08/12/20

La Relatività Generale al microscopio. 3: Trasformazione di coordinate ***

Questo è il quinto articolo della serie "La Relatività Generale al microscopio"

 

Uno dei punti essenziali di tutta la teoria della relatività generale è l'indipendenza dei risultati dal sistema di riferimento scelto, qualcosa di simile a quanto ottenuto dalla relatività galileiana e ristretta. Possono cambiare le coordinate, ma non il valore di un certo evento o, meglio, del campo a lui associato. In sintesi: ciò che è vero in un sistema di riferimento deve essere vero in tutti i sistemi di riferimento.

Per potere essere sicuri di ottenere questa indipendenza è, quindi, necessario sapere bene come passare da un sistema a un altro.  Cominciamo dalle coordinate di un punto-evento P. Se esse sono xn, in un sistema , quanto valgono in un qualsiasi altro sistema?  Teniamo anche ben presente che vale sempre e comunque la relatività ristretta e che i sistemi di coordinate cambiano in modo ormai ben noto, quando vi è un sistema in moto rispetto a un altro.

Vediamo, allora, come fare per collegare tra loro le coordinate di un certo punto-evento, in due sistemi di riferimento diversi. In particolare, vediamo come sia possibile trasformare i gradienti calcolati in un certo sistema di riferimento nei gradienti calcolati in un altro sistema di riferimento.

Iniziamo considerando, per semplicità figurativa, n = 2

Abbiamo il "vecchio" sistema x1 e x2 e introduciamo il nuovo sistema di coordinate y1 e y2. Notiamo subito una cosa:  la nuova coordinata y1 può essere espressa, in coordinate x1 e x2 del vecchio sistema come mostrato nella Fig. 8.

Figura 8

In parole semplici, possiamo dire che i valori x1 e x2 del vecchio sistema dipendono dal valore di y1, ossia sono una sua funzione. In altre parole, dato un y1 ne conseguono subito i valori x1 e x2 corrispondenti.

Attenzione: ricordiamo ancora che y non è più l'ordinata di un punto, ma una qualsiasi coordinata di un altro sistema. Mi raccomando, digeriamo bene questo concetto!

Ammettiamo di conoscere i gradienti nel punto P del vecchio sistema, ∂Φ/∂x1 e ∂Φ/∂x2, come possiamo scrivere il gradiente  ∂Φ/∂y1 ? Non è difficile, ricordando che x1 e x2 sono entrambi funzione di y1: basta ricordare la derivata di funzione di funzione (derivate parziali in questo caso):

∂Φ/∂y= (∂Φ/∂x1)(∂x1/∂y1) + (∂Φ/∂x2)(∂x2/∂y1)

Ovviamente, abbiamo tenuto conto  delle due componenti x1 e x2 di y1

La formula precedente va intesa molto bene. Il tutto si riferisce al gradiente relativo alla sola coordinata y1, ma è necessario introdurre due derivate parziali relative a x1 e x2.

Possiamo facilmente estendere la formula da due a tutte le m coordinate del sistema xm  (abbiamo usato m al posto di n, ma poco cambia dato che esso è solo l'indice che indica quale asse si considera ed è sempre legato a una sommatoria) e otteniamo:

∂Φ/∂y= ∑m(∂Φ/∂xm)(∂xm/∂y1)

E ripetere l'espressione per ogni coordinata yn (dove anche n può essere un numero qualsiasi e non più due)

∂Φ/∂yn = ∑m(∂Φ/∂xm)(∂xm/∂yn                 .... (2)

Essa fornisce i nuovi valori dei gradienti in un qualsiasi sistema di riferimento, noti quelli in un sistema di riferimento iniziale

Nota Bene: Stiamo mettendo in evidenza alcune formule che vengono "costruite" nel modo più semplice possibile. Tuttavia, facciamole nostre e capiamole molto bene, dato che nel proseguo della trattazione verranno sicuramente richiamate e prese come assodate una volta per tutte. Non potremo certo, ogni volta che si richiamano, rispiegarle nuovamente... Questo è uno dei grandi problemi legati a equazioni estremamente  articolate come quelle di Einstein.

Andiamo, perciò, avanti molto lentamente...

2 commenti

  1. Arturo Lorenzo

    Ti sto marcando stretto, Prof, con questa serie di articoli sulla RG :lol:

    Non so se è una richiesta strampalata , posso dire che è motivata dalla mia fissazione con gli esempi pratici con cui "sporcarsi" di inchiostro le dita ..  E' possibile avere qualche ... esercizio su questo argomento delle trasformazione di coordinate ? Si, del tipo di quelli che assegnava il prof di matematica per far digerire bene un argomento agli studenti :-D

  2. Oh Dio, Arturo! Non mi fare anche preparare degli esercizi!!!

    Pensiamo al caso più semplice e comune...

    Come esercitazione puoi fare da solo l'unione della Fig. 7 con la 8 e vedere come , mantenendo fissa l'asse h  = x3 = y3,  cambiano le pendenze rispetto a y1 e y2 (sfruttando il legame tra y1  e x1 e x2 e quello tra y2 e x1 e x2)  rispetto alle pendenze rispetto a x1 e x2. Un normale cambiamento di coordinate... Puoi mettere dei numeri e considerare, ad esempio, il punto P come la punta di una montagna non regolare, ma, ad esempio, con la forma di un cono non retto..

     

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