11/09/20

Massa uguale a energia **/***

Grazie allo spirito sempre un po' ribelle di Frank (vive o non vive a contatto con mamba verdi e neri, leopardi, rinoceronti, leoni, iene, ippopotami, golfisti  e via dicendo?), eccomi a cercare di spiegare la "trasformazione" di massa in energia attraverso diversi metodi. Il discorso è sempre lo stesso, ma adesso voglio sia usare un linguaggio matematico semplificato sia  appoggiarmi a dati "pratici" e ottenibili attraverso l'applicazione della relatività generale. Per qualsiasi approfondimento recatevi direttamente all'articolo sulla dinamica relativistica, con la quantità di moto relativistica e tante altre belle cose. Per fare i calcoli finali, studiatevi le equazioni di Einstein...

Ho usato la parola "trasformazione" e questo è già un errore, comunemente accettato. Non vi è trasformazione dato che la massa è proprio energia e viceversa. Al limite possiamo vederlo come cambiamento di stato... ma non pretendiamo troppo.

Soprattutto: "Non confondiamo la "trasformazione" di massa in energia con la trasformazione di un tipo di energia in un altro tipo di  energia" (quello che ad esempio fanno le piante: esse usano energia elettromagnetica per trasformarla in energia chimica e costruirsi il "cibo" con un'efficienza del 99%. Noi ne siamo ancora bel lontani!). Sotto questo aspetto la rivoluzione di Einstein appare nella sua grandezza: una cosa è conservare l'energia (cosa che già si sapeva) è una cosa è conservare la massa-energia (la famosa formula tanto celebre e spesso poco compresa pienamente). In poche parole, Einstein conclude che la massa non è una costante separata dall'energia ma fa parte della massa-energia totale del sistema, per cui perdere o energia o massa sono due concetti del tutto equivalenti.

Trattazione formale in termini di DINAMICA RELATIVISTICA

Abbiamo verificato, lungo il percorso della relatività ristretta applicata alle masse in movimento, che altre nuove grandezze dipendono dalla velocità e dai sistemi di riferimento, grandezze che avevano una ben altra descrizione nella fisica newtoniana.

In particolare, abbiamo imparato che E0 = m0c2. Essa ci dice che l’energia di un corpo a riposo non è assolutamente nulla, ma è direttamente legata alla massa a riposo. In altre parole, un corpo di una certa massa possiede anche da fermo una sua energia.

Dalla pura cinematica siamo passati, senza alcuna difficoltà reale, alla dinamica e a concetti di portata ben più ampia, quali la quantità di moto e l’energia cinetica. Basandoci sulla meccanica classica, quasi senza accorgersene, l’applicazione dei principi della RR ha portato a una rivoluzione stupefacente: la massa e l’energia sono diventate la stessa cosa!

Ancora più fondamentale è il fatto che, essendo la stessa cosa, ne segue che la conservazione della massa e la conservazione dell’energia non possono più essere considerate due leggi separate, ma sono la stessa legge che deve essere enunciata come: la massa-energia di un sistema deve conservarsi.

Se vogliamo far muovere il nostro corpo, dotato di una sua massa a riposo, che uguaglia perfettamente la sua energia a riposo, dopo averla moltiplicata per una costante (c), sarebbe molto meglio trovare qualcosa di più articolato che la solita abusata formula. In poche parole vogliamo vedere come si legano, massa in movimento, energia in movimento e velocità del corpo, il tutto in ambito relativistico e quindi con gli ormai ben noti legami tra sistemi inerziali (ad esempio, per me che mi sento fermo la mia massa non varia, per te che mi vedi andare a grande velocità la mia massa cambia). Partiamo pure dalla massa relativistica (usiamo ancora questo termine che ci permette di afferrare meglio i concetti base).

m = m0/(1 - v2/c2)1/2

Tuttavia, volendo far comparire le energie è molto meglio elevare a quadrato:

m2 = m02/(1 - v2/c2) = m02 c2/(c- v2)

e, ancora:

m2(c2 - v2) = m02c2

Non basta ancora... dobbiamo anche moltiplicare per c2:

m02c4  = m2c4 - m2v2c2

ma vc è la quantità di moto relativistica p:

m02c4  =E 2 - p c2

m0 = √(E2 - (p c)2)/c2

Se p = 0, ossia il corpo non si muove, la massa non cambia

Se p > 0, ossia il corpo si muove, la massa a riposo cambia, in particolare diminuisce sempre di più al crescere della velocità. In altre parole, dato che la massa-energia deve conservarsi, l’energia deve aumentare.

Restando anche solo nella RR possiamo capire benissimo che la massa di un corpo deve diminuire a favore di maggiore energia che viene prodotta. Questa energia, nel caso che il movimento sia causato dalla gravità (ossia dalla curvatura dello spazio-tempo), si manifesta come onde gravitazionali. Per un calcolo corretto della perdita di massa bisogna usare le equazioni della relatività generale.

Ne segue che la massa a riposo finale dei due buchi neri (entrambi si sono mossi) è più piccola della somma a riposo dei due buchi neri quando erano fermi. La differenza è quell’energia capace di lanciare le onde verso lo spazio.

In altre parole, l’energia dovuta al moto è maggiore dell’energia a riposo del sistema.

E2 – E02 = (pc)2

Non è, quindi, un’energia che esce dai singoli buchi neri, ma dalla variazione di massa causata dalla loro velocità: gli orizzonti degli eventi non hanno voce in capitolo.

Ricapitoliamo e cambiamo un poco il punto di vista:

m0c2 è l’energia a riposo E0

mc2 è l’energia totale E

La relazione di prima ci dice che l’energia totale E risulta uguale a:

E2 = E02 + (p c)2

La relazione ci dice anche che ci sono due modi per cambiare l’energia di un corpo:

1) Cambiare la quantità di moto, senza toccare l’energia a riposo. In  altre parole, agendo sulla velocità del corpo rispetto al sistema di riferimento.

2) Cambiare l’energia a riposo. Il che vuole dire cambiare la massa a riposo. Impossibile? Assolutamente no, nel campo delle particelle che vivono in ambito relativistico. Basta pensare alla fissione nucleare e all’annichilazione di materia e antimateria.

Per passare a situazioni pratiche, facciamo alcuni confronti sulle reazioni che possono dar luogo a queste possibilità.

Amici mici aiutatemi voi: un risultato molto pratico

Per far ciò mi faccio aiutare dai miei soliti amici … mici (e da risultati ottenuti applicando le equazioni di Einstein)

Un gatto di medie proporzioni pesa circa 5 kg. Il che equivale a un’energia a riposo di circa 5 · 1017 Joul all'anno (in realtà questa sarebbe la potenza, ma normalmente si usa per intendere l'energia prodotta in un sistema, in un certo periodo di tempo). Detto in altre parole, se la massa del micio diventasse tutta energia (seguendo quanto ci ha insegnato Einstein) sarebbe in grado di fornire energia sufficiente a soddisfare una nazione di media grandezza e di alta tecnologia per un anno! Ciò vuol dire, in soldoni, che lo stesso fatto di possedere una massa lo fa diventare una fonte immensa di energia, dato che sono la stessa cosa.

Ehi, ehi! non allargatevi e giù le mani dal gatto!!

La faccenda è, però, solo apparentemente semplice, in quanto non è assolutamente facile far diventare una massa una certa quantità di energia sfruttabile o, anche solo,  percepibile. Il deposito di Zio Paperone è stracarico di ricchezza sotto forma di monete, ma provate a rubargliele e a trasformarle in viaggi alle Maldive, in automobili super lussuose o in panfili e in mondanità sfrenata... Non c'è  mai riuscita nemmeno la Banda Bassotti!

Vi sono pochi metodi  che si usano normalmente per dare a una massa l'aspetto di un'energia (così forse va meglio...) e cercare di sfruttarla per altri scopi. I più classici sono due:

(1) reazione chimica

(2) reazione nucleare

Come reazione chimica possiamo tranquillamente fare l'esempio della combustione. Prendiamo un bel pezzo di legno di una certa massa e bruciamolo nel più classico dei modi. Siamo sicuri di aver prodotto una quantità di energia pari alla massa bruciata? Assolutamente no! Soltanto lo 0.000000001 % della massa è diventata energia. Una percentuale veramente ridicola! In realtà il processo ha liberato energia sotto forma di calore (fisica classica), ma la perdita di massa è stata veramente irrisoria. E non ditemi che il pezzo di legno è sparito (la massa della cenere non è certo uguale alla massa del tronco originario), dato che secondo la fisica classica la massa finale deve comprendere anche quella dei gas prodotti nella combustione (lei dice che si deve conservare l'energia e -separatamente- anche la massa). Per valutare l'effettiva massa diventata energia bisogna ricorrere alla relatività.

Come reazione nucleare possiamo prendere due esempi: quella di fissione e quella di fusione.

Nel primo caso (fissione) un atomo molto "pesante", ad esempio di uranio, decade in due atomi più leggeri (ad esempio di bario e di criptonio).  Beh... si ottiene qualcosa di più: lo 0.08% della massa diventa energia.

Nel secondo caso, le cose migliorano ancora. Due atomi di idrogeno (in realtà sono quattro) si trasformano in un atomo di elio. La percentuale di energia ottenuta va a scapito di una massa pari allo 0.7%. Niente male davvero e il Sole, non per niente, usa questo sistema. Anche qui, ricordiamoci che l'energia che viene liberata attraverso i fotoni deve pareggiare l'energia trasformata (fisica classica) e l'energia (relatività) persa sotto forma di massa.

Si può fare di meglio? Decisamente sì... passando a una reazione molto diversa:

(3) reazione gravitazionale, ossia quella descritta precedentemente per le masse in movimento a causa del campo gravitazionale, ossia della curvatura dello spaziotempo.

Un meteoroide cade verso la Terra. A contatto con l'atmosfera brucia e la massa si trasforma in altro tipo di massa, quella della combustione, oltre a quella del nucleo dell'oggetto che cerca di sopravvivere. Tuttavia, una certa frazione di massa viene trasformata in energia, anche se, nuovamente, in modo ridicolo. Rispetto alla sola reazione chimica, si riesce, però, a far meglio ed essa diventa lo 0.0000001 %.

Lasciamo perdere campi gravitazionali così irrisori e pensiamo ai buchi neri. In questo caso le velocità sono veramente relativistiche. L''oggetto che cade perde massa a causa delle reazioni chimiche (irraggiamento) ma anche a causa della reazione gravitazionale . Quando entra nell'orizzonte degli eventi e non può più mandare informazione sulla sua massa, essa è già diminuita di una quantità veramente interessante: 6% della massa iniziale. Cominciamo a ragionare!

Se, poi, il buco nero ruotasse (buco nero di Kerr), la massa in arrivo potrebbe avvicinarsi ancora di più all'orizzonte degli eventi del buco nero e, diventata energia, la sua diminuzione sfiorerebbe il 45%. Un'efficienza niente male veramente!

Se l'oggetto che cade è però anch'esso un buco nero, nasce il problema di non poter irraggiare niente anche da parte del corpo che cade (l'energia chimica rimane intrappolata, avendo anch'esso un orizzonte degli eventi). In effetti ciò che riesce a trasformarsi in energia è solo dovuto alla reazione gravitazionale (ossia allo strappazzamento dello spazio-tempo).

Il caso dei due buchi neri che ha dato luogo al dubbio di Frank lo dimostra: le due masse iniziali erano 66 e 85 masse solari. La massa finale di 142. La perdita di massa è stata di 9 masse solari, pari al 6%. Energia che si manifesta attraverso onde che si propagano su tutto lo spazio-tempo, ossia le onde gravitazionali. Sembra tanto, ma è decisamente poco. Qualsiasi corpo che si muova in un campo gravitazionale (o -se preferite- in uno spaziotempo) è capace di  conservare la massa-energia einsteniana, ossia creare energia gravitazionale solo e soltanto a scapito della sua massa a riposo.  Anche noi quando corriamo... "dimagriamo", ma per perdere veramente massa dovremmo competere con la luce!

Mi raccomando, quindi: non confondiamo la perdita di massa dovuta a reazioni di fisica classica con "perdita" di massa dovuta alla modifica di un campo gravitazionale particolarmente intenso. E' in fondo la stessa cosa che ha portato alla differenza del movimento del perielio di Mercurio trattato in fisica classica e in relatività.

Il metodo migliore

Vi sarebbe un metodo ancora più efficiente di quello di scagliare qualcosa di molto massiccio verso un buco nero, un qualcosa capace di far diventare tutta la massa pura energia. Cosa? La risposta è facile: una reazione materia-antimateria. Due masse  a contatto diventerebbero solo energia allo stato puro. L'efficienza sarebbe del 100%.

E' questa la vera fonte di energia per il futuro? Fortunatamente NO (almeno così pensiamo al momento) dato che di antimateria ce n'è molta meno che di materia. Una bella fortuna, altrimenti questa energia pulitissima cancellerebbe ogni particella di materia, noi compresi.

Nel nostro piccolo, comunque, guai a chi si avvicinasse a casa mia con un gatto di antimateria! Lo so che darebbe energia alla Nazione di cui abbiamo parlato all'inizio per due anni, ma i miei gattini e gattoni mi stanno già guardando di traverso... loro capiscono subito i pericoli!

Questa trattazione resta quello che è, avendo semplificato molto e non andando a fondo delle equazioni di Einstein (ci mancherebbe altro, dato che lo stesso Albertino pensava fosse impossibile risolverle...). Insomma, prendetela come una spiegazione veramente terra-terra (ma non terra-antiterra).

Caro Frank, accontentati... non posso far di più...

 

A proposito di materia e anti-materia... tutto è pronto per dare ragione a Majorana!

19 commenti

  1. Lorenzo

    Grazie Enzo, bellissimo articolo ben scritto e molto comprensibile

    Io ho due gatti (anche abbastanza ciccioni) e il pensiero che se mi trovassi in difficoltà avrei comunque una fonte energetica mi conforta (scherzo ovviamente, non li toccherei per nulla al mondo!)

    a presto

     

  2. grazie Lorenzo e... sui gatti ti capisco!!!! :-P

  3. Frank

    Grazie Enzone, apprezzo davvero tanto la semplificazione, mi hai stupito anche per la velocità. Solo una cosa non mi torna:

    "Il caso dei due buchi neri che ha dato luogo al dubbio di Frank lo dimostra: le due masse iniziali erano 66 e 85 masse solari. La massa finale di 142. La perdita di massa è stata di 9 masse solari, pari allo 0.06%."

    o ti sono scappati un paio di zeri di troppo oppure aggiungi al corso di matematica le percentuali perché a me viene 6% circa.

    Comunque dopo lo rileggo ancora con calma, devo correre mi bolle l'acido solforico miiiiiii a dopo.

  4. Mannaggia Frank... hai ragione! Dico una cosa e ne scrivo un'altra... Sto proprio rimbambendo... ti tocca venire a svegliarmi di persona... 8-O

  5. Frank

    Esagerato per un paio di zeri scappati dalla tastiera....

    Io avrei altre domande ma non so se porle o meno, sei stato piuttosto risoluto sia sopra che riguardo il pdf che hai postato nell'articolo "Per chi vuole saperne di più sulle onde gravitazionali". Dimmi tu se posso o meno, non voglio incasinare il circolo oltre le possibilità di comprensione che comunque avrei senza la necessaria matematica.

  6. caro Frank,

    tu prova a farle, ma se quell'articolo non ti basta... io non saprei proprio fare di meglio...

  7. Riassumendo al massimo:

    se il sistema acquista velocità (accelerazione)  aumenta l'energia e quindi diminuisce la massa a riposo (che è quella che conta), dato che si deve conservare l'energia-massa totale.

  8. Frank

    Si si Enzo, qui ci sono, i miei dubbi sono di carattere più generale riguardo il campo gravitazionale che più ci penso e più mi rendo conto di non sapere cosa sia. Sto provando a scrivere un paio di domande ma non ci riesco, devono essere scritte in modo che almeno io le capisco rileggendole il giorno dopo.........

  9. il campo gravitazionale causa un'accelerazione, ossia un cambiamento di velocità. Su aumenti la velocità... il gioco è fatto. Anche quando vai in bicicletta, se prendi una discesa troppo ripida la velocità aumenta. Qui la discesa verso il buco nero è la curvatura dello spaziotempo... La discesa è sempre più ripida quanto più massa curva lo spaziotempo.

  10. Frank

    Ok, ne butto una sperando che si capisca dove vado a parare.

    Noi siamo immersi nel campo gravitazionale solare, dunque il Sole emette continuamente onde gravitazionali? Se si da dove arriva l'energia per emetterle?

  11. dal fatto che non è immobile nel campo gravitazionale del sistema solare... un campo che cambia continuamente con lui per primo... Anche tu emetti onde se ti muovi e, nel suo piccolo, le emette anche la Terra che si avvicina a te...

  12. Frank

    Allora provo a fare, grossolanamente, il punto sull'evento dell'unione dei due bn: I due non si son di certo incontrati il giorno prima dell'unione, probabilmente si sono affrontati per chissà quanto tempo e per noi che li vediamo da lontano li possiamo approssimare ad uno solo e quindi subiamo il loro campo gravitazionale da tantissimo tempo che vale le due masse originarie. Però rileviamo solo l'unione perchè è il momento di maggior accelerazione ed è in quel momento che la massa /energia è massima e l'emissione di onde gravitazionali è così intensa da consumare il 6% del totale ma a conclusione del fenomeno il campo gravitazionale si riallinea con uno equivalente alla nuova massa e quindi di intensità minore. Sta in piedi la descrizione?

  13. perfetto Frankone!

    Quando è uno solo, il campo si sistema e non si agita. Per cui non emette... Se cade una asteroide sarà solo lui a perdere massa, ma se incontra uno come lui la perdono entrambi... Bravo!!

     

  14. Frank

    Huffff che sudata. Ora dovrei fare altre domandine ma per oggi mi accontento, ti lascio dormire tranquillo e mi godo il "bravo" che sicuramente alle prossime domande dovrai ritirare ahahahah.

  15. Frank

    Stavo ancora tentando di scrivere quelle domande ma mi è venuto un dubbio che forse dovrai colmare con un articolo apposito. Ho cercato nel circolo e non ho trovato nulla di specifico, forse tutte queste elucubrazioni che passano per la testa son dovute alle onde. Mi sto accorgendo di non riuscire ad inquadrare il significato di "onda", ad esempio quelle gravitazionali di che tipo sono? Se si potessero visualizzare cosa si vedrebbe, un mare in tempesta o uno stagno placido percorso da regolari onde sinusoidali? Dai che magari se prepari una introduzione, anche con la matematica necessaria ma senza esagerare, alle onde in generale forse tante visualizzazioni mentali errate cesserebbero di innescare dubbi e domande fuorvianti.

    Prima che stronchi tutta l'immaginazione ne sparo comunque una: come facciamo ad essere sicuri che l'informazione più veloce nell'universo sia quella luminosa e non quella gravitazionale? In pratica poi anche a parità di massima velocità quella gravitazionale è indifferente a ciò che attraversa mentre quella luminosa non riesce ad andare diritto neanche nel vuoto, mentre quella gravitazionale se vista come una perturbazione dello spazio non dovrebbe essere soggetta a nessuna limitazione e propagarsi per la minima distanza. Ha senso quanto scritto?

  16. Sulle onde abbi pazienza... sono preso con un problema di fisica classica...

    Potrei risponderti che qualsiasi informazione non può superare la velocità della luce e quindi neanche le onde gravitazionali che portano informazione. Poi, la luce non va storta, ma è  lo spaziotempo che è curvo e quindi la minima distanza spaziotemporale (invariante) non è la linea dritta.

    Comunque, ci torneremo sopra, ma adesso devo sistemare alcuni lavori arretrati... :wink:

  17. Frank

    No problem attendo fiducioso.

    Si appunto era proprio quel che volevo confrontare, ho dimenticato le virgolette su "dritto", la luce segue la forma dello spazio ma la gravità che gli da la forma che traiettoria segue? Per capirci l'effetto lente gravitazionale vale anche per le onde gravitazionali?

  18. Oddio Frank! Ma le onde gravitazionali sono proprio ciò che deforma uno spaziotempo curvo...

    Un'onda gravitazionale che parte da un'unione di buchi neri, ad esempio, deforma lo spaziotempo che era stabile ma curvo. La luce si piegava? Bene, adesso la luce si piega in modo un po' diverso perché la curvatura sta cambiando per colpa dell'onda. Non mischiamo causa ed effetto. L'onda gravitazionale è proprio ciò che causa deviazioni, come può deviarsi? Lei dice a tutto ciò che esiste come deve cambiare il proprio movimento avendo cambiato la configurazione.

    Un'onda gravitazionale che attraversa un campo gravitazionale qualsiasi non viene deviata, ma "devia" il campo che incontra, caso mai...

  19. Frank

    E fino a qui ci siamo, quel che non mi entra in testa è la traiettoria che segue l'onda gravitazionale in uno spazio già curvato da altre onde gravitazionali se si muove in uno spazio curvo deve seguire la curva come tutte le altre onde, preferisco non usare "devia" altrimenti mi crolla anche tutto il resto, se invece non segue la forma dello spazio allora........ boh. Probabilmente il problema è quel che dicevo sopra mi manca la visualizzazione del fenomeno "onda" gravitazionale e probabilmente anche lo spazio curvo non lo visualizzo correttamente. Non diventarci matto se ritieni che non si possa affrontare nei commenti attendo che colmi la lacuna "ondistica" del circolo.

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