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13/01/16

Dinamica relativistica: antipasto **

Per una trattazione completa dell’argomento, si consiglia di leggere il relativo approfondimento

 

Il nostro caro e appassionato amico Umberto freme dalla voglia di scatenarsi nella dinamica relativistica. Lo ammiro, lo capisco benissimo e penso anche che non sia il solo. Posso assicurarvi che sto già preparando le lezioni corrispondenti, facendo opera non facile di sintesi e di selezione. Penso che, alla fine, saranno contenti tutti, sia i meno preparati che i più smaliziati. Tuttavia, non voglio farmi convincere ad accelerare i tempi. Vorrei dare il meglio di me, senza fretta, ma anche completare il bagaglio culturale necessario per affrontare la parte più esaltante della RR con la dovuta preparazione di base. Eccovi, quindi, un piccolo antipasto, che non dice niente di significativo, ma che cerca di inquadrare la problematica sotto vari punti di vista e che, spero, faccia digerire meglio gli integrali.

I principi della RR ci hanno mostrato tante cose, ma, in particolare, ci hanno fatto capire che spazio e  tempo sono strettamente legati tra loro e che, per passare dalle coordinate di un sistema di riferimento inerziale a quelle di un altro, è necessaria l’applicazione della trasformazione di Lorentz. Per velocità relative piuttosto piccole, la relatività galileiana è ancora valida, ma essa diventa inapplicabile quando la velocità si avvicina al valore c della luce.

Uno dei risultati fondamentali, in questo contesto, è che la velocità di un corpo misurata in un sistema di riferimento è legata a quella misurata in un altro sistema, e a quella del moto relativo dei due sistemi, attraverso una formula più complicata di una banale somma. La semplice addizione della teoria galileiana non vale più. Già questa conclusione ci fa capire che una sorte analoga devono subire altre grandezze fisiche di importanza fondamentale che “utilizzano” la velocità, come la quantità di moto e l’energia.

Basterebbe, comunque, prendere in esame la seconda legge della dinamica di Newton, la ben nota:

F = ma

Bene, immaginiamo che la forza sia costante. Ciò vuole anche dire che l’accelerazione è costante. Ne segue che la velocità cresce linearmente con il tempo. Sì… ma fino a quando? Basterebbe disegnare il solito grafico della velocità in funzione del tempo, quello stesso che ci è servito per introdurre le aree e gli integrali, e troveremmo una bella retta. Una retta, però, ci dice, tra le tante cose, che per t che tende a infinito anche la velocità tende a infinito.

No, c’è qualcosa che non va! Che il tempo sia anche grande poco importa, ma non possiamo accettare che la velocità cresca come vuole, dato che essa deve avere un limite dato dalla velocità della luce, c. Senza entrare ancora nei dettagli, possiamo concludere che la F = ma deve sicuramente essere modificata.

Introducendo il secondo principio della dinamica abbiamo automaticamente introdotto anche l’accelerazione. No, non saltate sulla sedia: siamo sempre nel campo della RR. Una cosa è descrivere un moto accelerato all’interno di un sistema di riferimento, e vedere come appare in un qualsiasi altro sistema inerziale, e un’altra è accelerare un sistema rispetto a un altro. Il secondo caso fa parte della Relatività Generale, ma il primo è ancora di dominio della RR. Essa non vieta certo a un corpo di accelerare e di muoversi a piacimento secondo le leggi della dinamica.

Normalmente, si pensa che il punto di arrivo più esaltante della dinamica relativistica sia la celeberrima formula E = mc2. E’ sicuramente “quasi” vero, anche se scritta in  questo modo non dà piena ragione del suo significato generale. Ve ne sono, però, anche di più fondamentali, come quella che lega energia e quantità di moto e che, in qualche modo, ha portato al mare di Dirac (ed è anche un invariante!). Fermiamoci subito. Ci mancherebbe altro. Non è ancora tempo… L’accenno serve solo a far capire come per arrivare a descrivere qualcosa di interesse enorme e innovativo è necessario salire lentamente tutti gli scalini. Saltarne qualcuno può facilmente portare a una caduta disastrosa.

Noi faremo di tutto per arrivare “intuitivamente” alla formula più celebre della fisica (e non solo), ma per farlo ci sono molti modi. Purtroppo, leggendo nel web mi sono accorto che spesso e volentieri alcuni approcci creano più confusione che chiarezza. E’ quindi mia intenzione cercare di considerarne un certo numero (due o tre) e descriverli al meglio della mie capacità divulgative. Un’impresa che vi dico subito non sarà banale. Poi ognuno sceglierà quello che preferisce.

L’inizio più corretto è, comunque, quello di dedicarsi alla legge della conservazione della quantità di moto. Già questo pone varie alternative che prendono in considerazione urti elastici o anelastici. Cambia poco, in realtà, a parte il numero di passaggi matematici (necessari, però, in qualsiasi approccio).

Ovviamente, faremo ricorso alla trasformazione di Lorentz e alla composizione delle velocità. Sarà perciò fondamentale ripassare le basi della RR, dato che non è pensabile introdurre di nuovo le dimostrazioni che hanno portato a certe formule ormai assodate. Esse saranno prese per buone e si rimanderà a dove sono state dedotte per saperne di più. Una piccola fatica che, però, non può essere evitata. Basta non avere fretta e non cercare di saltare in avanti, altrimenti la celebre formula rimarrà una specie di atto di fede (e noi questo NON lo vogliamo sicuramente).

In questo viaggio di avvicinamento ci scontreremo con la cosiddetta massa relativistica, gioia e dolore di tante elucubrazioni. Cercheremo di mostrare che il suo vero significato non è veramente quello di una massa che cambia, ma di un rapporto tra la quantità di moto relativistica e quella classica. Considerarla come a massa tutti gli effetti è sicuramente comodo e lo faremo anche noi, ma dovrà essere compreso bene il vero significato dell’intera faccenda.

Riguardo alla E = mc2, lasciatemi fare una piccola considerazione, che nessuno esprime mai apertamente, ma che molti, penso, si facciano tra sé e sé. Noi abbiamo già dalla fisica classica una relazione ben conosciuta tra energia e massa di un corpo. Non è altro che l’energia cinetica K che vale.

K = ½ mv2

In fondo, anch’essa dice che l’energia è legata alla massa. Se la velocità fosse costante, utilizzando una congrua unità di misura, avremmo un’uguaglianza tra massa ed energia. Cosa c’è, allora, di così fondamentale e innovativo nella formula di Einstein, rispetto a quest’ultima?

Basterebbe dire che nel caso di una velocità uguale a zero, andrebbe a zero anche l’energia cinetica, indipendentemente dalla massa del corpo. Nella formula della RR, invece, l’energia espressa è del tutto indipendente dalla velocità (c è una costante per definizione) ed è valida anche quando la velocità intrinseca è ZERO. In altre parole, essa diventa un’energia che il corpo possiede anche quando è in quiete. Un’energia che dipende, perciò solo dalla massa: se “cambia” una deve cambiare anche l’altra! Un modo molto rozzo per valutare la rivoluzione che la formula porta con sé. Essa, in pratica, unisce due leggi fondamentali di conservazione: quella dell’energia e quella della massa, separate nella fisica galileiana.

Tuttavia, quella strana somiglianza tra ½ mv2 e mc2 è tutt’altro che casuale. Basterebbe pensare che l’energia cinetica, essendo legata alla velocità di un corpo, deve subire una trasformazione relativistica. Sarà facile vedere, quindi, come si passi da una all’altra a seconda della velocità in gioco. Ricordiamoci, infatti, che la dinamica relativistica, così come tutta la RR, è necessaria solo per velocità prossime a quella della luce. Qualsiasi legge si riesca a modificare, essa deve ricadere in quella corrispondente di Newton per piccole velocità.

Analogamente, si farà una scelta che non è del tutto ovvia: mantenere la conservazione dell’energia e della quantità di moto. Si potrebbe anche non fare ed evitare di introdurre le masse relativistiche. In poche parole, in una trattazione veramente esaustiva della dinamica relativistica, vi sono molte considerazioni da fare e da discutere: non basta limitarsi a una serie di passaggi aridi e freddi.

Tutta questa chiacchierata per cosa? Forse per farvi venire voglia di non perdervi il ghiotto pasto che seguirà (a tempo debito) a questo antipasto (volutamente un po’ ambiguo e vago).

Non solo, però. Nei vari passaggi matematici si farà uso di qualche semplice integrale e di un semplicissimo sviluppo in serie. Niente di trascendentale, che poteva anche accettarsi senza entrare più di tanto nel merito. Ormai, però, mi conoscete: non voglio dare niente come atto di fede. Chi non vuole seguire la descrizione completa può anche farlo, ma deve essere una sua scelta. E’ mio dovere, perciò, permettervi di preparare il bagaglio completo necessario al viaggio nel meraviglioso mondo della DR (un vero capolavoro artistico e concettuale). Oltretutto, i maledetti integrali e, di conseguenza, anche gli sviluppi in serie (lezioni da 43 a 61 del corso di matematica) sono estremamente amati dall’Universo per frasi descrivere attraverso la logica matematica…

A presto e non perdete la speranza…

 

Chi non ha perso la speranza trova QUI la trattazione completa della Dinamica Relativistica

3 commenti

  1. umberto

    si, un moto a forza costante   non può essere una parabola nello spazio tempo (con concavità rivolta a destra) perché intersecherebbe il cono di luce.deve essere un altra funzione.

  2. Mik

    Grazie Enzo, sarà il tuo capolavoro, lo sento!

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