Affronterò queste due problematiche in modo estremamente discorsivo, dato che i calcoli necessari ad una quantificazione accurata sono piuttosto complicati. Ci poniamo due domande.

(1) Può un satellite avere un satellite (chiamiamolo bisatellite)?

Finora non ne sono stati scoperti, ma il discorso, almeno teoricamente, porta a una risposta affermativa. Tuttavia, le condizioni di esistenza, su tempi astronomicamente lunghi, sono abbastanza critiche. Innanzitutto, il bisatellite deve essere abbastanza lontano dal satellite (e anche abbastanza grande) in modo che possa esistere una sua sfera di Hills ben separata (QUI e QUI). Vi è però un altro problema vincolante, ossia le forze mareali. Se il bisatellite è troppo grande queste ultime crescono velocemente e il bisatellite viene velocemente allontanato dal satellite. Qualcosa che conosciamo molto bene nel caso della Luna. Quest'ultima causa un effetto mareale sulla Terra che è costretta a rallentare la propria rotazione attorno al proprio asse. La risposta del nostro pianeta comporta un allontanamento della Luna. Andando in senso contrario, non è improbabile che le perturbazioni planetarie possano comportare un rapido avvicinamento del bisatellite al proprio satellite con impatto finale o completa disgregazione del bisatellite.

Una risposta affermativa alla prima domanda potrebbe essere anche data pensando alle navicelle "artificiali" che sono state poste in orbita lunare, dei veri e propri mini satelliti. Tuttavia, la loro esistenza è estremamente precaria e non rispondono ai vincoli relativi alla lunga stabilità.

Il problema è stato affrontato più volte e merita ricordare questo articolo, dove sono state descritte le possibilità di esistenza di bisatelliti attorno ai pianeti del Sistema Solare.

Merita mostrare una figura estremamente indicativa:

Nei vari diagrammi, relativi ai pianeti del nostro sistema, l'ordinata è il raggio del satellite, mentre l'ascissa è la distanza del satellite dal pianeta. In questi diagrammi sono state tracciate le curve che corrispondono ai confini di stabilità orbitale per bisatelliti di 5, 10 e 20 km. La zona grigia indica i limiti di esistenza a lungo termine (anche miliardi di anni) per oggetti di 10 km. I satelliti che si inseriscono in questa zona del diagramma posso sostenere un loro satellite, un bisatellite.

E' interessante notare come la Terra e la Luna siano in condizioni ottimali per avere un risultato positivo. Ma, purtroppo o fortunatamente, ciò non capita. O, almeno, non vi sono segni che la nostra Luna abbia potuto sostenere in passato un suo satellite. Su Giove, il solo Callisto potrebbe accettare un satellite di piccole dimensioni. Risultato analogo per Titano su Saturno. Tuttavia, resta una possibilità molto interessante, quella relativa al satellite Giapeto. Le condizioni sono molto positive, ma -ovviamente- anche Giapeto non ha un satellite reale. Però, però... la superficie di Giapeto potrebbe riservare una sorpresa in tal senso. In realtà, lungo il suo equatore si nota molto bene una specie di "cintura" sopraelevata.

Si ipotizza il seguente scenario: Giapeto è stato impattato violentemente (cosa più che normale da quelle parti) e si è formato un anello di detriti che in breve ha formato un satellite (ricordiamo che Mimas ha subito probabilmente più urti del genere, è stato distrutto, ma l'anello di detriti si è poi, abbastanza velocemente, ricompattato in un nuovo satellite di Saturno). Questo bisatellite può anche essere sopravvissuto a lungo per poi essere espulso dalla sua orbita attorno a Giapeto. Molti detriti, però, potrebbero essere precipitati su Giapeto formando quella strana cintura sopraelevata. Ipotesi, ovviamente, e poco di più. E' interessante notare che le dimensioni del temporaneo bisatellite sarebbero state notevoli, circa 200 km.

Sia come sia, il nostro Sistema Solare non sembra proprio presentare un bisatellite. Ciò non toglie, però, che le cose siano nettamente diverse su altri sistemi planetari. Ad oggi vi sono un paio di casi in cui è ipotizzabile l'esistenza di un satellite attorno a un pianeta. Tutto avviene su scale nettamente più grandi, in cui il pianeta ha una massa di circa 10 masse di Giove e l'ipotetico satellite ha la massa pari a quella di Nettuno. In tal caso, con le distanze e le masse in gioco, il satellite potrebbe ospitare tranquillamente e in modo molto stabile un bisatellite grande come la nostra Terra. In tal caso si potrebbe fare anche un passo in avanti e pensare a un trisatellite, ossia un satellite di un satellite di un satellite di un pianeta... Chissà che Webb non riesca a farci una sorpresa.

Passiamo, adesso, alla seconda domanda che sembra, solo apparentemente, del tutto scorrelata dalla prima:

(2) Un corpo celeste può rivolvere attorno a un altro su un'orbita... quadrata?

La risposta sembrerebbe ovvia: "Certo che no!" Sappiamo, infatti, benissimo che le orbite sono ellissi e l'ellissi è ben lontana dall'avere una forma quadrata. Però, però... la faccenda diventa molto intrigante se ammettiamo la possibilità di avere satelliti, bisatelliti e n-satelliti.

Iniziamo, considerando una stella, un pianeta e il suo satellite, proprio come nel caso di Sole-Terra-Luna. Abbiamo già visto come la Luna si muova attorno al Sole, obbligata com'è a ruotare  attorno alla Terra e, insieme a lei, attorno al Sole. Tuttavia, è abbastanza facile cambiare alcuni parametri, come la distanza Terra-Luna, e imporre che durante un'orbita completa della Terra, la Luna faccia un numero intero di giri attorno alla Terra (in modo da chiudere l'orbita finale) per ottenere risultati abbastanza diversi tra loro, come mostrano le figure che seguono.

Ma si può anche fare di meglio lavorando sui parametri liberi e ottenere qualcosa del genere.

Beh... ci si avvicina al quadrato, ma non è certo il risultato voluto. A questo punto, diamo via libera alla fantasia e immaginiamo che il satellite rivolva attorno al pianeta in verso opposto (orario) rispetto al moto antiorario del pianeta attorno alla stella. Impossibile? No, potrebbe essere accettabile anche praticamente. Le cose migliorano come mostra la figura che segue.

Un bel risultato, non c'è che dire, ma l'appetito vien mangiando... La cosa migliore è passare al piano complesso, dove la rotazione di un vettore può essere espressa come un certo esponenziale. Aggiungere vettori significa aumentare il numero di satelliti di satelliti, senza porre limiti alla Natura. Nel piano complesso abbiamo proprio una somma di esponenziali che portano in pratica a uno sviluppo in serie di Fourier ^(*)(ricordiamo che l'esponenziale è legato al seno e al coseno dalla  equazione di Eulero). Bisogna solo trovare i coefficienti in modo che si ottenga alla fine la curva voluta. Ma questa non è un'impresa impossibile, anzi è ormai una procedura perfettamente eseguibile. Non entriamo nei dettagli del calcolo (non difficilissimo, comunque) e fermiamoci ai risultati.

Di seguito è mostrata la curva che si ottiene con 24 satelliti di satelliti di satelliti... ecc., ecc. Un quadrato pressoché perfetto (ne basterebbero anche meno per avere già un grafico più che soddisfacente).

Così come è stato possibile ottenere un'orbita quadrata è possibile ottenere orbite triangolari, esagonali e via dicendo. Anche, però, con forme molto più strane, come quella che segue

Ovviamente, siamo ormai entrati prepotentemente nella pura matematica e nella teoria, dato che non è certo facile che la Natura si sia divertita a costruire un sistema gerarchico con n corpi che girano uno attorno all'altro. Non basta di certo lavorare solo sulle distanze reciproche, ossia sulla lunghezza dei vettori, ma bisogna tener conto delle sfere di Hill e delle evoluzioni mareali dei corpi celesti reali. Tuttavia, sappiamo benissimo come il Cosmo ci sorprenda sempre, al di là di qualsiasi ipotesi  fantasiosa. Ad esempio, ci stupiremmo tanto se osservando l'orbita di un n-satellite di un pianeta alieno vedessimo descritta la traiettoria che segue?

Beh... sarebbe un bel colpo allo stomaco e il celebre pi greco assumerebbe un'importanza ancora maggiore di quella che ha ottenuto finora. E la stessa cosa potrebbe capitare per il numero e. Insomma, potremmo avere la dimostrazione più plateale che l'Universo segue proprio una logica matematica!

(*) Ne avevamo accennato QUI, ma, prima o poi, ne parleremo più dettagliatamente.