02/02/24

Con la testa tra le nuvole - parte 5b

Nell’articolo precedente abbiamo accumulato alcune informazioni sulle relazioni tra le grandezze fisiche che descrivono il processo che porta alla crescita della gocciolina per condensazione. Nella tabella che segue riassumo le informazioni che utilizzeremo in questo articolo per arrivare a trovare l’andamento della crescita delle goccioline nel tempo.

 

Cercheremo di riassumere queste informazioni in 3 equazioni che contengano come incognite dmg/dt, ρeq e Tg. Da questo sistema di equazioni è possibile ricavare l’espressione della velocità di crescita della massa della gocciolina dmg/dt.
Dalla velocità di crescita della massa si può ricavare la velocità di crescita del raggio della gocciolina drg/dt.
La velocità di crescita del raggio permette di trovare come il raggio della gocciolina cresce nel tempo rg(t). Analizzeremo una forma approssimata di questo risultato per stimare almeno l’ordine di grandezza del tempo necessario per la formazione di una gocciolina all’interno di una nuvola (rg10µm) ed il tempo che sarebbe necessario con il solo processo di condensazione/diffusione affinché la gocciolina arrivi alle dimensioni di una goccia di pioggia (rg1mm).
Vedremo che il tempo necessario per formare una gocciolina per mezzo della diffusione/condensazione è dell’ordine dei minuti.
Il tempo necessario per arrivare alle dimensioni di una goccia di pioggia con la sola diffusione/condensazione sarebbe dell’ordine del centinaio di ore.

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Ricaviamo l’andamento della densità di vapore in funzione della distanza dalla gocciolina.

Su questo andamento abbiamo ricavato tre informazioni nell’articolo precedente:

  • il valore di lontano dalla gocciolina tende a ρ. Il valore di ρ è ricavabile dall’umidità relativa all’interno della nuvola. Matematicamente lo consideriamo all’infinito.

  • il valore vicino alla gocciolina è il valore della densità di equilibrio liquido-vapore ρeq: ρ(rg)=ρeq

  • la pendenza dρv/dr della curva che descrive l’andamento della densità del vapore in funzione della distanza è inversamente proporzionale al quadrato del raggio, cioè proporzionale a 1/r2.

I tre elementi che abbiamo raccolto permettono di identificare la relazione tra densità del vapore e distanza.

Chi ha più confidenza con la matematica avrà riconosciuto un problema di integrazione di una equazione differenziale conoscendo i valori al contorno. Per approfondire l’argomento segnalo gli articoli di Enzo sulle equazioni differenziali.

Qui andiamo direttamente alla soluzione.

Concentriamo l’attenzione sulla pendenza nelle immediate vicinanze della gocciolina, cioè per la distanza uguale al raggio della gocciolina.

Calcoliamo la pendenza a questa distanza sostituendo r = rg e semplificando l’espressione ottenuta: (ρ-ρeq)rg/rg2 = (ρ- ρeq)/rg

Trovate questa espressione ed il punto al quale si applica evidenziati in rosso sulla sinistra della figura.

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Colleghiamo la velocità di crescita della gocciolina con la relazione tra densità di vapore e distanza

Il collegamento che cerchiamo è basato su alcune conclusioni dell’articolo precedente. La velocità di crescita della massa della gocciolina è uguale al flusso totale di vapore che raggiunge la gocciolina:
dmg/dt = -Φv

La densità del flusso del vapore è in relazione con la pendenza della densità del vapore rispetto alla distanza (prima legge di Fick): φv(r)=-Dv dρv/dr

Questa relazione ancora non ci permette di calcolare la velocità di crescita della gocciolina. Nel termine a destra appare ρeq che è una delle incognite del nostro problema. Occorre trovare qualche altra relazione per ricavare anche questa incognita.

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Colleghiamo la velocità di crescita della gocciolina con le temperature intorno alla gocciolina

In modo molto simile al procedimento usato sopra, possiamo trovare la relazione tra la velocità di crescita della gocciolina e il flusso di calore che dalla gocciolina va verso l’ambiente. Nel procedimento non c'è nulla di nuovo rispetto a quello utilizzato per il flusso di vapore. Per chi volesse seguirlo riporto in appendice. Qui riporto il risultato:

\large {\color{Blue}{ \bold{\dfrac{dm_g}{dt}=\dfrac{4 \pi r_g k_T}{L_v} (T_{g}-T_\infty)}}}

è la seconda delle 3 equazioni.

Purtroppo ancora non basta. Ora abbiamo due relazioni, ma in queste relazioni compaiono 3 grandezze incognite: dmg/dt, ρeq e Tg. Occorre introdurre una terza relazione tra queste incognite.

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Arriviamo alla soluzione

La terza relazione necessaria viene dall’assunzione che la densità di vapore ρeq sia quella di equilibrio liquido-vapore sulla gocciolina. Questa assunzione ci permette di legare in un modo noto, sebbene complesso, i valori di Tg e ρeq:

ρeq=f( Tg)

Abbiamo riassunto in tre equazioni le nostre informazioni sul problema e l’effetto delle assunzioni fatte. Nelle tre equazioni appaiono tre incognite dmg/dt, ρeq e Tg. Quindi abbiamo un sistema di 3 equazioni con 3 incognite che ci permette di dire che possiamo ricavare la velocità di crescita della massa della gocciolina in funzione del raggio della gocciolina rg, della temperatura dell’ambiante Te della densità del vapore nell’ambiente ρ.

Purtroppo la terza equazione è matematicamente complessa e la soluzione del sistema di equazioni deve essere affidato al calcolo numerico.

Però esiste una soluzione approssimata che ci viene in aiuto.

  • La velocità di crescita della massa della gocciolina è linearmente proporzionale al raggio della gocciolina rg. rg appare a numeratore alla prima potenza. Gli altri fattori non dipendono da rg.

  • G è una grandezza che racchiude le grandezze che possiamo considerare costanti o approssimativamente costanti. In realtà dipende dalla temperatura e pressione dell’ambiente. Possiamo considerarla approssimativamente costante poiché varia poco durante il processo di crescita della gocciolina.

  • URè l’umidità relativa dell’ambiente. Nelle espressioni precedenti ρ viene sostituita da una espressione ricavata dalle leggi dei gas che contiene UR e T . Poiché l’umidità relativa alla saturazione è per definizione uguale a 1. UR-1 è l’eccesso di umidità relativa rispetto alla saturazione. UR-1 appare a numeratore alla prima potenza, quindi la velocità di crescita della massa dipende linearmente dall’eccesso di umidità relativa.

  • ρl è la densità dell’acqua liquida che possiamo considerare costante alle temperature e pressioni che si trovano nelle nuvole.

Quindi, più è grande la gocciolina e maggiore è la velocità di crescita della sua massa.

La relazione trovata sopra contiene la massa della gocciolina e il raggio della gocciolina. Le due grandezze sono legate tra loro: mg = ρl 4/3 π rg3, dove ρl è la densità dell’acqua liquida.

Conviene ottenere una relazione che contenga solo rg trasformando la velocità di crescita della massa in velocità di crescita del raggio.

Per passare dalla velocità di crescita della massa alla velocità di crescita del raggio occorre dividere la velocità di crescita della massa per ρl 4 π r2. In appendice 2 ci sono i passaggi.

Quindi la velocità di crescita del raggio è:  \color{Blue} \bold{\dfrac{dr_g}{dt}=\frac{4 \pi \rho_l G r_g (U\!R_{\infty}-1)}{4 \pi \rho_l r_g^2}= \frac{G (U\!R_{\infty}-1)}{ r_g}}

La velocità di crescita del raggio della gocciolina è inversamente proporzionale al raggio. Diversamente dalla velocità di crescita della massa, la velocità di crescita del raggio rallenta con l’aumentare del raggio. Il raggio delle goccioline piccole cresce più rapidamente del raggio delle goccioline più grandi.

Verrebbe da dire che anche qui i grandi si prendono la sostanza e lasciano ai piccoli le apparenze. Ma non stiamo parlando di economia o sociologia. Il risultato viene dai passaggi in appendice 2.

Così siamo arrivati alla espressione delle velocità di crescita del raggio delle goccioline.

\large {\color {Blue} \dfrac{dr_g}{dt}=\frac{G (U\!R_{\infty}-1)}{ r_g}}

Questa equazione (differenziale) ha il vantaggio di contenere le sole variabili rg e t. Per questa ragione siamo passati alla velocità di crescita del raggio.  

Qui sotto c’è il grafico di questa relazione calcolata per una umidità relativa del 101%.

Dal grafico vediamo che la velocità di crescita della gocciolina decresce con il crescere del raggio.

In un grafico, la velocità di crescita corrisponde alla pendenza del linea che rappresenta come evolve il valore del raggio della gocciolina nel tempo. Quindi ci dobbiamo aspettare che inizialmente la pendenza sia elevata e poi diventi sempre più piatta con il crescere delle dimensioni  della gocciolina.

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Il grafico che rappresenta l’evoluzione del raggio della gocciolina nel tempo ci permette di farci un’idea del tempo necessario alle goccioline per crescere con la condensazione.

Qui sotto c’è un esempio di un grafico che rappresenta l’evoluzione del raggio della gocciolina nel tempo. Il grafico è suddiviso su tre scale dei tempi per rendere apprezzabile la stima dei tempi di crescita del raggio.

Inizialmente la crescita è veloce. Il raggio di 1µm è raggiunto in circa 1s, ma qui le nostra espressione è poco affidabile a causa delle approssimazioni fatte. In realtà avviene più velocemente.

In un minuto la gocciolina può raggiungere il raggio di circa 10µm. Per avvicinarsi al raggio di 1mm, tipico delle gocce di pioggia, con la sola condensazione occorrerebbero più di 100h anche se ci fosse sufficiente vapore acqueo per alimentare la crescita.

Per lo sviluppo di questi integrali ‘semplici’ segnalo questo articolo di Enzo. Per approfondire l’argomento delle equazioni differenziali segnalo nuovamente questi gli articoli di Enzo.

In altre condizioni atmosferiche e con formulazioni meno approssimate, i tempi che abbiamo visto sopra possono cambiare significativamente, ma gli ordini di grandezza rimangono questi.

Confrontando i tempi ottenuti con le osservazioni della evoluzione delle nuvole, i fisici hanno concluso che la condensazione/diffusione contribuisce alla crescita delle goccioline fino al raggio di circa 10µm e poco oltre. Per arrivare alle dimensioni delle gocce di pioggia devono intervenire anche altri meccanismi che permettono una crescita più veloce compatibile con le osservazioni sui tempi di evoluzione delle nuvole e con la quantità di acqua liquida disponibile.

Nel prossimo articolo vedremo quale meccanismo è stato individuato e come può spiegare la formazione delle gocce di pioggia.

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APPENDICE 1

Passaggi per collegare la velocità di crescita della gocciolina con le temperature intorno alla gocciolina

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APPENDICE 2

Relazione tra la velocità di crescita della massa e la velocità di crescita del raggio di una gocciolina

8 commenti

  1. Alberto Salvagno

    Grazie, finora riesco a seguire bene tutti i ragionamenti e i calcoli che presenti, ho anche provato a ridisegnare il grafico della velocità di crescita del raggio con diverse UR, ti confesso però che alla fine mi resta sempre un po' di delusione perché di tanto in tanto dici:

    Purtroppo la terza equazione è matematicamente complessa e la soluzione del sistema di equazioni deve essere affidato al calcolo numerico

    Non vado oltre negli sviluppi che comunque richiedono lunghi passaggi algebrici

    E resto con la voglia di vedere questi terribili mostri che certamente non riuscirei ad affrontare, ma che mi piacerebbe almeno osservare da lontano in tutta la loro complessità.

    E' da una vita che mi minacciano con la difficoltà di risolvere l'equazione di Schroedinger, ma mai una volta che qualcuno dei miei insegnanti mi abbia spiattellato davanti un suo sviluppo, magari  di un caso che più semplice non si può, per convincermi di dire: mi arrendo!

     

  2. Fabrizio

    Alberto, posso soddisfare in parte la tua curiosità mettendo a disposizione qui i miei appunti dei passaggi incriminati.

    Avevo iniziato a scriverli per metterli in appendice all'articolo, ma ho rinunciato a svilupparli perché mi sono sembrati lunghi e difficili da seguire per un testo divulgativo, oltre a richiedere ulteriori divagazione sulle leggi dei gas.

  3. Devo dare ragione a Fabrizio...

    caro Albertone, questo è un sito DIVULGATIVO e non un corso universitario. Oltre a un certo livello non si può andare. Sulla rete, comunque, troverai tutte gli approfondimenti che richiedi. Basta cercare bene tra lezioni e corsi presentati da centri di ricerca e Università specialistiche.

  4. Albertone,

    tu dici: "E' da una vita che mi minacciano con la difficoltà di risolvere l'equazione di Schroedinger, ma mai una volta che qualcuno dei miei insegnanti mi abbia spiattellato davanti un suo sviluppo". Potresti cominciare a leggere questo link, in cui tutto è trattato in modo semplificato, ma piuttosto completo.

    Poi potrai anche tentare di risolverla... ma il blog non può e non vuole aiutarti (il suo scopo è diverso).

    https://edu.lnf.infn.it/wp-content/uploads/2015/11/schrodinger-1.pdf

    Io ho cercato di dare un quadro completo dei concetti, ma la parte matematica e attuativa sono tutta un'altra cosa.

    Più di quanto scritto in questo articolo non è plausibile nè utile per noi

    http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2022/06/28/la-funzione-donda-di-schroedinger-2-derivazione-matematica/

     

  5. Alberto Salvagno

    No, no, mi è chiarissimo e concordo con voi per quanto riguarda questo ottimo circolo. Non pensavo a vostre lezioni, ma appunto a qualche link. Già questa serie di Fabrizio mi ha un po' meravigliato per la sua complessità.
    Caro Enzo, si dice che la fame vien mangiando e tu me ne hai messa tanta con le tue lezioni. Mi hai aperto porte che credevo definitivamente chiuse. Di un'equazione differenziale alle derivate parziali io non ricordo che qualcuno prima di te me ne abbia mai parlato. Ora certamente non le possiedo, ma riesco a seguire bene i vostri passaggi e ti assicuro che ció mi conforta molto.

    Il vero studio sarebbe tutta un'altra cosa e richiederebbe continui esercizi, lo so bene. Invece ricordi che ti ho confessato che quasi tutti questi articoli li leggo stando seduto in divano, senza né carta né penna. Un ottimo conforto é anche questo delle appendici... per volontari.

    Comunque infinite grazie a tutti voi!

     

  6. Fabrizio

    Detto tutto questo non potevo comunque  lasciare Alberto con la curiosità di vedere uno sviluppo della soluzione della equazione di Schrödinger. Lo "spiattello" nel pdf reperibile QUI

    Si tratta di un caso molto usato nei testi. Probabilmente il più semplice che contiene nella soluzione la quantizzazione dell'energia.
    Alberto, facci sapere se ti porta alla resa come dicevi nel tuo primo commento.
    Forse ti dovrai alzare dal divano, ma per la tua resa secondo me ci vuole molto di più.

  7. Alberto Salvagno

    M'accingo alla resa dei conti! Concedimi un po' di tempo e grazie. Anche l'altro link Dropbox che mi hai passato richiede di alzarsi dal divano per impugnare carta e penna, ma non mi ha spaventato.

    Ho pensato un po' sui paletti che Vincenzo ritiene giusti limiti di questo circolo, credo che l'adozione di appendici per gli sviluppi più complicati possa benissimo conciliarsi con i buffi papallicoli. Anzi, in questo mondo dei social tanto portato alle semplificazioni, sarebbero di monito ai soliti convinti di aver già capito tutto.

  8. Ben vengano le appendici sotto forma di link selezionati... Riguardo al tipo di persone che possono fermarsi a leggere questo circolo, direi che le possiamo suddividere il 4 categorie:

    (1) quelli che sanno veramente (i professionisti)

    (2) quelli che non sanno ma credono di sapere (gli scanfatiche)

    (3) quelli che non sanno ma sanno di non sapere (i volenterosi)

    (4) quelli che non sanno e non potranno mai sapere (gli sfortunati)

    La prima categoria legge direttamente i siti professionali. La seconda categoria si guarda bene da leggere, dato che è convinto di sapere abbastanza. La terza categoria cerca di leggere e imparare, cominciando dalle trattazioni più semplici. La quarta categoria potrebbe, comunque, imparare qualcosa.

    Noi ci rivolgiamo alle ultime due categorie. La prima categoria potrebbe, però, aiutarci ad aumentare gli argomenti trattati, collaborando come categoria di "scrittori". La seconda può benissimo evitare di  rompere le scatole, tanto non ammetterà mai di non sapere e al limite cercherà di creare confusione.

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