile con la notazione di Dirac. Ne approfitto e scrivo in questo modo i due vettori di stato dei fotoni rivelati dai contatori.

Tabella 3.3

I due ket affiancati indicano un particolare tipo di prodotto tra due vettori. Per evitare fraintendimenti, dico che non si tratta ne del prodotto scalare ne del prodotto vettoriale che probabilmente molti conoscono. Il risultato di questo prodotto è un altro vettore che contiene al suo interno entrambi i vettori.

Non sappiamo molto della forma di questi stati definiti dai due prodotti della figura. Però possiamo dire che si differenziano sia per la polarizzazione sia per la posizione. I simboli che utilizziamo ce lo ricordano. Per noi è sufficiente questo. Il loro significato è quello intuitivo. Troviamo fotoni nel contatore A con polarizzazione μ+90° o troviamo fotoni con polarizzazione μ nel contatore B. La mancanza di stati che incrociano diversamente posizione e polarizzazione, come potrebbe essere |B〉|μ〉, sta ad indicare in questo caso che la polarizzazione μ non si presenta nel contatore B.

Ricordiamo che comunque questi stati sono rappresentati da vettori di lunghezza unitaria.

In questo modo abbiamo ottenuto una rappresentazione dei due possibili stati nei quali vengono trovati i fotoni transitati nel cristallo che ci dà un dettaglio sufficiente per proseguire.

A questo punto cerchiamo di capire come l'interpretazione standard ci fa arrivare a questi stati partendo dagli stati dei fotoni entranti nel cristallo

Partiamo dai due casi più semplici. Quelli nei quali i fotoni sono rivelati tutti dal medesimo contatore. Questo avviene quando i fotoni in arrivo hanno la stessa polarizzazione di una delle possibili polarizzazioni trovate nei contatori. Vediamo la rappresentazione grafica dei corrispondenti vettori di stato della polarizzazione.

Tabella 3.4

In questo caso i vettori di stato di polarizzazione dei fotoni in arrivo e di quelli rivelati dai contatori appaiono uguali. Questo per quanto riguarda la polarizzazione. Poi c'è da considerare la posizione che indico come abbiamo visto sopra.

Ora possiamo passare al caso di una polarizzazione dei fotoni entranti quando non coincide con quella dei fotoni trovati sui contatori.

Qui entra in gioco un'altra caratteristica fondamentale della interpretazione standard che ci permette di ricavare dai due casi visti sopra il risultato delle altre polarizzazioni entranti.

Supponiamo di conoscere le evoluzioni dello stato di una particella sottoposta ad un esperimento per due stati iniziali. Abbiamo un esempio sopra con i due stati iniziali della figura precedente

Se il vettore di stato di una particella all'inizio di un esperimento è una combinazione lineare dei due vettori di stato di cui conosciamo l'evoluzione, allora l'evoluzione di questo stato nello stesso esperimento sarà la stessa combinazione lineare delle due evoluzioni note. Detta così sembra complicato, ma le espressioni matematiche sono molto semplici.

Tabella 3.5

Nella interpretazione standard la somma di più stati viene indicata come sovrapposizione degli stati che si sommano. Lo stato risultante è indicato come stato sovrapposto. Sono termini da ricordare perché hanno un significato particolare nella interpretazione standard che vedremo più avanti.

Notate che i due vettori di stato di polarizzazione con i quali abbiamo costruito la combinazione lineare sono ortogonali tra loro e di lunghezza unitaria. Quindi possono essere utilizzati per costituire una base ortonormale bidimensionale che permette di espandere qualsiasi vettore di stato di polarizzazione di quelli che stiamo trattando, cioè di polarizzazione lineare. A questo punto credo sia chiaro quale è l'evoluzione di uno stato di polarizzazione in ingresso quando attraversa il cristallo.

L'espansione di un vettore in una base ortonormale l'abbiamo vista nell'appendice all'articolo precedente. Applichiamola ai vettori corrispondenti alla configurazione che stiamo esaminando. Fotoni entranti con polarizzazione a 45° e fotoni rivelati dai contatori con polarizzazione di 15° e 105° (15°+90°).

Tabella 3.6

Dal vettore di stato dei fotoni entranti si può ricavare il vettore di stato dei fotoni che hanno attraversato il cristallo applicando lo schema di tabella 3.5.

Tabella 3.7

Ma questo non è quello che cercavamo!

Ci deve essere qualcosa di sbagliato nella racconto fatto finora!

Vedendo questo stato dei fotoni dopo il cristallo a qualcuno potrebbero uscire queste esclamazioni.

In effetti non potrei dargli torto. C'è qualcosa che non quadra in questa espressione dello stato con i risultati delle esperienze che abbiamo visto negli articoli precedenti e che sono riassunti all'inizio di questo articolo.

Le misure di posizione e di polarizzazione fatte con i nostri contatori posizionati dopo il cristallo ci dicono che ci sono solo due possibilità. La loro espressione in termini di stati è nella tabella 3.3. Li ripeto qui sotto mettendoli a confronto con lo stato che abbiamo ottenuto.

Tabella 3.8

L'interpretazione da dare allo stato che abbiamo ottenuto che lo rende coerente con i risultati delle misure fu data da Max Born. La sua interpretazione è quella generalmente accettata ed è parte fondamentale della teoria standard.

Secondo questa interpretazione, lo stato che abbiamo ottenuto non ci dà direttamente la previsione dei risultati delle misure, come accade negli stati della fisica classica. Lo stato ci dà solo la probabilità che la misura dia ciascuno dei possibili risultati.

Il valore delle probabilità è ottenuto rappresentado lo stato del fotone come sovrapposizione dei vettori di stato di ciascuno dei possibili risultati della misura, come lo stato finale di tabella 3.7. Il valore dalla probabilità di ciascun risultato è dato dal quadrato del coefficiente del vettore di stato che nella sovrapposizione rappresenta il risultato.

Se i coefficienti fossero numeri complessi invece del quadrato ci sarebbe il modulo quadrato del numero complesso.

Queste regole applicate al nostro caso ci portano al risultato che cercavamo. Dai due coefficienti cos(δ) e sin(δ) si ricavano le probabilità, cos(δ)² e sin(δ)², che la misura trovi il fotone nei rispettivi stati.

Tabella 3.9

L'atto della misura modifica lo stato. Fa passare il vettore di stato da quello indicato dalle espressioni che abbiamo trovato sopra ad uno dei due che si presentano alla misura. Questo evento è chiamato riduzione del vettore di stato o, più drammaticamente, collasso del vettore di stato o della funzione d'onda in uno dei due stati misurati.

Il collasso dello stato porta con se un effetto molto interessante.

In questo tipo di stati, la misura di posizione fa collassare non solo la parte dello stato del fotone che riguarda la posizione, ma fa collassare anche la parte che riguarda la polarizzazione.

Dopo la misura di posizione è definita non solo la posizione, ma anche la polarizzazione.

Il risultato ottenuto è ora in accordo con le misure ed anche con la teoria classica. I fotoni vengono trovati solo in due stati di polarizzazione. Ripetendo l'esperimento su numerosi fotoni otteniamo esattamente la legge di Malus basata sui dati empirici e sulla teoria classica della polarizzazione. Quindi sembra essere tutto a posto ed in effetti lo è, almeno per tutti i fini pratici, come diceva J.S.Bell.

Ma l'interpretazione data da Max Born non è indolore. Ha conseguenze importanti sulla nostra visione della realtà.

Le espressioni di “disagio” rispetto alla teoria standard che ho citato nell'articolo iniziale si riferiscono proprio alle conseguenze di questa interpretazione.

Nella figura sopra appare un dado in corrispondenza della misura. L'ho inserito per ricordarci che secondo l’interpretazione standard la decisione è presa in modo totalmente casuale. È questa la Natura che gioca a dadi che non piaceva ad Einstein.

Attenzione, i dadi utilizzati dalla Natura sono speciali. I nostri dadi reali ubbidiscono a precise leggi. Conoscendo queste leggi e tutti i parametri che le controllano, il risultato del lancio dei dadi reali sarebbe prevedibile. Il risultato è casuale solo per la nostra ignoranza. Secondo l’interpretazione standard questi dadi sono invece intrinsecamente casuali. Non c’è in alcun modo la possibilità di prevederne il risultato.

Ma questa casualità delle scelte sarebbe il male minore, lo stesso Einstein sembra che non la considerasse un serio problema.

Quello che appare più problematico è il fatto che per la teoria il fotone ha proprietà definite solo dopo la misura, o meglio, solo a causa della misura. (Albert Einstein: “Credi veramente che la Luna esista solo quando la guardo?”, Richard Feynman: “Ritieni seriamente che senza un osservatore non ci sia una realtà?” ).

La stato del fotone prima della misura non gli attribuisce una posizione e una polarizzazione definite. Il risultato di una misura sul singolo fotone ci dice quale è il suo stato dopo la misura, non quello prima della misura. Per l'interpretazione standard lo stato del fotone non è descrivibile, indicibile come diceva J.S.Bell, se non con l'espressione matematica del suo stato quantistico. Ciò che è dicibile è lo stato dello strumento dopo la misura.

Lo sconcerto è aggravato dal fatto che non sappiamo chi sia a far avvenire il collasso delle stato, chi sia il misuratore. Per la teoria standard 'originale' è il contatore, il nostro strumento di misura, che lo provoca. Ma anche il contatore è fatto di particelle e fotoni. Potrebbe anche lui essere in uno stato sovrapposto. In effetti qualcuno non lo esclude. Il famoso gatto di Schrödinger è proprio in uno stato sovrapposto. Se si può pensare che lo sia un gatto, perché non uno strumento di misura. Allora quello stato sovrapposto che abbiamo attribuito al fotone prima della misura potrebbe essere pari pari trasferito ai contatori. Il contatore entrerebbe a tutti gli effetti nel sistema osservato.

Tabella 3.10

Se fosse così chi fa avvenire il collasso? Forse chi osserva il risultato del contatore?

(Richard Feynman: “Chi è l'osservatore? Una mosca..[.]..Una stella..[.]..Oppure sei tu l'osservatore?”, J.S.Bell:”Cosa esattamente qualifica certi sottosistemi ad assumere questo ruolo (il ruolo di misuratore)? La funzione d'onda dell'universo ha atteso miliardi di anni per fare salti, fino a quando non è apparsa una creatura vivente monocellulare? O ha dovuto aspettare un po' più a lungo, in attesa di un misuratore più qualificato - con un dottorato? ”)

Ma anche il dottore in fisica è fatto di particelle e fotoni, anche lui potrebbe essere in uno stato sovrapposto come il gatto. (ancora Richard Feynman:”Questo vuol dire che le mie osservazioni diventano reali solo quando osservo un osservatore che osserva qualcosa che accade?”).

È evidente che la situazione è veramente complicata. Ci sono state diverse proposte per uscirne, ma nessuna ha conquistato un ampio consenso tale da sostituire l'interpretazione standard.

Ovviamente c'è anche la possibilità di considerare come definitiva l'interpretazione standard di Bohr, Born ed Heisenberg ed accettare la visione della realtà che ne deriva. Nel recente articolo di Maria Pia ci sono alcune considerazioni su questa visione della realtà.

Noi intanto ci teniamo il risultato che abbiamo ottenuto. Lo riassumo nella tabella qui sotto. Nel riassunto compatto alcune delle considerazioni fatte sopra in modo da poterle utilizzare più agevolmente nel seguito.

Tabella 3.11

Il fotone entrante, qualsiasi sia la sua direzione di polarizzazione, è rivelato da uno dei due contatori.

Non sappiamo con certezza da quale contatore sarà rivelato. Possiamo solo calcolare le probabilità che sia il contatore A o B.

Per calcolare queste probabilità dobbiamo espandere lo stato di polarizzazione del fotone entrante nelle due componenti lungo le possibili direzioni di polarizzazione uscenti stabilite dalla posizione del cristallo.

Le probabilità è il quadrato del coefficiente di ciascuna delle due componenti.

I due stati finali delle figura precedente rappresentano i possibili stati finale visti dell'osservatore qualsiasi cosa o chiunque esso sia.

Così risolviamo anche un possibile dubbio sulla legittimità di considerare uno stato di un fotone che in realtà non esiste più perché è stato assorbito nel processo che lo rivela.

In questo articolo ho introdotto alcuni dei principi base della Meccanica Quantistica, almeno nella sua forma di gran lunga più nota, limitandomi agli aspetti che ci servono per descrivere la polarizzazione dei fotoni. Per una introduzione più ampia alla MQ vi rimando agli articoli di Enzo in archivio.

Appendice

Qualche considerazione in più sui vettori di stato.

I vettori che abbiamo utilizzato per lo stato di polarizzazione dei fotoni sono rappresentabili con dei vettori “freccia”. Non sempre i vettori utilizzati in MQ sono solo di questo tipo.

La Meccanica Quantistica (MQ) utilizza un concetto ampliato di vettore.

I matematici hanno una grande capacità di trovare relazioni inattese tra entità apparentemente diverse e quindi di generalizzare i concetti. Applicando questa loro capacità ai vettori hanno trovato che anche per altri oggetti matematici possono essere definite le operazioni di somma, prodotto per un numero e prodotto scalare con le stesse proprietà di quelle dei nostri vettori “tradizionali”. Non sono esattamente le stesse operazioni, ma hanno le stesse proprietà.

La prima estensione è ottenuta ammettendo la moltiplicazione di vettori per numeri complessi oltre a numeri reali come abbiamo fatto sopra. Il secondo tipo di estensione riguarda il numero delle dimensioni. Fino a che le dimensioni sono un numero finito cambia poco o nulla, ma i matematici hanno trovato il modo di definire vettori con infinite dimensioni. Questa estensione li ha portati a entità matematiche già note, ma viste da un punto di vista diverso.

Può sembrare incredibile, ma anche funzioni come \mathbf{\frac{sin(x)}{x}} o \mathbf{\frac{e^{-x^2}}{s^2}} e molte altre possono essere considerate delle rappresentazioni di vettori perché hanno in comune con le nostre “frecce” tutte le proprietà necessarie per farne dei vettori. Tra l’altro, se una funzione ha le proprietà dei vettori, allora si può anche scomporre secondo una base come abbiamo fatto per i vettori freccia. Scegliendo le opportune basi questa scomposizione porta all’analisi di Fourier, probabilmente a molti nota.

Quello che sembrerebbe una pura curiosità matematica è una dei fondamenti della MQ. Infatti è questo che permette di affermare in MQ che lo stato di una particella o di un insieme di particelle è un vettore, il vettore di stato. In alcuni casi è un vettore rappresentabili nel modo tradizionale come una “freccia”, in altri occorre utilizzare delle funzioni o altre entità più complesse. In tutti i casi in comune ci sono le proprietà dei vettori.

Potrebbe sembrare un complicazione cercare di tenere insieme tutte questi oggetti così diversi tra loro. In realtà diventa una forte semplificazione se si considera che se si stabilisce un legge basata sulle proprietà dei vettori, questa legge è sicuramente valida per tutti i tipi di vettori indipendentemente dalla loro complessità.

Uno degli esempi più spettacolari è come Dirac ha ricavato moltissime delle proprietà dell’elettrone dell’atomo di idrogeno solo applicando le proprietà dei vettori e delle operazioni sui vettori senza utilizzare in modo esplicito l’espressione dello stato dell’elettrone.

Certo, per farlo ci voleva un genio come Dirac che ci indicasse la strada, ma una volta trovata il percorso è certamente più semplice.

Per un ampio approfondimento della matematica attorno a questi aspetti vi rimando a questo articolo di Umberto.

Per ora è tutto, arrivederci alla prossima.

Fabrizio Panaioli 2020

5 commenti

  1. Massimo

    Buonasera Fabrizio, visto la mia limitata conoscenza matematica rischio di chiedere una cosa alla quale al momento devo rinunciare alla comprensione ma se fosse possibile ti chiederei cosa sono "r" e "s" nell'espressione della tabella 3.5.

    Grazie

  2. Fabrizio

    Ho usato r ed s per indicare due coefficienti generici qualsiasi. Quella relazione tra vettore prima e vettore dopo vale sempre qualsiasi siano i valori di r ed s. Tanto per metterci un valore potrebbero essere ad esempio 0,37 e 0,65 o -0,32 e 0,47 o qualsiasi altro valore vorrai metterci. Più avanti troverai che al posto di r ed s ci saranno un cos(δ) ed un sin(δ).  Nonostante l'apparenza, anche questi due sono solo dei numeri reali, una volta dato il valore di δ, es. sen(30°)=0,5.

    Spero di essere riuscito a risolvere il tuo dubbio.  Se così non fosse, fammelo sapere che provo a spiegarlo in altro modo.

    Grazie a te per l'attenzione che stai mettendo alla lettura. Qualsiasi domanda, anche ripetuta, è assolutamente benvenuta.

  3. Fabrizio

    Grazie alla segnalazione di Massimo ho modificato la tab.3.5 per indicare cosa sono r ed s. L'informazione mancava.

  4. Massimo

    Grazie Fabrizio, sei stato molto chiaro.

  5. Questa è la vera forza del nostro Circolo: collaborazione attiva, umiltà e nessun timore. Solo così si riesce a costruire qualcosa di utile e duraturo. Grazie Fabry e Massimo!!!

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