Ott 26

C’è allineamento e allineamento. 3 **

Per una trattazione completa dell’argomento affrontato in questo articolo, si consiglia di leggere il relativo approfondimento

Consideriamo il caso ipotetico in cui la risonanze tra Io ed Europa sia 1/2 e quella tra Io e Ganimede 1/3. Potete, ovviamente, trovare il periodo di allineamento eseguendo una figura simile a quella precedente. Noi, però, continuiamo a lavorare con i periodi sinodici.

PI = 1

PE = 2

PG = 3

Psin,E = 2   (come prima…)

1/Psin,G = 1 – 1/3 = 2/3

 Psin,G = 3/2

Deve essere:

m 3/2 = n 2

m/n = 4/3

esistono due numeri interi che soddisfano la relazione? Sì e sono:

m = 4

n = 3

t = 3·2 = 4·3/2 = 12/2 = 6 periodi di Io

Tutto risolto? Non proprio…

Torniamo al caso reale dei tre satelliti (risonanza di Laplace). Cosa succederebbe se non li facessimo partire allineati all’istante t = 0 ? La situazione potrebbe essere senza speranza, proprio perché esiste la risonanza di Laplace. Se, ad esempio, quando Io ed Europa fossero allineati si mettesse Ganimede spostato a sinistra, potreste far girare quanto volete i satelliti ma non si otterrebbe mai un allineamento completo, ma solo a due a due. Le risonanze causano il ripetersi continuo e periodico di configurazioni identiche e quindi la configurazione iniziale diventa essenziale. In certi casi si favorisce l’allineamento e in altri lo si esclude del tutto. Il caso di Io, Europa e Ganimede è proprio di quelli senza speranza e i tre satelliti non si allineano mai. Che cosa ha causato questo sfasamento? Beh… bisognerebbe risalire alla loro origine e ai meccanismi di protezione che hanno operato nelle prime fasi. Ma questo è qualcosa di estremamente più difficile da sapere!

Restiamo allora nel nostro Sistema Solare semplificato e vediamo di applicare ad altri pianeti il tipo di analisi che abbiamo appena imparato. Tanto per non farci mancare niente, consideriamo questa volta i pianeti interni, Mercurio e Venere. In questo caso, però, i periodi di rivoluzione di Mercurio, Venere e Terra non stanno più tra di loro come numeri semplici, ossia non sono in risonanza.

Tuttavia, cerchiamo di approssimare la situazione reale partendo da un situazione ipotetica che dia luogo a risonanze, per poi migliorarla con passi successivi. Un metodo operativo che ci permetterà di capire meglio a cosa andiamo incontro quando si vuole estendere l’allineamento a pianeti con periodi qualsiasi e in numero maggiore di tre.

Quanto vale il periodo orbitale di Mercurio? Presto detto: 87.96 giorni che approssimiamo a 88 giorni. E quello di Venere? 224.70 giorni che approssimiamo a 225. Quello della Terra è ovviamente 365 giorni.

Partiamo da lontano e scriviamo un rapporto di numeri interi (il più semplice possibile) che si avvicini a 88. Scegliamo1/4, ossia ipotizziamo che Mercurio abbia un periodo che sia 1/4 di quello della Terra. Ciò vuole dire considerare il periodo di Mercurio uguale a 91 giorni circa. Piuttosto approssimato, ma per cominciare va più che bene.

Passiamo a Venere. Bene scegliamo 2/3 che ci regala 243 giorni. Non è poi così lontano da quello reale… Possiamo partire con i nostri calcoli.

La situazione è la seguente:

PM/PT = 1/4

PV/PT = 2/3

con PT = 1, i valori precedenti ci danno i periodi di Mercurio e Venere espressi in anni terrestri.

Calcoliamo i periodi sinodici con la (2), dato che i pianeti sono interni.

1/Psin,M = 1/PM – 1/PT = 1/1/4 – 1 = 4 -1 = 3

Psin,M = 1/3

1/Psin,V =  1/2/3 – 1 = 3/2 – 1 = 1/2

Psin,V = 2

Non stupitevi se il periodo sinodico di Venere è maggiore dell’anno terrestre. E’ vero che va più veloce, ma per riuscire a raggiungere la Terra, che comunque si muove, deve passare più di un anno.

La relazione (3) diventa:

m 2 = n 1/3

m/n = 1/(3·2) = 1/6

m = 1

n = 6

t = 1·2 = 6 ·1/3 = 2 anni terrestri

Accidenti! Che meraviglia… avremmo una congiunzione Mercurio e Venere ogni due anni. Inoltre, dato che le orbite sono supposte complanari, avremmo un transito di Venere e nello stesso momento un transito di Mercurio, con Venere che ci nasconderebbe Mercurio… Beh, purtroppo è solo un’approssimazione esagerata. Cerchiamo di fare qualcosa di meglio…

Continuiamo, comunque, ad approssimare i periodi di Venere e Mercurio, in modo che diano rapporti di numeri interi rispetto al periodo della Terra. E’ facile capire perché: solo in questo modo riusciremo a trovare multipli di periodi sinodici che possano uguagliarsi…

Scegliamo due frazioni meno semplici: 7/30 per Mercurio e 13/21 per Venere.

Questo vorrebbe dire che il periodo siderale di Mercurio sarebbe di 85 giorni. Non molto meglio di prima, ma accontentiamoci… Quello di Venere risulterebbe, invece, pari a 226 giorni, decisamente un’ottima scelta!

Calcoliamo subito i periodi sinodici

1/Psin,M = 30/7 – 1 = 23/7

1/Psin,V = 21/13 – 1 = 8/13

Psin,M = 7/23

Psin,V = 13/8

Troviamo i nuovi due numeri m e n che ci permettono di stabilire il tempo tra i due allineamenti

m 7/23 = n 13/8

m/n = 13·23/56 = 299/56

299·7/23 = 56·13/8 = 91 anni terrestri

Bel salto temporale… non c’è che dire, ma ancora saremmo ben lontani dall’avere un perfetto allineamento. Bisognerebbe migliorare ancora i rapporti con il periodo terrestre, ma ciò vorrebbe dire numeri m e n sempre più grandi e, di conseguenza, un intervallo tra due allineamenti accurati molto più lungo.

A questo punto, avete già capito cosa si deve fare praticamente. Si parte da un pianeta e si ottiene il periodo di allineamento t con alti due pianeti (come fatto finora). Si considera questo come il periodo sinodico t  di un solo pianeta “ipotetico” e si passa al pianeta reale successivo. Nuovo intervallo t e nuovo periodo sinodico “collettivo”… e così via. Chi ha voglia di provarci, ci provi pure, ma, anche con le nostre enormi semplificazioni il tempo dovrebbe superare di gran lunga l’età dell’Universo, se si vuole un allineamento quasi perfetto. Se poi entrano in ballo numeri irrazionali, come radice di due, non vi è più nessuna speranza… Ricordiamo che un numero irrazionale non può mai essere espresso come frazione di numeri interi.

Per chi vuole provare, consiglierei di partire da Nettuno e poi aggiungere i pianeti un po’ alla volta arrivando fino a Mercurio (Terra compresa ovviamente). Oppure, partire dalla Terra (P = 1) e poi andare verso l’esterno, limitandosi alle opposizioni (ce n’è già abbastanza).

Tutto ciò si è ottenuto immaginando che esista un punto di partenza in cui vi sia un allineamento perfetto. Se si scegliesse un tempo qualsiasi, bisognerebbe tenere in conto il tempo necessario per avere i vari allineamenti a due a due. La faccenda diventerebbe troppo complicata per descriverla in modo semplice. Ben vengano i calcolatori. Tuttavia, siamo sicuri che, malgrado le nostre semplificazioni, l’ordine di grandezza rimarrebbe invariato.

Nella realtà, poi, entrano in ballo le eccentricità e le inclinazioni, la precessione delle orbite e le varie perturbazioni. Insomma, un lavoraccio anche per i computer più potenti; un gioco che può risolvere (sempre che abbia una soluzione soddisfacente) solo la meccanica celeste più sofisticata.

Non fidatevi , quindi, nemmeno delle risposte che danno i vari Stellarium e giù di lì. Anche loro eseguono semplificazione che alla lunga distruggono qualsiasi risultato. Tanto vale fare qualche calcoletto casalingo, divertirsi ed essere contenti di avere capito il procedimento.

Ben diverso è invece il caso dell’allineamento in cui si trascuri la posizione del Sole. La frequenza risulta maggiore e si può scrivere una funzione che illustri il risultato. Lo vedremo la prossima volta, limitandoci, però, a tre pianeti. Per quattro le cose si complicherebbero un po’ troppo…

Se siete interessati all’argomento, non potete perdervi i primi due articoli e l’ultimo

http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2015/10/15/ce-allineamento-e-allineamento-1/

http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2015/10/21/ce-allineamento-e-allineamento-2/

http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2015/11/04/ce-allineamento-e-allineamento-4/

nonché le immagini di un raro allineamento vissuto in diretta

http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2016/02/07/allineamento-planetario-questa-volta-ci-siamo/

6 commenti

  1. umberto

    ma è possibile (caso mercurio e venere(che il tempo finale dipenda solo dal prodotto dei numeratori delle due frazioni che esprimono i periodi in funzione di quello della terra?
    chiamando M1/M2 il rapporto di mercurio, V1/V2 quello di venere e facendolo
    il calcolo come sopra ma lasciando le lettere al posto dei numeri, per trovare m,n si ha: m=V1*(M2-M1);n=M1*(V2-V1) per trovare t moltiplico m per in sinodico di mercurio,M1/(M2-M1)
    e ottengo t=V1(M2-M1)*M1/(M2-M1)=M1*V1

  2. scusa Umberto.
    per capirci bene... cosa intendi con M1/M2? E' un rapporto di che cosa? Di periodi... ma quali? In ogni modo, tieni presente che io ho espresso per lungo i passaggi concettuali, ma essi possono facilmente essere ridotti a semplici moltiplicazioni...

  3. umberto

    intendevo numeratore e denominatore di frazioni : nell'ultimo esempio M1/M2=7/30 per Mercurio e V1/V2=13/21 per venere
    volevo dire che alla fine per semplificare dei calcoli e trovare t basta fare M1*V1=7*13=91
    Non volevo dire che bisogna saltare gli importanti passaggi concettuali..
    sono rimasto stupito dal fatto che basti fare il prodotto fra i numeratori di dette frazioni (quelle che approssimano i periodi), come se i denominatori non esistettero

  4. eh si Umberto... esistono varie regolette automatiche che permettono di ottenere velocemente lo stesso risultato. Io, come dici anche tu, ho preferito rimanere sul concetto di base. :-P

  5. umberto

    me ne ero accorto perchè c'è un piccolo errore nel calcolo del sinodico
    di venere. 1/Psin,V = 21/13 – 1 = 7/13 = 7/13 ma invece è 8/13

    però il conto tornava lo stesso
    299·7/23 = 49·13/7 = 91

    299·7/23 = 56·13/8= 91

  6. acci, hai ragione... avevo scritto 7 e me lo sono portato dietro. Il fatto che torni con i numeratori dipende dal fatto che si dovrebbe lavorare con le velocità angolari che hanno proprio il periodo al denominatore. Lo vedremo la prossima volta. Ho fatto tutto il giro lungo per mettere in evidenza il periodo sinodico, ma si poteva lavorare con quelli siderali...
    Troppi errori, sto lavorando troppo in fretta e me ne scappano a chili... Il fatto è che stiamo mettendo a posto la casa di mia figlia e mi ritaglio tempi molto limitati. Ma non può essere una scusa e devo controllare di più...
    Non mi picchiate! 8-O :oops:

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