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Nell’articolo precedente abbiamo accumulato alcune informazioni sulle relazioni tra le grandezze fisiche che descrivono il processo che porta alla crescita della gocciolina per condensazione. Nella tabella che segue riassumo le informazioni che utilizzeremo in questo articolo per arrivare a trovare l’andamento della crescita delle goccioline nel tempo.

 

Cercheremo di riassumere queste informazioni in 3 equazioni che contengano come incognite dmg/dt, ρeq e Tg. Da questo sistema di equazioni è possibile ricavare l’espressione della velocità di crescita della massa della gocciolina dmg/dt. Dalla velocità di crescita della massa si può ricavare la velocità di crescita del raggio della gocciolina drg/dt. La velocità di crescita del raggio permette di trovare come il raggio della gocciolina cresce nel tempo rg(t). Analizzeremo una forma approssimata di questo risultato per stimare almeno l’ordine di grandezza del tempo necessario per la formazione di una gocciolina all’interno di una nuvola (rg≈10µm) ed il tempo che sarebbe necessario con il solo processo di condensazione/diffusione affinché la gocciolina arrivi alle dimensioni di una goccia di pioggia (rg≈1mm). Vedremo che il tempo necessario per formare una gocciolina per mezzo della diffusione/condensazione è dell’ordine dei minuti. Il tempo necessario per arrivare alle dimensioni di una goccia di pioggia con la sola diffusione/condensazione sarebbe dell’ordine del centinaio di ore.

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Ricaviamo l’andamento della densità di vapore in funzione della distanza dalla gocciolina.

Su questo andamento abbiamo ricavato tre informazioni nell’articolo precedente:

• il valore di lontano dalla gocciolina tende a ρ_∞. Il valore di ρ_∞ è ricavabile dall’umidità relativa all’interno della nuvola. Matematicamente lo consideriamo all’infinito.

• il valore vicino alla gocciolina è il valore della densità di equilibrio liquido-vapore ρ_eq: ρ(r_g)=ρ_eq

• la pendenza dρ_v/dr della curva che descrive l’andamento della densità del vapore in funzione della distanza è inversamente proporzionale al quadrato del raggio, cioè proporzionale a 1/r².

I tre elementi che abbiamo raccolto permettono di identificare la relazione tra densità del vapore e distanza.

Chi ha più confidenza con la matematica avrà riconosciuto un problema di integrazione di una equazione differenziale conoscendo i valori al contorno. Per approfondire l’argomento segnalo gli articoli di Enzo sulle equazioni differenziali.

Qui andiamo direttamente alla soluzione.

Concentriamo l’attenzione sulla pendenza nelle immediate vicinanze della gocciolina, cioè per la distanza uguale al raggio della gocciolina.

Calcoliamo la pendenza a questa distanza sostituendo r = r_g e semplificando l’espressione ottenuta: (ρ_∞-ρ_eq)r_g/r_g² = (ρ_∞ - ρ_eq)/r_g

Trovate questa espressione ed il punto al quale si applica evidenziati in rosso sulla sinistra della figura.

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Colleghiamo la velocità di crescita della gocciolina con la relazione tra densità di vapore e distanza

Il collegamento che cerchiamo è basato su alcune conclusioni dell’articolo precedente. La velocità di crescita della massa della gocciolina è uguale al flusso totale di vapore che raggiunge la gocciolina:
dm_g/dt = -Φ_v

La densità del flusso del vapore è in relazione con la pendenza della densità del vapore rispetto alla distanza (prima legge di Fick): φ_v(r)=-D_v dρ_v/dr

Questa relazione ancora non ci permette di calcolare la velocità di crescita della gocciolina. Nel termine a destra appare ρ_eq che è una delle incognite del nostro problema. Occorre trovare qualche altra relazione per ricavare anche questa incognita.

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Colleghiamo la velocità di crescita della gocciolina con le temperature intorno alla gocciolina

In modo molto simile al procedimento usato sopra, possiamo trovare la relazione tra la velocità di crescita della gocciolina e il flusso di calore che dalla gocciolina va verso l’ambiente. Nel procedimento non c'è nulla di nuovo rispetto a quello utilizzato per il flusso di vapore. Per chi volesse seguirlo riporto in appendice. Qui riporto il risultato:

è la seconda delle 3 equazioni.

Purtroppo ancora non basta. Ora abbiamo due relazioni, ma in queste relazioni compaiono 3 grandezze incognite: dm_g/dt, ρ_eq e T_g. Occorre introdurre una terza relazione tra queste incognite.

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Arriviamo alla soluzione

La terza relazione necessaria viene dall’assunzione che la densità di vapore ρ_eq sia quella di equilibrio liquido-vapore sulla gocciolina. Questa assunzione ci permette di legare in un modo noto, sebbene complesso, i valori di T_g e ρ_eq:

ρ_eq=f( T_g)

Abbiamo riassunto in tre equazioni le nostre informazioni sul problema e l’effetto delle assunzioni fatte. Nelle tre equazioni appaiono tre incognite dm_g/dt, ρ_{eq e} T_g. Quindi abbiamo un sistema di 3 equazioni con 3 incognite che ci permette di dire che possiamo ricavare la velocità di crescita della massa della gocciolina in funzione del raggio della gocciolina r_g, della temperatura dell’ambiante T_∞ e della densità del vapore nell’ambiente ρ_∞.

Purtroppo la terza equazione è matematicamente complessa e la soluzione del sistema di equazioni deve essere affidato al calcolo numerico.

Però esiste una soluzione approssimata che ci viene in aiuto.

• La velocità di crescita della massa della gocciolina è linearmente proporzionale al raggio della gocciolina r_g. r_g appare a numeratore alla prima potenza. Gli altri fattori non dipendono da r_g.

• G è una grandezza che racchiude le grandezze che possiamo considerare costanti o approssimativamente costanti. In realtà dipende dalla temperatura e pressione dell’ambiente. Possiamo considerarla approssimativamente costante poiché varia poco durante il processo di crescita della gocciolina.

• UR_∞ è l’umidità relativa dell’ambiente. Nelle espressioni precedenti ρ_∞ viene sostituita da una espressione ricavata dalle leggi dei gas che contiene UR_∞ e T_∞ . Poiché l’umidità relativa alla saturazione è per definizione uguale a 1. UR_∞-1 è l’eccesso di umidità relativa rispetto alla saturazione. UR_∞-1 appare a numeratore alla prima potenza, quindi la velocità di crescita della massa dipende linearmente dall’eccesso di umidità relativa.

• ρ_l è la densità dell’acqua liquida che possiamo considerare costante alle temperature e pressioni che si trovano nelle nuvole.

Quindi, più è grande la gocciolina e maggiore è la velocità di crescita della sua massa.

La relazione trovata sopra contiene la massa della gocciolina e il raggio della gocciolina. Le due grandezze sono legate tra loro: m_g = ρ_l 4/3 π r_g³, dove ρ_l è la densità dell’acqua liquida.

Conviene ottenere una relazione che contenga solo r_g trasformando la velocità di crescita della massa in velocità di crescita del raggio.

Per passare dalla velocità di crescita della massa alla velocità di crescita del raggio occorre dividere la velocità di crescita della massa per ρ_l 4 π r². In appendice 2 ci sono i passaggi.

Quindi la velocità di crescita del raggio è: 

La velocità di crescita del raggio della gocciolina è inversamente proporzionale al raggio. Diversamente dalla velocità di crescita della massa, la velocità di crescita del raggio rallenta con l’aumentare del raggio. Il raggio delle goccioline piccole cresce più rapidamente del raggio delle goccioline più grandi.

Verrebbe da dire che anche qui i grandi si prendono la sostanza e lasciano ai piccoli le apparenze. Ma non stiamo parlando di economia o sociologia. Il risultato viene dai passaggi in appendice 2.

Così siamo arrivati alla espressione delle velocità di crescita del raggio delle goccioline.

Questa equazione (differenziale) ha il vantaggio di contenere le sole variabili r_g e t. Per questa ragione siamo passati alla velocità di crescita del raggio.  

Qui sotto c’è il grafico di questa relazione calcolata per una umidità relativa del 101%.

Dal grafico vediamo che la velocità di crescita della gocciolina decresce con il crescere del raggio.

In un grafico, la velocità di crescita corrisponde alla pendenza del linea che rappresenta come evolve il valore del raggio della gocciolina nel tempo. Quindi ci dobbiamo aspettare che inizialmente la pendenza sia elevata e poi diventi sempre più piatta con il crescere delle dimensioni  della gocciolina.

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Il grafico che rappresenta l’evoluzione del raggio della gocciolina nel tempo ci permette di farci un’idea del tempo necessario alle goccioline per crescere con la condensazione.

Qui sotto c’è un esempio di un grafico che rappresenta l’evoluzione del raggio della gocciolina nel tempo. Il grafico è suddiviso su tre scale dei tempi per rendere apprezzabile la stima dei tempi di crescita del raggio.

Inizialmente la crescita è veloce. Il raggio di 1µm è raggiunto in circa 1s, ma qui le nostra espressione è poco affidabile a causa delle approssimazioni fatte. In realtà avviene più velocemente.

In un minuto la gocciolina può raggiungere il raggio di circa 10µm. Per avvicinarsi al raggio di 1mm, tipico delle gocce di pioggia, con la sola condensazione occorrerebbero più di 100h anche se ci fosse sufficiente vapore acqueo per alimentare la crescita.

Per lo sviluppo di questi integrali ‘semplici’ segnalo questo articolo di Enzo. Per approfondire l’argomento delle equazioni differenziali segnalo nuovamente questi gli articoli di Enzo.

In altre condizioni atmosferiche e con formulazioni meno approssimate, i tempi che abbiamo visto sopra possono cambiare significativamente, ma gli ordini di grandezza rimangono questi.

Confrontando i tempi ottenuti con le osservazioni della evoluzione delle nuvole, i fisici hanno concluso che la condensazione/diffusione contribuisce alla crescita delle goccioline fino al raggio di circa 10µm e poco oltre. Per arrivare alle dimensioni delle gocce di pioggia devono intervenire anche altri meccanismi che permettono una crescita più veloce compatibile con le osservazioni sui tempi di evoluzione delle nuvole e con la quantità di acqua liquida disponibile.

Nel prossimo articolo vedremo quale meccanismo è stato individuato e come può spiegare la formazione delle gocce di pioggia.

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APPENDICE 1

Passaggi per collegare la velocità di crescita della gocciolina con le temperature intorno alla gocciolina

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APPENDICE 2

Relazione tra la velocità di crescita della massa e la velocità di crescita del raggio di una gocciolina