24/12/20

Mettiamoci alla prova con la Relatività Generale - Vettori e trasformazioni di coordinate, sviluppi per la seconda domanda

Categorie: Relatività Tags: esercizi derivate trasformazione di coordinate vettori Scritto da: Fabrizio Commenti:1

Questo articolo fa parte della sezione "METTIAMOCI ALLA PROVA!" all'interno della Relatività Generale al microscopio

La domanda 2 del precedente articolo è un poco più difficile delle altre poiché richiede il calcolo di alcune derivate non banali.

Descrivo qui i passaggi in modo che chi li ha portati a termine possa confrontare la soluzione trovata e chi non è riuscito ad arrivare in fondo possa avere un aiuto.

Devo anche dire che questi sviluppi non sono necessari per proseguire la lettura dell'articolo e rispondere alle successive domande.

$\large \Delta { {\color{Blue} r}}=\frac{\partial {\color{Blue} r}}{\partial {\color{Red} x}} \Delta {\color{Red} x}+\frac{\partial {\color{Blue} r}}{\partial {\color{Red} y}} \Delta {\color{Red} y}= \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\Delta {\color{Red} x}+\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\Delta {\color{Red} y}$

Passiamo alla seconda componente in coordinate polari, Δφ. Lo sviluppo è molto simile al precedente.

Per chi non lo ha portato a termine, potrebbe essere interessante procedere da solo con questo sviluppo partendo dalla espressione generale:

$\large \Delta {\color{Blue} {\color{Blue} \varphi}}=\frac{\partial {\color{Blue} \varphi}}{\partial {\color{Red} x}} \Delta {\color{Red} x}+\frac{\partial {\color{Blue} \varphi}}{\partial {\color{Red} y}} \Delta {\color{Red} y}$

Si tratta ancora sostituire nel termine a destra la variabile in coordinate polari con la sua espressione in coordinate cartesiane. Quindi di derivare una funzione di funzione. In questo caso la funzione f è arctan che ha come argomento la funzione $\large \frac{y}{x}$ . Quest'ultima la devo considerare una volta funzione di x e considerare y costante ed una volta funzione di y e considerare x costante.

Ricordo le espressioni che potrebbero essere utili:

$\dpi{100} \large \varphi=\arctan{\frac{y}{x}},\qquad \frac{\partial \arctan{w}}{\partial w}=\frac{1}{1+w^2}$

$\dpi{100} \large \frac{\partial f(g(w))}{\partial w}=\frac{\partial f(g(w))}{\partial g(w)}\frac{\partial g(w)}{\partial w},\qquad \frac{dw^n}{dw}=nw^{n-1}$

Questo è lo sviluppo della espressione.

1 commento

Giangiacomo

30/06/2023 at 17:53

Questo articolo sulla trasformazione delle componenti di un vettore controvariante da un sistema di coordinate a un altro lo trovo davvero illuminante!

Però la formula di partenza Vym= Σi ∂ym / ∂xi Vxi non la ho trovata nelle prime 7 sezioni di teoria, di questi articoli sulla Relatività Generale, anche se sembra davvero basilare! Mi è sfuggito qualcosa?

La formula suddetta sembra apparentata alla formula (1) di trasformazione del gradiente dell'articolo 4 sui campi. Forse perché il gradiente produce dei vettori?

Sarebbe anche molto interessante conoscere la formula di trasformazione dei vettori covarianti da un sistema di coordinate ad un altro.

Ringraziamenti!!!